A Derivada. 1.0 Conceitos. 2.0 Técnicas de Diferenciação. 2.1 Técnicas Básicas. Derivada de f em relação a x:

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1 1.0 Conceitos A Derivada Derivada de f em relação a x: Uma função é diferenciável / derivável em x 0 se existe o limite Se f é diferenciável no ponto x 0, então f é contínua em x 0. f é diferenciável em um intervalo se f for diferenciável em cada ponto do interior do intervalo e se existir a derivada lateral: Notação de Newton: Notação de Leibniz: 2.0 Técnicas de Diferenciação 2.1 Técnicas Básicas

2 2.2 Derivadas de Funções Trigonométricas 2.3 Regra da Cadeia 2.4 Derivadas de Funções Logarítmicas e Exponenciais 2.5 Derivada de Funções Trigonométricas Inversas

3 3.0 Aproximação Linear Local Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y = f(x) coincidir com alguma porção do gráfico da equação. Para realizar uma diferenciação implícita, derivam-se os dois lados da equação. 4.0 Diferenciabilidade da Função Inversa Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja diferenciável e injetora nesse intervalo. Então, f -1 é diferenciável em qualquer ponto da imagem de f no qual f (f -1 (x)) 0 e sua derivada é: 5.0 Regra de L Hospital Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis em um intervalo aberto que contenha x = a, exceto, possivelmente, em x = a, e que o limite de g e f, quando x a seja zero. Se existe o limite da divisão das duas funções, ou se esse limite seja mais ou menos infinito, então: Usa-se esta regra somente quando o limite encontra-se nas formas indeterminadas 0/0 e /.

4 6.0 Derivada em Gráficos Se f é diferenciável em um intervalo aberto I, então dizemos que f é côncava para cima e I se f é crescente em I e côncava para baixo em I se f é decrescente em I. 6.1 Ponto de Inflexão Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x 0 e muda de concavidade no ponto (x 0 )(f(x 0 )), então dizermos que o ponto do domínio é o ponto de inflexão de f. Os pontos de inflexão marcam os lugares da curva y = f(x) em que a taxa de variação de y em relação a x muda de crescente para decrescente, ou vice-versa. Os candidatos a este ponto são aqueles em que f (x) = Extremos Relativos Dizemos que x 0 é ponto de máximo local de f se existe uma vizinhança V de x 0 (V contido no Domínio) tal que f(x) f(x 0 ), para todo x pertencente a V. Dizemos que x 0 é ponto de mínimo local de f se existe uma vizinhança V de x 0 (V contido no Domínio) tal que f(x) f(x 0 ), para todo x pertencente a V. Um ponto é chamado de ponto crítico de f se f (x) = 0 ou f (x) Teste da Derivada Primeira Uma função f tem um extremo relativo naqueles pontos críticos em que f troca de sinal. Se f (x) > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f (x) < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0, então f tem um máximo relativo em x 0. Se f (x) < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f (x) > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0, então f tem um mínimo relativo em x 0. Se f (x) tem o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0, então f não tem extremo relativo em x 0.

5 6.2.2 Teste da Derivada Segunda 6.3 Extremos Absolutos Dizemos que x 0 é ponto de máximo absoluto de f se f(x) f(x 0 ), para todo x pertencente ao Domínio. Dizemos que x 0 é ponto de mínimo absoluto de f se f(x) f(x 0 ), para todo x pertencente ao Domínio. Teorema do Valor Extremo: Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito [a,b], então f tem um máximo e um mínimo absolutos em [a,b]. Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a,b), então ele deve ocorrer em um ponto crítico de f. 6.4 Método de Newton 6.5 Teorema de Rolle Seja f diferenciável no intervalo aberto (a,b) e contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f(a) = f(b) = 0, então há pelo menos um ponto c em (a,b), tal que f (c) = Teorema do Valor Médio Seja f contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Então existe pelo menos um ponto c em (a,b), tal que Ou seja, a reta tangente é paralela à reta secante. 6.7 Teorema da Diferença Constante Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo I e se f (x) = g (x) para cada x de I, então f = g é constante em I: Existe uma constante k tal que f(x) g(x) = k. Ou seja, f e g são translações verticais um do outro.

6 7.0 Construção de Gráficos Primeiro Passo: Definir o Domínio. Segundo Passo: Interseção com o eixo x (Raízes da função). Terceiro Passo: Interseção com o eixo y. Quarto Passo: Pontos Críticos. Calcular a primeira derivada, igualá-la a zero e quando não existe. Objetivo: achar os possíveis pontos críticos. Estudar o sinal de f (x). Objetivo: Verificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos relativos, se não são nada, ou se são assíntotas verticais. Quinto Passo: Pontos de Inflexão. Calcular a segunda derivada e igualá-la à zero. Objetivo: achar possíveis pontos de inflexão. Estudar o sinal de f (x). Objetivo: verificar se existem pontos de inflexão. Sexto Passo: Assíntotas. Calcular o limite tendendo ao domínio. Objetivo: Checar se existem assíntotas horizontais e verticais e se existem máximos e mínimos absolutos. Sétimo Passo: Compilação do gráfico.