EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Transcrição

1 PROVA 435/9 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos Época Especial 2002 Outubro PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 9 deste enunciado encontra-se um formulário. 435/1

2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. De duas funções 0 e 1, de domínio Ò!ß"Ó, sabe-se que 0 ÐÑ œ 1 ÐÑ ß a Ò!ß "Ó Em qual das figuras seguintes podem estar representados os gráficos de 0 e de 1? (A) () (C) (D) 435/2

3 2. Na figura estão representados, em referencial o. n. SC, dois quadrados. Considere, para cada valor de área EÐ,Ñ, Ò!ß$Ó, a da região sombreada (região interior à figura formada pelos dois quadrados e compreendida entre o eixo das ordenadas e a recta de equação œ, ) Qual dos gráficos seguintes é o da função E? (A) () (C) (D) 3. Seja 2 a função, de domínio $ß, definida por 2ÐÑ œ " Qual é o contradomínio de 2? (A) Ò )ß &Ó () Ò&ß "!Ó (C) Ò!ß &Ó (D) Ò"ß "!Ó 435/3

4 4. Na figura está parte da representação gráfica da função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ ln ( ln designa logaritmo de base /). Os pontos E e G, que pertencem ao gráfico da função 0, são vértices de um rectângulo ÒEFGHÓ, de lados paralelos aos eixos do referencial. As abcissas de E e de G são e ', respectivamente. Qual é a área do rectângulo ÒEFGHÓ? (A) ln '% () ln ( (C) ln )" (D) ln *$ 5. Uma certa variável aleatória \ tem a seguinte distribuição de probabilidades: Qual é a média desta variável aleatória? 3 " TÐ\ œ Ñ +, 3 +, (A) +, () (C) +, (D) +, 6. Sejam E e F dois acontecimentos associados a uma certa experiência aleatória. Sabe-se que E e F são independentes, que TÐEÑ œ!, e TÐFÑ œ!,&. Qual é o valor da probabilidade condicionada TÐElFÑ? (A)!, ()!$, (C)!&, (D)!(, 7. Qual das condições a seguir indicadas define, no plano complexo, uma recta paralela à semi-recta definida por +<1ÐDÑ œ 1? % (A) V/ÐDÑ œ 1 $ () M7ÐDÑ œ 1 % % (C) ldlœld " 3l (D) ld "lœld 3l 435/4

5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, considere: D œ $ 1-3= e D œ $3 % " 1.1. Determine, na forma algébrica, D D " $ 1.2. Resolva, em, a equação D œ D " Apresente as soluções na forma trigonométrica. 2. Considere a função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ ln ( ln designa logaritmo de base /) Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as três alíneas seguintes: 2.1. Determine a abcissa do ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo S Estude 0 quanto à existência de assimptotas não verticais do seu gráfico Na figura está, em referencial o. n. SC, parte do gráfico da função 0. A recta <, tangente ao gráfico de 0 no ponto de abcissa ", intersecta o eixo SC no ponto F e o eixo S no ponto E. Determine a área do triângulo ÒESFÓ. 435/5

6 3. A figura A representa um cubo de aresta. Considere, para cada vértice, os pontos das arestas que estão à distância! Ÿ" desse vértice. Seccionando o cubo por planos que contêm esses pontos, obtemos o poliedro ( cubo truncado) representado na figura Þ Figura A Figura 3.1. Mostre que o volume do cubo truncado é dado, em função de, por ZÐÑœ % % $ $ Ó!ß"Ó 3.2. Determine o valor de para o qual o volume do cubo truncado é mínimo. Para esse valor de, indique, justificando, quantas arestas tem o poliedro. 4. Considere um conjunto de 4 casais Escolhendo ao acaso quatro dessas oito pessoas, qual é a probabilidade de serem escolhidos dois homens e duas mulheres? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível Escolhendo ao acaso uma pessoa de cada casal, qual é a probabilidade de serem escolhidos dois homens e duas mulheres? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 5. Seja W um espaço de resultados, finito, associado a uma experiência aleatória. Mostre que é falsa a seguinte afirmação: «Quaisquer que sejam os acontecimentos E e F ÐE W e F W ), se TÐEÑ TÐFÑ œ " então E F é um acontecimento certo.» 435/6

7 6. Num certo dia de Verão, as temperaturas, em graus centigrados, fora e dentro de uma determinada habitação, são dadas, respectivamente, por: 0Ð>Ñ œ & "! cos 1 Ð> "!Ñ e.ð>ñ œ ",& $,& cos 1 Ð> *Ñ " " ( > designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia) Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, recolha os dados que lhe permitam calcular: a amplitude térmica (diferença entre o valor da temperatura máxima e o valor da temperatura mínima) dentro de casa; a amplitude térmica fora de casa; o desfasamento térmico (tempo que decorre entre as ocorrências das temperaturas máximas, fora e dentro de casa). Transcreva para a sua folha de prova os gráficos obtidos, bem como os valores encontrados. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, refira o que se pode concluir acerca das condições de isolamento da referida habitação (admita que uma habitação se considera bem isolada se a amplitude térmica dentro de casa for inferior à terça parte da amplitude térmica fora de casa e se o desfasamento térmico for superior a uma hora e meia). FIM 435/7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL /8

9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ 8 3 ) 8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435/9