Estimação. Como definir um estimador. Como obter estimativas pontuais. Como construir intervalos de confiança

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1 Estimação Como definir um estimador. Como obter estimativas pontuais. Como construir intervalos de confiança

2 Motivação A partir da média de uma a amostra em uma colheita recente, o conselho de qualidade do trigo nos Estados Unidos pode estimar a média atingida pela colheita como sendo 3,5 bushels (1 bushel é litros) por acre para todo o trigo de primavera daquele ano. Um vez que esta estimativa consiste de um único valor, ela é chamada de estimativa pontual. Contudo essa estimativa raramente se iguala com o parâmetro da população.

3 Estimação Faz parte da inferência estatística. Estuda como prever parâmetros populacionais a partir de amostras. Aplicabilidade: Custos de produtos são definidos a partir de índices esperados de produção. Vagas oferecidas a terceiros dependem do índice de aprovação dos alunos de escola. Proporção de indivíduos alfabetizados na área urbana ou rural.

4 Estimadores Função de dados que serve de base para avaliação de parâmetros. Estatísticas amostrais: médias, proporções, variâncias e desvios. Estimadores ideais dependem: Amostras aleatórias; Tamanho compatível com a dispersão populacional. Estimadores não enviesados.

5 Tipos de estimativas Pontual: o valor mais provável. As estimativas raramente coincidem com os valores populacionais. Na prática é a mais usada. Deve-se tomar cuidado com a variabilidade. Intervalares: são acompanhadas de um grau de confiança. É a mais adequada pois a probabilidade (grau de confiança) associada a uma estimativa pontual é zero. Dependem do grau de confiança e do desvio padrão e majorar a segurança custa caro (aumentar o tamanho da amostra).

6 Construindo estimativas pontuais das médias A média amostral é uma estimativa não enviesada da média populacional. Exemplo 1: Numero de frases em 54 anúncios de revistas Média amostral=1,4

7 Construindo estimativas intervalares das médias Início Sim σ é conhecido? Não Sim População Normal? Não Sim População Normal? Não Sim n > 30? Não Sim n > 30? Não Distribuição Normal Métodos Não Paramétricos Distribuição t Métodos Não Paramétricos

8 Determinação de Normalidade 1. Histograma: Rejeite se o histograma se afasta muito da forma de sino.. Outliers: rejeite normalidade se houver mais de um outlier. 3. Gráfico dos quantis normais: padrão dos pontos é razoavelmente próximo de uma reta.

9 Construindo estimativas intervalares das médias usando distribuição Normal Nível de confiança (1-α): é a probabilidade de que um intervalo estimado contenha o parâmetro populacional. Níveis mais usados: 99%, 95% e 90%. Nível de significância (α): é a probabilidade de que um intervalo estimado NÃO contenha o parâmetro populacional. Erro máximo da estimativa (tolerância): é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro. σ s E = zα σ x = zα ou E = tα n n

10 Construindo estimativas intervalares das médias usando distribuição Normal Intervalo de confiança: x E μ x + Usando a amostra de dados do exemplo 1 anterior (média=1,4), assumindo que a variância populacional é igual a variância amostral e 95% de confiança temos. s 5,0 E = zα =1,96 = 1,3 n 54 11,1 μ 13,7 Este intervalo conterá a média populacional com uma confiança de 95%. E

11 Construindo estimativas intervalares das médias usando distribuição Normal Tamanho da amostra mínima para estimar μ. Dado um nível de confiança (1-α) e um erro máximo de estimativa E, o tamanho mínimo a amostra necessária para estimar a média populacional é n = zασ E

12 Construindo estimativas intervalares das médias usando distribuição Normal Usando o exemplo 1 e considerando uma sentença como margem de erro, quantos anúncios devem ser incluídos na amostra se você quer ter 95% de confiança de que a estimativa intervalar contenha a média populacional? Solução: n = zασ E 1,96 5,0 = 1 = é o número mínimo.

13 Construindo estimativas intervalares das médias usando distribuição t Erro máximo da estimativa (tolerância): E = t α s n Para n-1 graus de liberdade Intervalo de confiança x E μ x + E Tamanho da amostra: n tα s = E

14 Construindo estimativas intervalares das médias usando distribuição t Exemplo : 16 restaurantes são selecionados ao acaso e mede-se a temperatura do café vendido em cada um. A temperatura média amostral é de 16 o F, com desvio amostral de 10 o F. Obtenha o intervalo de confiança de 95% para a temperatura média. E = t α s n 10 =,131 = ,67 μ 167,3 5,3

15 Propriedades da distribuição t Se uma variável aleatória X e aproximadamente normal, a distribuição amostral de X é uma distribuição t x μ t = s / n 1. Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.. É uma família de curvas, cada uma determinada pelo número de graus de liberdade. Graus de liberdade: número de escolhas livres deixados por uma amostra após uma estatística ter sido calculada.

16 Propriedades da distribuição t 3. A forma de sino reflete maior variabilidade que se espera com pequenas amostras. Quando o número de graus de liberdade cresce, a distribuição tende para a distribuição normal. Tem média zero.

17 Construindo estimativas das proporções A estimativa pontual para p, proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra. p ˆ = onde x é o número de sucessos em uma a amostra. Exemplo 3. Em um levantamento sobre esportes entre 104 adultos norteamericanos, 87 disseram que preferiram assistir jogos de futebol americano. pˆ = x n 8 %

18 Construindo estimativas intervalares das proporções Suposições: Aleatoriedade na amostra. Condições de um experimento binomial são satisfeitas. Aproximação normal pode ser aplicada. Erro máximo da estimativa. pq ˆ ˆ Intervalo de confiança n E = z α p ˆ E p pˆ + E

19 Construindo estimativas intervalares das proporções Aumentando o tamanho da amostra para melhorar a precisão sem diminuir o grau de confiança. n = pq ˆ ˆ z E Usando exemplo 3 e 95% de confiança temos, p ˆ = 87 > 5 e α n nq ˆ = 737 > 5 0,8 0,7 E = 1,96 = 104 0,08 0,5 p 0,308

20 Construindo estimativas das variâncias e desvios padrões A estimativa pontual para σ és e a estimativa pontual para σ é s onde s 1 = n 1 n i= 1 ( x i x) s 1 n 1 A distribuição qui-quadrado é usada para construir estimativas intervalares para a variância e o desvio padrão. Aplicabilidade: situações de controle de qualidade em processo de produção. = n i= 1 ( x i x)

21 Propriedades da distribuição qui-quadrado De uma população normalmente distribuída com variância σ, selecionarmos aleatoriamente amostras independentes de tamanho n e calculamos a variância amostral s para cada amostra. A estatística n 1 χ = s σ tem distribuição qui-qadrado com n-1 graus de liberdade.

22 Propriedades da distribuição qui-quadrado 1. A distribuição não é simétrica. Quando o número de graus de liberdade aumenta a distribuição se torna mais simétrica e se aproxima da distribuição normal. Os valores qui-quadrados nunca podem ser negativos.

23 Construindo estimativas intervalares das variâncias e desvios padrões Suposições: Amostra aleatória. População normalmente distribuída. Intervalo de confiança para a variância ( n 1) s χ ( n 1) s σ 1 α / χ α / Intervalo de confiança para o desvio padrão ( n 1) s χ σ 1 α / χ α / ( n 1) s

24 Construindo estimativas intervalares das variâncias e desvios padrões Exemplo 4. Seleciona-se aleatoriamente e pesa-se 30 amostras de um determinado antialérgico. O desvio padrão da amostra é de 1, miligramas. Supondo que os pesos tenham uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 99% para o desvio padrão populacional χ α = χ 13,1 χ1 α / = χ0,995 = 5, 36 / 0,005 = (9)(1,) 5,36 σ (9)(1,) 13,1 0,798 σ 3,183