Matemática Básica Intervalos

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1 Matemática Básica Intervalos Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, dados dois números reais, a e b, se a < b, então o intervalo aberto de a até b, denotado por (a, b) é o segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos. A representação geométrica deste intervalo é: a representação algébrica deste intervalo é: {x R a < x < b} ou (a, b) O intervalo fechado de a até b, denotado por [a, b] é o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo os extremos. A representação geométrica este intervalo é: a representação algébrica deste intervalo é: {x R a x b} ou [a, b] O intervalo entre a e b pode, também, ser um intervalo semiaberto a qualquer dos dois lados. A seguir, a representação do intervalo semiaberto à direita: {x R a x < b} ou [a, b) Matemática Básica - 03 pg. 1/6 Revisão: 05

2 (a) Operações com intervalos Podemos realizar operações com intervalos como descrito nos exemplos a seguir: 1. Se A={x R 2< x<5} e B={x R 3 x<8}, determinar A B e A B : Solução: A B : Resposta: A B={x R 3 x<5} A B : Resposta: A B = {x R 2<x<8} 2. Sistemas de coordenadas plano cartesiano Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma correspondência recíproca entre pontos geométricos e números reais. Esses sistemas são usados para investigação analítica de propriedades geométricas, como, por exemplo, determinar a equação de uma curva geométrica. (a) Sistema unidimensional de coordenadas sistema linear A origem O tem coordenada 0 (zero) e o ponto A correspondente à unidade de comprimento, tem coordenada 1. A medida de um segmento retilíneo orientado Um segmento P 1 P 2 determinado elos pontos P 1 (x 1 ) e P 2 ( x 2 ) é obtido tanto em grandeza como em sinal, subtraindo-se a coordenada do ponto inicial da coordenada do ponto final: Matemática Básica - 03 pg. 2/6 Revisão: 05

3 P 1 P 2 = x 2 x 1 A distância entre dois pontos no sistema linear A distância d entre dois pontos dados P 1 (x 1 ) e P 2 ( x 2 ) é definida como o valor absoluto do comprimento do segmento de reta determinado pelos dois pontos: d = P 1 P 2 = x 2 x 1 Sistema bidimensional de coordenadas plano cartesiano A posição de qualquer ponto num plano pode ser determinada com base em um par de coordenadas (números reais relativos). Há diversos sistemas de coordenadas o cartesiano é um deles. No sistema cartesiano são usados dois eixos concorrentes nos problemas tratados neste curso, usaremos eixos ortogonais. O ponto de cruzamento entre este dois eixos é considerada a origem das coordenadas (ponto (0, 0)). Por padrão os eixos identificados por x (o eixo horizontal ou das abcissas) e por y (o eixo vertical ou das ordenadas), sendo orientados conforme mostra a figura. Para a determinação de um ponto P qualquer no plano coordenado, projeta-se a sua posição em cada um dos eixos (x e y), ou seja, traçam-se paralelas aos dois eixos estas paralelas (projetantes) cortam os eixos nos pontos A e B, dessa forma, a posição do ponto P fica determinada pelas distâncias OA = x e OB = y, respectivamente, abcissa e ordenada do ponto P. Para indicar a posição x e y do ponto P, usa-se a notação P(x, y). Observações: Os eixos ortogonais usados ao longo deste curso representam um caso particular, no qual as projetantes são perpendiculares aos eixos. Nos problemas do nosso curso, será importante que os eixos sejam traçados em uma escala apropriada. O uso de papel quadriculado (ou milimetrado) auxilia, mas não é obrigatório, na correta representação e pontos e curvas em planos coordenados. Matemática Básica - 03 pg. 3/6 Revisão: 05

4 Exemplo: Representação gráfica dos pontos: A(3, 3); B(-4, 2); C(5, -1); D(-2, -3); E(0, 2); F(-5, 0); G(0, -4); H(6, 0) e I(0,0). Nota: Cada marcação nos eixos representa uma unidade Matemática Básica - 03 pg. 4/6 Revisão: 05

5 A representação de curvas num plano coordenado Sendo dadas duas variáveis, relacionadas entre si, será possível representar esta relação em um plano, através da representação gráfica dos valores das variáveis. Por exemplo, uma equação do primeiro grau, com duas variáveis (x e y), sendo y dependente de x, é representada por uma reta, na forma y = ax + b, assim como a equação y = ax² + bx + c, sendo a, b e c números reais, pode ser representada por uma parábola. Exemplo: A representação de y = x2 180, para valores de x > 0, pode ser construída como segue. Determinação do valor de y para cada valor de x. Vamos construir uma tabela que relacione os dois valores, calculando y com o uso da equação dada. Estes valores podem ser plotados no gráfico: x x² y = x Representação da função dada usando o software geogebra Matemática Básica - 03 pg. 5/6 Revisão: 05

6 3. Exercícios Onde não for especificado de forma diferente, assumir intervalos reais ( R ). 1. Escreva as expressões abaixo usando a notação de intervalo e represente-as sobre uma reta real: a) O subconjunto de formado pelos números reais maiores que 3. b) O subconjunto de formado pelos números reais menores que -1. c) O subconjunto de formado pelos números reais que são maiores ou iguais a 2. d) O subconjunto de formado pelos números reais que são menores ou iguais a Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos e represente-os na reta real: (a) [6, 10] (b) ]-1, 5] (c) ]-6, 0[ (d) [-5, 2[ (e) ]-10, 10[ (f) [ 3, 3 ] (g) [0, + [ (h) ]-, 1] (i) ]-, 3[ 3. Usando a notação de conjuntos, escrever os intervalos abaixo, representados na reta real: 4. Para cada um dos itens abaixo, realize as operações, representando-as em retas reais e apresente a resposta em notação de conjuntos: (a) Determinar A B : A={x R 1 x 2} e B={x R 0 x 5} A = [-3, 1[ e B = [0, 3] (b) Determinar A B : A={x R 0< x<3} e B={x R 5>x>1} A = [-2, 2[ e B = [0, + [ 5. Dados A = ]-4, 3], B = [-5, 5] e E = ]-, 1[, determinar: (a) A B E (b) A B E (c) (A B) E 6. Sejam A={x R 1 x 5} e B={3}. Obter e representar graficamente A B. 7. Representar graficamente os pontos determinados pelos pares ordenados (x, y), sendo x N 0 x 4 e y calculado por y=x 2. Matemática Básica - 03 pg. 6/6 Revisão: 05