TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega

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1 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega

2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 2 Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma relação entre as variáveis y e x, tal que f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b, c R, e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 3x 2 + 2x 3 ; f(x) = ( ½).x 2 9 f(x) = 5x 2x 2 EXEMPLO: Encontre os valores de a, b e c nos exemplos acima.

3 3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU DEFINIÇÂO Uma função f: R R é do 2º grau quando a todo valor de x está associado um único valor y = f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b e c sendo números reais e a 0 EXEMPLO: f(x) =1 + 4x 2 3x; a = 4, b = 3 e c = 1 OBS: Toda função do 2 o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na altura c. EXEMPLO: f(x) = x 2 2x; a = 1, b = 2 e c = 0 OBS: Quando b ou c é igual a zero, dizemos tratar-se de uma função incompleta do 2º grau. y y x x

4 4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O gráfico da função do 2º determina uma curva denominada PARÁBOLA. Inicialmente, podemos construir o gráfico de uma função do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores para x e calculando os valores de y. Vejamos: Construa o gráfico de f(x) = x 2 / y x

5 5 Raízes da Função do 2º grau É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da função determinam onde o gráfico intercepta o eixo x. Determinando os zeros da função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, fazendo f(x) = 0, temos: Multiplicando os dois membros por 4a e passando o termo f(x) = ax2 + bx + c = 0 independente para o 2º membro, temos: 4a2x2 + 4abx= 4ac Somando b2 nos dois membros, temos: 4a2x2 + 4abx + b2= b2 4ac Fatorando o Trinômio Quadrado Perfeito que surgiu no 1º membro e fazendo b2 4ac =, temos: (2ax + b)2 = 2ax + b = ± EXEMPLOS: Determine as raízes (ou zeros) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x2 5x+ 9 b) f(x) = ( 3/4)x2 c) f(x) = x d) f(x) = x2 6x + 5 e) f(x) = x2 +6x 5 2ax = b ±

6 6 Testando os Conhecimentos Sendo x = ( b + ) / 2a a) x + x b) x. x e x = ( b ) / 2a, determine:

7 7 Vértices da Função do 2º grau Conhecer o vértice da parábola significa conhecer as coordenadas desse ponto no gráfico. A notação V(x v, y v ) representa as coordenadas do vértice dadas pelo x do vértice (x v ) e pelo y do vértice (y v ). O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado pelo ponto b V 2a ; 4a Onde: x v = b / 2a e y v = / 4a Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira: 1º) Determinamos x v como sendo a média aritmética entre x e x ; 2º) Substituímos o valor encontrado ( -b / 2a ), na função genérica ƒ(x) = ax 2 +bx + c, e obtemos y v. Vamos tentar?

8 8 y Testando os Conhecimentos Observe os gráficos ao lado. Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2, f(x) = x2 + 1 e f(x) = x2 + 3 x Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2 e f(x) = (x 3)2 y O que podemos concluir à respeito do coeficiente a de x2? Como seria o esboço do gráfico de f(x) = x2 2? x 2)2 Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x +? O que podemos concluir com relação ao b = 0, parábola simétrica ao eixo y; eixo de simetria e o coeficiente b? Se Se b < 0, o eixo de simetria está à direita do eixo y; Se b > 0, o eixo está à esquerda do eixo y. Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?

9 9 O Papel do Discriminante (DELTA) Quando o valor de = 0, podemos verificar que x = x. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. SOLUÇÃO: Como = 0, então temos um único zero para a função. Esboço do gráfico: x = x = ( b± ) / 2a = 1 c = 1 x v = b / 2a = - (2) / 2.(1) = -1 y v = / 4a = (0) / 4.(1) = 0

10 10 O Papel do Discriminante (DELTA) Quando o valor de > 0, podemos verificar que x x. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. SOLUÇÃO: Como > 0, então temos duas raízes distintas para a função. Esboço do gráfico: x = ( b ) / 2a = 1 x" = ( b + ) / 2a = 3 c = 3 x v = b / 2a = - (-4) / 2.(1) = 2 y v = / 4a = (4) / 4.(1) = 1

11 11 O Papel do Discriminante (DELTA) Quando o valor de < 0, podemos verificar que NÃO existe raiz. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. SOLUÇÃO: Como < 0, então NÃO temos nenhuma raiz. Esboço do gráfico: NÃO existe raiz. Ou seja, o gráfico NÃO intercepta o eixo x. c = 2 x v = b / 2a = - (-1) / 2.(1) = 1 / 2 y v = / 4a = (-7) / 4.(1) = 7 / 4

12 12 RESUMINDO: O Papel do Discriminante (DELTA) a > 0 a < 0

13 13 Máximos e Mínimos da Parábola Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de MÁXIMOS e mínimos. Dependendo do sinal do coeficiente a, a função terá um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é denominado de vértice da parábola. EXEMPLO: Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo produto é dado por: C = x 2 80x Determine: a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir, para que seu custo fosse mínimo. b) O valor mínimo desse custo de produção. SOLUÇÃO: a) O número de unidades ideal é dado pelo valor de x v. b) Basta agora encontrar o valor da função custo (C), para x = 40.

14 14 Estudo do Sinal LEMBRE-SE: Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0. 1º CASO: a > 0 + 2º CASO: a <

15 15 Inequação do 2º Grau Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 EXEMPLO: Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação x 2 6x + 8 < 0 EXEMPLO: Determine o conjunto solução da inequação 1000 < x x 1875 < 2400

16 16 Inequação Produto e Quociente Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 EXEMPLO: Resolva em R a inequação (x 2 25) / ( 2x + 4) 0

17 17 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = 20t t. Qual a altura máxima atingida pela bala? 2 (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir: I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima. II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m. III. Essa função possui duas raízes reais. É correto afirmar que: a) todas as afirmativas são verdadeiras b) todas as afirmativas são falsas c) somente a afirmativa I é falsa d) somente a afirmativa II é verdadeira e) somente a afirmativa III é verdadeira

18 18 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação y = 1 / 7 x / 7 x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro de cesta, que está a 3 metros de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y. 4 (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados. Suponha que x dias após o término da campanha, as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a função y = -2x x + 150, conforme o gráfico. Calcule: a) depois de quantos dias, após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo. b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero.

19 19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 O gráfico da função definida por y = x 2 mx + (m 1), em que m R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então o valor de y que essa função associa a x = 2 é: a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 6 O lucro mensal de uma empresa é dado por L =, em que x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível? 5x30x2 + a) R$ 150,00 a) R$ 180,00 b) R$ 200,00 c) R$ 220,00 d) R$ 230,00

20 20 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t, em graus Celsius, segundo a função N(t) = 0,1t 2 4t Com base nessas informações, calcule: a) a temperatura em que o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo. b) O número mínimo de batimentos cardíacos por minuto. c) O número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia que está dormindo, quando a temperatura ambiente for de 30ºC. 8 Rogério é empresário de um grupo de danças folclóricas; ele está quebrando a cabeça para determinar o preço x, em reais do ingresso para o próximo show do grupo (se for alto, ele não conseguirá vender ingressos e, se for baixo, pode ser que ele tenha prejuízo). Com base nos últimos espetáculos dados pelo grupo, ele concluiu que o lucro L ( ou prejuízo, se L < 0) de cada espetáculo, em reais, é dado por L(x) = x 2 +80x 700. Calcule: Os valores de x para que não haja lucro nem prejuízo. b. O valor de x para que haja lucro máximo. c. O lucro máximo.

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