Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. 1º Teste de avaliação.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Na figura estão representados, em referencial o.n. xoy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB]. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox. O conto C é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo Ox. π Seja α a amplitude do ângulo COA. α 0, Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de α? (A) tg α.senα (B) sen α.cos α (C) tg α.cos α (D) tg α.senα. Num determinado quadrante o seno é negativo e crescente. Nesse quadrante (A) a tangente é positiva (B) o co-seno é decrescente (C) a tangente é decrescente (D) o co-seno é positivo 3. A que quadrante pertence o ângulo 7π? 3 (A) º (B) º (C) 3º (D) 4º Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 00/0

2 4. Sabendo que 90º < α < 80º, indique o quadrante a que pertence 80º +α. (A) º (B) º (C) 3º (D) 4º 5. Quantas são as soluções da equação 3 senx = que pertencem ao intervalo [ 0,0π ]? (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) 0 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Observe a figura. Sabendo que a amplitude do ângulo EDC é 30º e que CD = 0cm, calcule: B x C.. as amplitudes, expressas em radianos, dos x α 0 ângulos internos do triângulo [DEC]... o valor exacto do perímetro do trapézio A E 30º D [ABCD]..3. a amplitude do ângulo α com aproximação ao minuto de grau.. Duas patrulhas militares partem do posto de comando C em direcção aos pontos A e B que estão separados por um lago, como ilustra a figura. Sabe-se que: CA = 0 km CAB = 75º ABC ɵ = 40º Uma das patrulhas vai permanecer em A e a outra em B. Ambas as patrulhas possuem walkie-talkies, que permitem estabelecer comunicações entre si a uma distância máxima de 7 km. Averigúe se as duas patrulhas podem estabelecer comunicação a partir dos pontos A e B. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 00/0

3 π A x = 3sen π + x cos x + 3. Considere a expressão 3.. Mostre que A ( x) =.senx 3.. Calcule o valor exacto de 3π A O Manuel resolveu a seguinte questão Seja π 3π θ, um ângulo cuja tangente é,5, recorrendo à calculadora, determine com aproximação às centésimas, um valor aproximado de θ e sem recorrer à calculadora calcule o valor exacto da expressão cos π θ + cos θ, como segue: ( ) tg,5,9 e como queremos um ângulo em cos( π θ ) + cos θ = cosθ + senθ π 3π, θ = tg,5 + π 5, ,5 = = cos x = cos x = cos x 4 cos x 9 9 senθ 5,5 = senθ = cos π θ + cos θ = cos θ + senθ = = = Então Analise a resolução e caso considere a resolução errada, corrija os erros e apresente a sua justificação. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 00/0

4 Cotações Questão Cotação Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 00/0

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I. (B) Na figura estão representados, em referencial o.n. xoy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB]. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox. O conto C é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo Ox. π Seja α a amplitude do ângulo COA. α 0, Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de α. Como as coordenadas do ponto A são ( cos α,sen ) senα cos α A = A = sen α.cos α α a área do triângulo [OAB] é dada por. (D) Num determinado quadrante o seno é negativo e crescente. O seno é negativo nos 3º e 4º quadrantes mas no 3º é decrescente e no 4º é crescente, trata-se pois do 4º quadrante onde a tangente é negativa e crescente e o co-seno é positivo e crescente, pelo que a resposta correcta é o co-seno é positivo. 7π 3. (D) o ângulo pertence ao 4º quadrante porque 3 7 π = π π = π ,5 y α 4. (D) Sabendo que 90º < α < 80º, 80º +α pertence ao 4º quadrante como se vê no círculo - O x 80+α -0,5 - Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 00/0

6 5. (B) Há 0 soluções da equação 3 senx = que pertencem ao intervalo [ 0,0π ], porque a função seno repete-se de π em π e em [ 0,π ] há duas soluções, uma no º quadrante e outra no º. Grupo II. Observe a figura. Sabendo que a amplitude do ângulo EDC é 30º e que CD = 0cm, calcule: B x C.. as amplitudes, expressas em radianos, dos x α 0 ângulos internos do triângulo [DEC] são D π =, π C = e ɵ π E = 6 3 A E 30º D.. o valor exacto do perímetro do trapézio [ABCD]. De DE 3 cos 30 = DE = 0 DE = 5 3 e de 0 CE sen30 = CE = 0 CE = 5 0 Então o Perímetro é P = P = a amplitude do ângulo α com aproximação ao minuto de grau é 63º 6.. Duas patrulhas militares partem do posto de comando C em direcção aos pontos A e B que estão separados por um lago, como ilustra a figura. Sabe-se que: CA = 0 km CAB = 75º ABC ɵ = 40º Uma das patrulhas vai permanecer em A e a outra em B. Ambas as patrulhas possuem walkie-talkies, que permitem estabelecer comunicações entre si a uma distância máxima de 7 km. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 00/0

7 Pretendemos calcular AB para podermos comparar com a distância 7 km. Ora da figura sai que começámos por calcular C = 80º ( 40º + 75º ) = 65º e traçámos a altura h, C relativa ao lado [BC]. h De sen( 65º ) h 0.sen ( 65º ) 0 = = 0 km 65º h e sen( 40º ) h 0.sen 65º = AB = AB sen 40º A 75º 40º B então AB 8,0 km As duas patrulhas não podem estabelecer comunicação a partir dos pontos A e B porque estão a uma distância superior a 7 km. π A x = 3sen π + x cos x + 3. Considere a expressão 3.. Mostremos que A ( x) = senx π A ( x) = 3sen( π + x) cos x + = 3 ( senx) ( senx) = 3senx + senx = senx porque π π + = e cos x + = senx. sen( x) senx 3.. Calculemos o valor exacto de 3π A 4. 3π 3π A = sen = = 4 4 porque 3π π π sen = sen π = sen = O Manuel resolveu a seguinte questão Seja π 3π θ, um ângulo cuja tangente é,5, recorrendo à calculadora, determine com aproximação às centésimas, um valor aproximado de θ e sem recorrer à calculadora calcule o valor exacto da expressão cos π θ + cos θ, como segue: ( ) tg,5,9 e como queremos um ângulo em π 3π, θ = tg,5 + π 5,09 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 00/0

8 cos( π θ ) + cos θ = cosθ + senθ 9 4 +,5 = = cos x = cos x = cos x 4 cos x 9 9 senθ 5,5 = senθ = cos π θ + cos θ = cos θ + senθ = = = Então Analisemos a resolução e como consideramos a resolução errada, vamos corrigir os erros e apresente a sua justificação. ( ) tg,5,9 e como queremos um ângulo em o Manuel devia ter feito era tangente é negativa. π 3π, θ = tg,5 + π 5,09 o que θ = tg,5 + π,95 que é um ângulo do º quadrante onde a Simplificando cos π θ + cos θ = cosθ + senθ o Manuel devía ter encontrado cos( π θ ) + cos θ = cosθ + senθ porque cos π θ = cos θ e cos θ = senθ 9 4 +,5 = = cos x = cos x = Aqui devia ter em cos x 4 cos x 9 9 consideração que negativo pelo devia concluir θ º Q porque no 3º a tangente é positiva e que no º Q o co-seno é 4 cos x = cos x = ± e θ º Q cos x = senθ 5,5 = senθ = considerando a correcção anterior ficava: 9 9 senθ 5,5 = senθ = cos π θ + cos θ cos sen = θ + θ = + = = Finalmente Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 00/0

9 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I B D D D B Grupo II Passar 30º a radianos 5 Passar 60º a radianos 5 Passar 90º a radianos Calcular CE 5 Calcular DE 5 Calcular o Perímetro Calcular o ângulo 5 Passar a graus e minutos Desenhar h 5 Calcular o ângulo em C 5 Calcular h 0 Calcular AB 0 Dar a resposta Concluir que sen( π + x) = senx 0 π Concluir que cos x + = senx Responder Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 00/0

10 Substituir 5 Calcular 3π sen 4 Apresentar a resposta Identificar os 5 erros 5 Corrigir os 5 erros 5 Total 00 0 Professora: Rosa Canelas 0 Ano Lectivo 00/0