Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

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1 Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 1 / 32

2 Distribuição Qui-quadrado Definição 9.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, denotada por χn 2, se sua função densidade for dada por: 1 f(x) = 2 n/2 Γ(n/2) x n/2 1 e x/2, x > 0, n > 0 Sendo, Γ(w) = x w 1 e x dx, w > 0. 0 IDEIA Graus de liberdade: Considere um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 2 / 32

3 Distribuição Qui-quadrado Exemplo Consideremos que 10 estudantes obtiveram em um teste média 8.0. Assim, a soma das 10 notas deve ser 80 (restrição). Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade de 10 1 = 9, pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente, contudo a 10 a nota deve ser igual a [80 (soma das 9 primeiras)]. A distribuição qui-quadrado pode ser interpretada da seguinte forma: Interpretação Como a soma de normais padronizada ao quadrado. Ou seja, se X i N(0,1), então n i=1 X 2 i χ 2 n Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 3 / 32

4 Distribuição Qui-quadrado Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 4 / 32

5 Distribuição Qui-quadrado A distribuição qui-quadrado possui numerosas aplicações importantes em inferência estatística. Devido a sua importância a distribuição qui-quadrado está tabulada para diferentes valores do parâmetro n. Assim, poderemos achar na tabela o valor χα 2 que satisfaça P(X χ α 2) = α ou P(X χα 2 ) = α, dependendo da tabela. O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita ou à esquerda de cada curva. Isto é, dado um valor de área na cauda direita, a tabela retorna um valor χα 2 tal que P(X χ α 2 ) = α e dado um valor de área na cauda esquerda a tabela retorna um valor χα 2 tal que P(X χ α 2) = α. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 5 / 32

6 Exemplo de Tabela Qui-quadrado Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 6 / 32

7 Distribuição Qui-quadrado Exemplo 1 Suponha que X segue uma distribuição qui-quadrado com 17 graus de liberdade e queremos encontrar x 1 e x 2 tais que P(x 1 X x 2 ) = OBSERVAÇÃO 9.1: Poderíamos ter encontrado outros valores de x 1 e x 2 para os quais P(x 1 X x 2 ) = 0.95, porém, na prática, sempre buscamos por valores de forma que as probabilidades P(X < x 1 ) = P(X > x 2 ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 7 / 32

8 Distribuição Qui-quadrado Exemplo 2 Suponha que X segue uma distribuição qui-quadrado com 7 graus de liberdade. a) Determine P(X > 9). b) Determine o valor x tal que P(X x) = 0.95 c) Determine o valor x tal que P(X > x) = 0.95 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 8 / 32

9 Propriedades da distribuição Qui-quadrado Propriedades E(X) = n Var(X) = 2n Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 9 / 32

10 Distribuição Qui-quadrado Teorema 9.1: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padronizada. Então X 2 tem distruibuição χ 2 com um grau de liberdade. Teorema 9.2: Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes normalmente distribuídas com média 0 e variância 1. Então Z = n i=1 X 2 i segue uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. Teorema 9.3: Sejam U 1,U 2,...,U k variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado com n 1,n 2,...,n k graus de liberdade resepectivamente. Então a soma W = U 1 + U U k tem distribuição qui-quadrado com n 1 + n n k graus de liberdade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 10 / 32

11 Distribuição Qui-quadrado Teorema 9.4: Suponha que a variável aleaatória Y tenha distribuição χ 2 n. Então para n suficientemente grande (n 30), a variável aleatória 2Y tem aproximadamente a distribuição N( 2n 1,1). Teorema 9.5: Seja X 1,...,X n uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média µ e variância σ 2, então (n 1)S 2 n i=1 = (X i X) 2 χ 2 σ 2 σ 2 (n 1) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 11 / 32

12 Distribuição t de Student A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística, com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses. Definição 9.2: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade, denotada por t ν, se sua função densidade for dada por: f(x) = 1 Γ ν+1 2 νπ Γ 1 + x 2 ν+1 2, ν = 1,2,3,... x ν ν 2 A expressão acima é assustadora???? Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades. Mais uma vez, o parâmetro ν, chamado de graus de liberdade, está associado ao número de parcelas independentes em uma soma. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 12 / 32

13 Propriedades da distribuição t de Student Propriedades E(X) = 0 para ν > 1 Var(X) = ν ν 2, para ν > 2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 13 / 32

14 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 14 / 32

15 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 15 / 32

16 Distribuição t de Student Principais Características Cada número de graus de liberdade da origem a uma distribuição t diferente. A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete uma maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas. A distribuição t-student se aproxima da normal quando aumenta o número de graus de liberdade. A curva é simétrica em torno do zero, ou seja, dado um a, tem-se que f(a) = f( a). Logo P(X a) = P(X a). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 16 / 32

17 Distribuição t de Student Ao contrário da distribuição normal, não existe uma relação entre as diferentes distribuições t, assim seria necessária uma tabela para cada valor de ν. É comum que os livros didáticos apresentem tabelas da distribuição t que envolvem os valores críticos. O motivo para isso é que a maioria das aplicações da distribuição t envolve a construção de intervalos de confiança ou de testes de hipóteses. Nessas aplicações, nosso interesse está no valor crítico associado a um nível de significância α que, como visto no gráfico a seguir, é o valor da abscissa que deixa probabilidade (área) α acima dela. Na tabela t, cada linha corresponde a um número diferente de graus de liberdade e cada coluna corresponde a uma área α na cauda superior. No corpo da tabela temos a abscissa t α que deixa a área α acima dela. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 17 / 32

18 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 18 / 32

19 Exemplo de Tabela t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 19 / 32

20 Distribuição t de Student Teorema 9.6: Sejam Y e Z variáeis aleatórias independentes, Y sendo normalmente distribuída com média 0 e variância 1, e Z tendo distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade. Então, a variável T = Y Z/ν tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade. Observação 9.1: Considere X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Então, a variável t = X µ s/ n onde s é o desvio padrão amostral, tem distribuição t de Student com n 1 graus de liberdade. Este fato é decorrente do teorema acima. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 20 / 32

21 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 21 / 32

22 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 22 / 32

23 Distribuição F de Snedecor A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequêntemente utilizada na inferência estatística para análise da variância. Definição 9.3: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, denotada por F ν1,ν 2, se sua função densidade for dada por: f(x) = Γ ν 1 2 Γ ν 1 +ν 2 2 ν1 ν 2 ν1 /2 x ν 1 /2 1 Γ ν2 ν1 x 2 ν (ν1 +ν 2 )/2, 0 < x <, ν 1,ν 2 = 1,2,3,... Novamente a expressão acima é assustadora???? Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 23 / 32

24 Propriedades da distribuição F de Snedecor Propriedades E(X) = ν 2 ν 2 2 para ν 2 > 2 Var(X) = 2ν 2 2 (ν 1 + ν 2 2) ν 1 (ν 2 4)(ν 2 2) 2, para ν 2 > 4 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 24 / 32

25 Distribuição F de Snedecor Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 25 / 32

26 Distribuição F de Snedecor Principais Características Cada par de graus de liberdade da origem a uma distribuição F diferente. A distribuição F depende de dois parâmetros. O primeiro (ν 1 ) é o grau de liberdade do numerador e o segundo (ν 2 ) do denominador. A variável aleatória F é não-negativa, e a distribuição é assimétrica à direita. A distribuição F se parece com a distribuição qui-quadrado, no entanto, os parãmetros ν 1 e ν 2 fornecem flexibilidade extra em relação à forma. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 26 / 32

27 Exemplo de Tabela F de Snedecor Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 27 / 32

28 Distribuição F de Snedecor Teorema 9.7: Sejam Q 1 e Q 2 variáveis aleatórias independentes, com distribuição qui-quadrado com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a variável aleatória F = Q 1/ν 1 Q 2 /ν 2 tem distribuição F de Snedecor com ν 1 graus de liberdade no numerador e ν 2 graus de liberdade no denominador. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 28 / 32

29 Distribuição F de Snedecor Observação 9.2: Suponha que temos duas populações independentes tendo distribuições normais com variâncias iguais a σ 2. Considere Y 11,...,Y 1n uma amostra aleatória da primeira população com n observações e Y 21,...,Y 2m uma amostra aleatória da segunda população com m observações. Então, a estatística f = (n 1)S 2 1 (n 1)σ 2 (m 1)S 2 2 (m 1)σ 2 tem distribuição F de Snedecor com (n 1) graus de liberdade no numerador e (m 1) graus de liberdadade no denominador, onde s 1 e s 2 sãos os desvios padrão amostrais da primeira e da segunda amostra, respectivamente. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 29 / 32

30 Distribuição F de Snedecor Observação 9.3: Em geral, as tabelas contêm apenas os pontos percentuais da cauda superior (valores de F α,ν1,ν2 para α 0.50) Os pontos percentuais da cauda inferior F 1 α,ν1,ν2 podem ser encontrados a partir da seguinte relação: F 1 α,ν1,ν 2 = 1 F α,ν2,ν 1 RELAÇÕES IMPORTANTES: F 1 α,1,ν = t 2 1 α/2,ν F α,ν, = χ 2 α,ν ν Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 30 / 32

31 Distribuição F de Snedecor Exemplo 1: Determine a) F 0.01,15,9 b) F 0.95,10,15 c) F 0.99,15,9 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 31 / 32

32 Distribuição F de Snedecor Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-student e F de Snedecor 04/14 32 / 32