Inferência. 1 Estimativa pontual de uma média 2 Estimativa intervalar de uma média. Renata Souza

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1 Inferência 1 Estimativa pontual de uma média 2 Estimativa intervalar de uma média Renata Souza

2 Aspectos Gerais A estatística descritiva tem por objetivo resumir ou descrever características importantes de dados populacionais ou amostrais conhecidos; A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre a população em estudo, a partir dos dados amostrais

3 Estimativa pontual da média Um estimador é uma estatística amostral (como a média amostral) utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional. Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional. A média amostral é a melhor estimativa pontual para a média populacional. No entanto, não devemos esperar que a estimativa pontual coincida com o verdadeiro valor de um parâmetro.

4 Estimativa pontual da média da população μ x é uma estimativa de μ. Seja (x 1,...,x n ) uma amostra de uma variável aleatória X. x = 1 n n i= 1 x i Quão boa é esta estimativa?

5 Um problema A maioria crê que a temperatura média do corpo humano é 98,6 o F. Uma amostra de dados parece sugerir que a média é 98,2 o F. Sabemos que as amostras tendem a variar, de forma que talvez a verdadeira temperatura média seja 98,6 o F e a média amostral 98,2 o F seja resultado de uma flutuação aleatória. Veremos se a temperatura média do corpo humano é ou não é 98,6 o F. Dados do problema: n=106, S = 0,62 o F e x = 98,20

6 Estimativa intervalar (Grandes amostras) A probabilidade de que uma estimativa pontual coincida com o verdadeiro valor de um parâmetro populacional é pequena. A estimativa intervalar complementa a estimação pontual. Procuramos um intervalo em torno da estimativa pontual, que acompanhado de uma medida de variabilidade, tenha uma alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro.

7 Estimativa intervalar (Grandes amostras) Assim, um intervalo de confiança (estimativa intervalar) representa uma amplitude de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor da população. Todo intervalo de confiança está associado a um grau de confiança. O grau de confiança (ou nível de confiança) é uma medida que representa a probabilidade do intervalo conter o parâmetro populacional. Tal probabilidade é chamada de 1- α.

8 Estimativa intervalar (Grandes amostras) A construção do intervalo para μ é baseada na distribuição amostral da média amostral e no grau de confiança (1- α). Não é necessário que a suposição de normalidade para os dados seja adequada.

9 Estimativa intervalar: variância conhecida Usando o teorema central do limite a média amostral X é uma variável aleatória que tem distribuição normal com Média μ e Desvio padrão X Transformando em uma variável aleatória (VA) normal padrão temos: X μ Z = ~ N(0,1) σ / n As médias amostrais apresentam uma chance relativamente pequena de estar em uma das caudas da distribuição normal. α. é a probabilidade da média estar em uma das caudas. σ n

10 Estimativa intervalar: variância conhecida -z α/2 e z α/2 são os valores críticos em cada cauda. Um valor crítico é um número na fronteira em que o valor da estatística amostral tem pouca chance de ocorrer. Nível de confiança f(x) onde z α/2 é um valor tal que a área da α/2 1 - α α/2 curva normal padronizada à sua direita é α/2 -z α/2 0 z α/2

11 Estimativa intervalar: variância conhecida σ Com os valores críticos -z α/2 e z α/2 e n podemos definir os valores do intervalo de confiança para μ, tal que Assim X μ P zα / 2 zα / 2 = 1 α σ / n X - μ / 2 o que σ n z X- z n μ α σ X σ n /2 + zα / 2 equivale a: - zα/2 α

12 Estimativa intervalar: variância conhecida A margem de erro E é a diferença máxima provável (com probabilidade 1- α) entre a média observada (a média amostral) e a verdadeira média (média populacional). O erro máximo pode ser obtido da seguinte maneira σ E = z α / 2 n

13 Estimativa intervalar: variância desconhecida Estima-se a variância populacional σ 2 através da variância amostral. 2 ( x x) S 2 = i n 1 2 Usa-se S = S para calcular o intervalo de confiança para μ (n > 30). X- z n μ α S X + zα / 2 /2 S n

14 Resposta do problema S 0,62 E= 1, 96 = 1,96 = n 106 0,12 x E μ x + E 98,20 0,12 μ 98,08 μ 98,32 98,20 0,12 Como o intervalo acima não contém 98,6 o F, parece muito pouco provável que o valor correto de μ seja 98,6 o F. Devemos rejeitar a hipótese comum de que a temperatura média do corpo é 98,6 o F

15 Exercícios Registram-se os valores 0,27; 0,26; 0,27; 0,33; e 0,32 em segundos, obtidos em cinco medições do tempo de fabricação de certo produto. Seja σ = 0,03. Determine intervalos de confiança com níveis de 95% e 99%, para o tempo real médio que se requer para fabricar o produto Um prefeito de certa cidade turística deseja estimar a média de gastos para os turistas que visitam a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 120 turistas foi selecionada para a investigação e encontrou-se que a média foi igual a 800 u.m.(unidades de medidas) com desvio padrão de 200 u.m. Achar o intervalo de confiança, a 99% para a média de gastos dos turistas com a cidade. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, ao nível de confiança de 95%, o erro de estimação seja 20 u.m.

16 Exercícios De um lote de chaves usadas em mecânica de automóveis, retira-se ao acaso uma amostra de 40 chaves. Sabendo-se que a resistência média dessa amostra é 30kg, e que a distribuição das resistências é normal com um desvio padrão de 2,5kg, determinar: Um intervalo de 90% de confiança para a resistência média do lote. O nível de confiança da estimativa se admitirmos que a resistência média está no intervalo 30 ± 0,7748kg.