ÁLGEBRA. Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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1 1 ÁLGEBRA Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 2 Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma relação entre as variáveis y e x, tal que f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b, c R, e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 3x 2 + 2x 3 ; f(x) = ( ½).x 2 9 f(x) = 5x 2x 2 EXEMPLO: Encontre os valores de a, b e c nos exemplos acima.

3 3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU DEFINIÇÂO Uma função f: R R é do 2º grau quando a todo valor de x está associado um único valor y = f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b e c sendo números reais e a 0 EXEMPLO: f(x) =1 + 4x 2 3x; a = 4, b = 3 e c = 1 OBS: Toda função do 2 o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na altura c. EXEMPLO: f(x) = x 2 2x; a = 1, b = 2 e c = 0 OBS: Quando b ou c é igual a zero, dizemos tratar-se de uma função incompleta do 2º grau. y y x x

4 4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O gráfico da função do 2º determina uma curva denominada PARÁBOLA. Inicialmente, podemos construir o gráfico de uma função do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores para x e calculando os valores de y. Vejamos: Construa o gráfico de f(x) = x 2 / y x

5 5 Raízes da Função do 2º grau É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da função determinam onde o gráfico intercepta o eixo x. Determinando os zeros da função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, fazendo f(x) = 0, temos: Multiplicando os dois membros por 4a e passando o termo f(x) = ax2 + bx + c = 0 independente para o 2º membro, temos: 4a2x2 + 4abx= 4ac Somando b2 nos dois membros, temos: 4a2x2 + 4abx + b2= b2 4ac Fatorando o Trinômio Quadrado Perfeito que surgiu no 1º membro e fazendo b2 4ac =, temos: (2ax + b)2 = 2ax + b = ± EXEMPLOS: Determine as raízes (ou zeros) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x2 5x+ 9 b) f(x) = ( 3/4)x2 c) f(x) = x d) f(x) = x2 6x + 5 e) f(x) = x2 +6x 5 2ax = b ±

6 6 Testando os Conhecimentos Sendo x = ( b + ) / 2a a) x + x b) x. x e x = ( b ) / 2a, determine:

7 7 Vértices da Função do 2º grau Conhecer o vértice da parábola significa conhecer as coordenadas desse ponto no gráfico. A notação V(x v, y v ) representa as coordenadas do vértice dadas pelo x do vértice (x v ) e pelo y do vértice (y v ). O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado pelo ponto b V 2a ; 4a Onde: x v = b / 2a e y v = / 4a Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira: 1º) Determinamos x v como sendo a média aritmética entre x e x ; 2º) Substituímos o valor encontrado ( -b / 2a ), na função genérica ƒ(x) = ax 2 +bx + c, e obtemos y v. Vamos tentar?

8 8 y Testando os Conhecimentos Observe os gráficos ao lado. Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2, f(x) = x2 + 1 e f(x) = x2 + 3 x Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2 e f(x) = (x 3)2 y O que podemos concluir à respeito do coeficiente a de x2? Como seria o esboço do gráfico de f(x) = x2 2? x 2)2 Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x +? O que podemos concluir com relação ao b = 0, parábola simétrica ao eixo y; eixo de simetria e o coeficiente b? Se Se b < 0, o eixo de simetria está à direita do eixo y; Se b > 0, o eixo está à esquerda do eixo y. Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?

9 9 O Papel do Discriminante (DELTA) Quando o valor de = 0, podemos verificar que x = x. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. SOLUÇÃO: Como = 0, então temos um único zero para a função. Esboço do gráfico: x = x = ( b± ) / 2a = 1 c = 1 x v = b / 2a = - (2) / 2.(1) = -1 y v = / 4a = (0) / 4.(1) = 0

10 10 O Papel do Discriminante (DELTA) Quando o valor de > 0, podemos verificar que x x. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. SOLUÇÃO: Como > 0, então temos duas raízes distintas para a função. Esboço do gráfico: x = ( b ) / 2a = 1 x" = ( b + ) / 2a = 3 c = 3 x v = b / 2a = - (-4) / 2.(1) = 2 y v = / 4a = (4) / 4.(1) = 1

11 11 O Papel do Discriminante (DELTA) Quando o valor de < 0, podemos verificar que NÃO existe raiz. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. SOLUÇÃO: Como < 0, então NÃO temos nenhuma raiz. Esboço do gráfico: NÃO existe raiz. Ou seja, o gráfico NÃO intercepta o eixo x. c = 2 x v = b / 2a = - (-1) / 2.(1) = 1 / 2 y v = / 4a = (-7) / 4.(1) = 7 / 4

12 12 RESUMINDO: O Papel do Discriminante (DELTA) a > 0 a < 0

13 13 Máximos e Mínimos da Parábola Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de MÁXIMOS e mínimos. Dependendo do sinal do coeficiente a, a função terá um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é denominado de vértice da parábola. EXEMPLO: Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo produto é dado por: C = x 2 80x Determine: a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir, para que seu custo fosse mínimo. b) O valor mínimo desse custo de produção. SOLUÇÃO: a) O número de unidades ideal é dado pelo valor de x v. b) Basta agora encontrar o valor da função custo (C), para x = 40.

14 14 Estudo do Sinal LEMBRE-SE: Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0. 1º CASO: a > º CASO: a <

15 15 Inequação do 2º Grau Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 EXEMPLO: Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação x 2 6x + 8 < 0 EXEMPLO: Determine o conjunto solução da inequação 1000 < x x 1875 < 2400

16 16 Inequação Produto e Quociente Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 EXEMPLO: Resolva em R a inequação (x 2 25) / ( 2x + 4) 0

17 17 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = 20t t. Qual a altura máxima atingida pela bala? 2 (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir: I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima. II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m. III. Essa função possui duas raízes reais. É correto afirmar que: a) todas as afirmativas são verdadeiras b) todas as afirmativas são falsas c) somente a afirmativa I é falsa d) somente a afirmativa II é verdadeira e) somente a afirmativa III é verdadeira

18 18 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação y = 1 / 7 x / 7 x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro de cesta, que está a 3 metros de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y. 4 (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados. Suponha que x dias após o término da campanha, as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a função y = -2x x + 150, conforme o gráfico. Calcule: a) depois de quantos dias, após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo. b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero.

19 19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS Resolva os exercícios do livro: P.156 _ 1 e 3 P. 157 _ 9, 10 e 12 P.160 _ 18, 19, 20 e 26 P. 165 _ 28, 32 e 33 P. 181 _ 49, 53, 54, 55 e 58 P.182 _ 60 e 62 P. 183 _ 65 e 69 P. 184 _ 78, 79, 80 e 81 OBS: Foram selecionados 25 exercícios de um total de 85 exercícios do referente capítulo do livro.

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