Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 9 (entregar em ) 1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano α definido pela equação x + y + 3z = 10. Para um certo número real m, a condição z x = y = define uma recta r paralela ao plano α. m 1.1. Calcule o valor de m que faz com que a recta r seja paralela ao plano α. 1.. Escreva equações cartesianas duma recta perpendicular ao plano α e que passa no ponto A (, 3,1) Escreva uma equação do plano β que é paralelo a α e que passe na origem Determine o ponto de intersecção de α com o eixo Oy Determine uma equação vectorial da recta de intersecção do plano α com o plano xoz. Faça m = Determine o ponto de intersecção da recta r com o plano xoy. B. Na figura, está representado um triângulo [ABC]. Os pontos D e E são os pontos médios dos lados [AB] e [BC], respectivamente. Utilizando Cálculo Vectorial, prove que as rectas AC e DE são D E paralelas. A C 3. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA = BC. BC 3.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é sen, ] 0, [ α α π. C 3.. Determine o comprimento dos lados do triângulo de área 3cm quando α = 60º. B α A 3.3. Calcule as amplitudes dos ângulos do triângulo [ABC] quando, para BC = 4cm, se obtém um triângulo com área 4 cm. 4. Considere a função h definida em R \ { } por h( x) 4.1. Escreve h( x ) na forma 3x + 5 =. x + a b + x c e identifique os valores de a, b e c. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 010/011

2 4.. Determine as coordenadas dos pontos em que o gráfico de h intersecta os eixos coordenados Escreva equações das assímptotas do gráfico da função f definida por f ( x) = h( x + 3) O preço de produção de cada prancha de surf numa oficina depende do número x de pranchas produzidas num certo período de tempo e é dado em euros, aproximadamente por ( ) P x 500x = 4x Quanto custa uma prancha se apenas se produzir uma? E quanto custam duas pranchas se se produzirem seis? 5.. Use a calculadora para identificar o número mínimo de pranchas que é necessário produzir para que uma custe menos de 130 euros 5.3. Qual o preço mínimo de produção de uma prancha? (Tenha em consideração que não há moedas de valor inferior a 1 cêntimo) 6. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é 30 m. Considere a função f ( x) 0,07x 1, 4x 16 = +. Admita que ( ) f x é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita do 1º poste Determine a diferença de altura entre os dois postes. 6.. Recorrendo à função derivada de f, determine a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo Determine um valor aproximado ao grau do ângulo entre o fio e o poste da direita (ângulo definido pelo poste e pela recta tangente ao fio no ponto de ligação ao poste). Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 9 Proposta de resolução 1. Consideremos, num referencial o.n. Oxyz, o plano α definido pela equação x + y + 3z = 10. Para um certo número real m, a condição α. z x = y = define uma recta r paralela ao plano m 1.1. A recta r é paralela ao plano α de equação x y + z = 10 sse o vector normal ao plano α for perpendicular à recta: ( 1,,3 ) ( 1,1,m ) = m = 0 m = Escrevamos equações cartesianas de uma recta perpendicular ao plano α e que contém n = 1,,3 o ponto A (, 3,1). Trata-se de uma recta que passa em A e tem a direcção de ( ) pelo que as equações são: x y + 3 z 1 x y + 3 z = = = = Vamos escrever uma equação cartesiana do plano β que é paralelo a α e que passe na origem. Como o vector normal ao plano α é o vector normal do plano β, uma equação do plano é do tipo x + y + 3z = D e como o plano contém a origem do referencial será = D D = 0 pelo que a equação do plano é x + y + 3z = A intersecção de α com o eixo Oy é o ponto de coordenadas ( 0,5,0 ) porque x + y + 3z = 10 x = 0 z = 0 x = 0 y = 5 z = Para escrevermos uma equação vectorial da recta de intersecção do plano α com o plano xoz precisamos de dois pontos ou de um ponto e um vector: x + y + 3z = 10 x + 3z = 10 y = 0 y = 0 AB = 3,0, 1 e uma equação vectorial pode ser: B( 4,0, ) e assim ( ) ( x,y,z ) = ( 1,0,3 ) + k ( 3,0, 1 ),k R 1.6. Seja m = 3 então a equação da recta r é então dois pontos podem ser por exemplo A ( 1,0,3 ) e z x = y =. 3 Determinemos as coordenadas do ponto de intersecção da recta r com o plano xoy, ou seja, o plano de equação z = 0. z x = 0 x = 0 x = y = 3 y = 0 y = z = 0 z 0 = z = 0 O ponto de intersecção tem coordenadas ( 0,,0 ). Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 010/011

4 . Na figura, está representado um triângulo [ABC]. Os pontos D e E são os pontos médios dos lados [AB] e [BC], respectivamente. B Utilizando Cálculo Vectorial, vamos provar que as rectas AC e DE são paralelas pois D E AC = AB + BC = DB + BE = ( DB + BE) = DE Como os vectores directores das rectas são colineares A C então as rectas são paralelas. 3. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA = BC A área do triângulo [ABC] é dada pela seguinte expressão C BC h BC BC senα BC A = = = sen α, α ] 0, π [, pois h senα = h = BC senα BC 3.. Determinemos o comprimento dos lados do triângulo de B x D h A área 3cm quando α = 60º. Se α = 60º o triângulo é equilátero pelo nos bastará calcular BC ( ) BC BC 3 BC 3 3 = sen 60º 3 = 3 = 4 8 = BC ± 8 = BC ± = BC Como BC > 0 então BA = AC = BC = 3.3. Calculemos as amplitudes dos ângulos do triângulo [ABC] quando, para BC = 4cm, se obtém um triângulo com área 4 cm. 4 1 π 5π 4 sen sen 6 6 = α = α α = α = pois α ] 0, π [ Como num triângulo a soma dos ângulos internos é 180º e a lados geometricamente iguais se opõem ângulos geometricamente iguais temos que Se α = 30º então Se α = 150º ^ ^ 180º 30 A CB = C AB = = 75º ^ ^ 180º 150º então A CB = C AB = = 15º ^ ^ 180º α A CB = C AB = 4. Consideremos a função h definida em R \ { } por h( x) 3x + 5 =. x + Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 010/011

5 4.1. Vamos escrever h( x ) na forma a b + e identificar os valores de a, b e c. x c Como 3x + 5 x + 3x Por isso a = 1, b = 3 e c = Então ( ) 1 h x = 3 x Vamos determinar as coordenadas dos pontos em que o gráfico de h intersecta os eixos coordenados. A intersecção com o eixo Oy é o ponto de coordenadas A intersecção com o eixo Ox é o ponto de coordenadas 5 0, porque ( ) h 0 = = 0 + 5,0 3 porque 3x h( x) = 0 = 0 3x + 5 = 0 x + 0 x = x x = x Como f ( x) = h( x + 3) 1, o que significa que podemos obter o gráfico da função f por uma translação segundo o vector de coordenadas ( 3, 1). Por isso as equações das assímptotas do gráfico da função f são y = e x = 5 5. O preço de produção de cada prancha de surf numa oficina depende do número x de pranchas produzidas num certo período de tempo e é dado em euros, aproximadamente por ( ) P x 500x = 4x Se produzir apenas uma prancha ela custa ( ) Se produzirem seis o custo de cada uma é ( ) P 1 = = 00 euros P 6 = = = 140 euros Neste caso as duas pranchas custariam 80 euros. 5.. Usemos a calculadora para identificar o número mínimo de pranchas que é necessário produzir para que uma custe menos de 130 euros. Trata-se de produzir 19 pranchas O preço mínimo de produção de uma prancha seria de 15,01 euros. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 010/011

6 Uma vez que a equação da assímptota horizontal é y = 15, significa que com o aumentar do número de pranchas produzidas o custo de cada uma se aproxima de 15 euros. Uma vez que não existem moedas de valor inferior a 1 cêntimo o custo de uma prancha poderá ser de 15,01 euros. Com se pode ver na imagem isso aconteceria no caso de serem construídas no mínimo pranchas. 6. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é 30 m. Considere a função f ( x) 0,07x 1, 4x 16 = +. Admita que ( ) f x é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita do 1º poste A diferença de altura entre os dois postes é = 1 metros 6.. Recorrendo à função derivada de f vamos determinar a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo. Como f ( x) = 0,14x 1,4 e f ( x) = 0 0,14x 1,4 = 0 x = 10 x f ( x ) f ( x ) ց m ր A distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo é 10 metros Vamos determinar um valor aproximado ao grau do ângulo entre o fio e o poste da direita, ou seja, ângulo definido pelo poste e pela recta tangente ao fio no ponto de ligação ao poste. O de declive dessa recta é tgα = m = f (30) = 0, , 4 =,8 Em que α é o ângulo que a recta faz com a parte positiva do eixo Ox. Como tg,8 1 α = então ( ) aproximadamente, β 90º 70,35º 0º. α = tg,8 α 70,35º temos que o ângulo pedido mede, Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 010/011

7 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 9 Critérios de classificação Reconhecer a necessidade de os vectores serem perpendiculares Calcular m = Reconhecer o ponto e o vector Escrever correctamente as equações Reconhecer o vector normal Escrever correctamente a equação Calcular dois pontos Escrever as coordenadas do vector 1 Escrever correctamente a equação Substituir m por 3 Calcular as coordenadas do ponto de intersecção Exprimir h em função de senα 3 Concluir a expressão dada Reconhecer que o triângulo é equilátero 1 Substituir A por 3 e α por 60º Calcular a medida de cada lado Substituir A por 4 e BC por 4 1 Calcular α Calcular os restantes ângulos a Escrever h( x ) na forma b + x c 3 Identificar os valores de a, b e c Calcular a intersecção com Ox 3 Calcular a intersecção com Oy Identificar as equações das assímptotas 3 Justificar Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 010/011

8 Calcular P(1) Calcular P(6) Calcular o preço de duas pranchas Apresentar os gráficos correctamente 4 Dar a resposta Apresentar equação da assímptota horizontal 3 Justificar Calcular f(0) Calcular f(30) Calcular a diferença de altura dos dois postes Calcular a derivada e os seus zeros Construir a tabela Dar a resposta Reconhecer que o ângulo pedido é complementar da inclinação da tangente Calcular tgα = f (30) Calcular 90 α 1 Total 100 Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 010/011

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