ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 4

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1 ESCOL SECUNDÁRI COM º CICLO D. DINIS COIMBR º NO DE ESCOLRIDDE MTEMÁTIC FICH DE VLIÇÃO Nº 4 Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.. Sabendo que se nα = indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. se =. sen( π + α) = B. n( π α) π π C. cos + α = D. cos α =. Qual das expressões seguintes representa a y área da região sombreada, em função de α? B tgα π tgα. π + B. + π tgα π C. + D tgα α O x. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um plano α de equação x y = 0 e a recta r de equações z x = y =. cerca deles podemos dizer que:. r é paralela a α B. r é perpendicular a α C. r é oblíqua a α D. r pertence a α. PROFESSOR: Rosa Canelas º B 004/005

2 4. Num referencial o. n. Oxyz, o plano de equação x + y = 4 é. paralelo ao plano xoy. B. perpendicular ao plano xoy. C. paralelo ao eixo Ox D. perpendicular ao eixo Ox. 5. [BC] é um triângulo equilátero. Sabe-se que B.C = 8. C O perímetro do triângulo é:. 6 B. 9 C. D. 5. B Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Durante 0 minutos, um insecto foi observado e, após vários registos, concluiu-se que o espaço percorrido, em centímetros, t minutos depois do início da observação, é dado pela função d definida por: dt ( ) = t + t... Qual foi o espaço percorrido pelo insecto durante:... o tempo de observação?... os dois últimos minutos de observação?.. Mostre que a variação da função d nos intervalos [0,] e [,4] é igual e calcule a taxa média de variação em cada um desses intervalos. Faça um comentário aos resultados obtidos, tendo em atenção o contexto apresentado... Calcule a taxa média de variação da função d no intervalo [5,5+h]. Para que valor tende a t.m.v.[5,5+h], quando h tende para zero?.4. Calcule a taxa de variação instantânea da função d para t = 4.. Num tecido branco caíram, no mesmo instante, duas pequenas gotas de tinta, uma preta e outra vermelha, em dois pontos que distam um do outro 0 cm. mbas as gotas deram origem a manchas circulares em que os raios r p e r v, em centímetros, são dados em função do tempo t, em segundos pelos modelos matemáticos seguintes: PROFESSOR: Rosa Canelas º B 004/005

3 4t + 5 raio da mancha preta: r p = ; t 0. 5t + raio da mancha vermelha: r v = ; t 0... Determine a área, arredondada às unidades, de cada uma das manchas ao fim de segundos... Quanto tempo decorreu até que:... o perímetro da mancha preta fosse 6,8π cm?... a área da mancha vermelha fosse 9π c m?.. Determine, analiticamente, ao fim de quanto tempo as manchas atingiram a mesma dimensão. presente o resultado arredondado às centésimas..4. Com o decorrer do tempo será que as duas manchas se intersectam? Justifique.. função f, representada graficamente, pode ser definida por uma expressão do tipo b f( x) = a+. x c é um ponto do gráfico de 6 coordenadas (,).. Descubra os valores de a, b e c e 4 escreva f(x) na forma de uma fracção racional... O número de soluções da equação f( x) = kdepende do 5 valor de k. Explique, numa pequena - composição, o significado desta afirmação. -4 PROFESSOR: Rosa Canelas º B 004/005

4 COTÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTL PROFESSOR: Rosa Canelas 4 º B 004/005

5 ESCOL SECUNDÁRI COM º CICLO D. DINIS COIMBR º NO DE ESCOLRIDDE MTEMÁTIC FICH DE VLIÇÃO Nº 4 proposta de resolução Grupo I. B. Sabendo que sen sen ( π α) = senα, sen( ) α = a afirmação seguinte é verdadeira sen( π α) π π + α = senα, cos + α = senα e = porque π cos α = senα π. D. + é das expressões dadas a que representa a área da região sombreada, em 4 tgα função de α porque π π Um quarto de círculo de centro na origem e raio tem área = 4 4 Um dos catetos do triângulo mede e o outro é O = porque tgα BO = tgα = tgα O =, O O tg α tgα a área do triângulo rectângulo é =. tgα y B π Daqui resulta que a área sombreada mede +. 4 tgα.. r é paralela a α α O o vector normal ao plano α, de equação x y = 0 tem coordenadas (,-,0) x o vector director da recta r de equações z x = y = tem coordenadas (,,) os vectores são perpendiculares porque + ( ) + 0= 0. O ponto de coordenadas (0,0) pertence à recta mas não pertence ao plano Então r é estritamente paralela a α. 4. B. Num referencial o. n. Oxyz, o plano de equação x + y = 4 é perpendicular ao plano xoy. 5. C. [BC] é um triângulo equilátero.sabe-se que B.C = 8. Então se C chamarmos x à medida do lado do triângulo B.C = 8 x x cos( 60º ) = 8 x = 8 x = 6 x = 4 O perímetro do triângulo é. PROFESSOR: Rosa Canelas 5 º B 004/005 B

6 Grupo II. Durante 0 minutos, um insecto foi observado e, após vários registos, concluiu-se que o espaço percorrido, em centímetros, t minutos depois do início da observação, é dado pela função d definida por: dt ( ) = t + t... O espaço percorrido pelo insecto durante... o tempo de observação foi ( )... os dois últimos minutos de observação foi ( ) ( ) ( ) d 0 = = 0cm d 0 d 8 = = 0 88 = 4cm.. variação da função d nos intervalos [0,] e [,4] é igual porque:.. ( ) d0 ( ) = 0 0= 0 ( ) ( ) d e 0 0 Tmv[ 0,] = = 5 e Tmv [,4] = = 0. d 4 d = 8 8 = 0. Embora a variação da função seja a mesma nos dois intervalos a velocidade no segundo intervalo é o dobro por o tempo para percorrer o mesmo espaço ser metade. ( ) ( ) ( ) ( ) d5+ h d5 5+ h + 5+ h h + h h 40 Tmv[ 5,5+ h] = = = = h h h h + h h = + h Quando h tende para zero a t.m.v.[5,5+h] tende para..4. Calcule a taxa de variação instantânea da função d para t = 4. ( ) ( ) ( ) ( ) d4+ h d4 4+ h + 4+ h h+ h + + h 8 d'(4) = lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h 0 h + h lim = lim ( + h) = h. Num tecido branco caíram, no mesmo instante, duas pequenas gotas de tinta, uma preta e outra vermelha, em dois pontos que distam um do outro 0 cm. mbas as gotas deram origem a manchas circulares em que os raios r p e r v, em centímetros, são dados em função do tempo t, em segundos pelos modelos matemáticos seguintes: 4t + 5 raio da mancha preta: r p = ; t 0. 5t + raio da mancha vermelha: r v = ; t 0... área, arredondada às unidades, da mancha preta ao fim de segundos é 69π p = π p p = π p = p ( ( )) r cm 4 6 PROFESSOR: Rosa Canelas 6 º B 004/005

7 área, arredondada às unidades, da mancha vermelha ao fim de segundos é π v = π v v = π v = v ( ( )) r 5cm O tempo que decorreu até que:... o perímetro da mancha preta fosse 6,8π cm é dado por: 4t + 5 4t + 5 4t + 5,4t 6,8 Pp = 6,8π π = 6,8π =,4 = 0 0,6t,8 = 0 t t = min ou O tempo que decorreu até que o perímetro da mancha preta fosse 6,8π cm é minutos... a área da mancha vermelha fosse 9π c m é dado por: 5t + 5t + 5t + v = 9π π 9π 9 t = = = t * + + 5t + t 9 = 0 t 8 = 0 t t = 4min *(porque o raio não pode ser negativo) ou O tempo que decorreu até que a área da mancha vermelha fosse 9π c m é 4 minutos... s manchas atingiram a mesma dimensão. Vamos determinar ao fim de quanto tempo isso aconteceu e apresentar o resultado arredondado às centésimas. 4t + 5 5t + 4t + 5 5t + 4t + t + 5t + 5 5t 0t t = = 0 = 0 ( )( ) ( )( ) t + 6t + 6 ± = 0 t + 6 = 0 t t t = t t t,69 t 7,69 PROFESSOR: Rosa Canelas 7 º B 004/005

8 s manchas atingiram a mesma dimensão ao fim de 7,69 minutos..4. s duas manchas não se intersectam porque os pontos onde se originam estão a 0 cm um do outro e a mancha preta não chega a atingir 4 cm de raio (porque o gráfico tem uma assímptota horizontal de equação y =4) e a vermelha não atinge 5 cm (porque o gráfico tem uma assímptota horizontal de equação y =5). Daqui concluirmos que entre elas poderá haver no mínimo cm.. função f, representada graficamente, pode ser definida por uma expressão do tipo b f( x) = a+. x c é um ponto do gráfico de coordenadas (,).. Porque o gráfico apresenta uma assímptota horizontal de equação y = podemos concluir ser a =. Porque o gráfico apresenta uma assímptota vertical de equação x = podemos concluir ser c =. para descobrirmos o valor de b vamos usar as coordenadas de b e teremos: = + b= função ficará: f( x) f( x) f( x).. O número de soluções da equação f( x) x 4+ x = + = = x x x = kdepende do valor de k. 5 De facto, se k for igual a, a equação f(x) = k não terá soluções porque não há imagens iguais a, o contradomínio de f é IR\{}. Se k, a equação f(x) = k terá uma única solução e isso porque a função é injectiva não permitindo que haja imagens iguais de objectos diferentes. Sendo assim o número de soluções da equação f(x) = k é sempre ou zero ou um, dependendo de k ser igual ou diferente de. PROFESSOR: Rosa Canelas 8 º B 004/005