Distribuições Amostrais

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1 Distribuições Amostrais 1

2 Da população, com parâmetro, retira-se k amostras de tamanho n e calcula-se a estatística. Estas estatísticas são as estimativas de. As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, com uma média, uma variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística chama-se distribuição amostral da estatística ou distribuição por amostragem da estatística.

3 Se, por exemplo, a grandeza estatística particular adotada for a média, então a distribuição será denominada distribuição amostral das médias ou distribuição amostral da média. De forma similar, podemos ter distribuições amostrais de desvio padrão, da variância, da mediana, das proporções, etc. A inferência estatística se baseia em tais distribuições, assumindo, portanto, papel fundamental na análise estatística. 3

4 AMOSTRAS POPULAÇÃO 1 x 1 1 : média. amostra11 s : desvio padrão1 : média : desviopadrão 3 x s x s : média.amostra : desvio padrão. 3 3 : média.amostra3 : desvio padrão.3 4

5 Generalizando: População Amostras ˆ 1 ˆ ˆ ˆ n Distribuição Amostral 5

6 Observação: Usamos para a média populacional, para a média amostral. Da mesma forma designa a variância populacional (e o desvio padrão), a variância amostral ( e s o desvio padrão). s x Exemplo 1: Para ilustrar o conceito de distribuição amostral vamos construir a da média de uma amostra aleatória de tamanho n= extraída, sem reposição, de uma população de tamanho N=5, cujos os elementos são os números 3,5,7,9, e 11. (quadro) 6

7 Resumindo o processo: a) População com um parâmetro. b) Retira-se k amostras por um processo aleatório qualquer c) Calcula-se o valor para cada amostra (i = 1,,..., k). d) Com os valores de das k amostras constrói-se a distribuição amostral de. ˆi ˆi 7

8 Distribuição amostral da média (distribuição de ) Z (normal) ou t (t-student). Distribuição amostral da variância qui-quadrado ( ). Distribuição amostral de duas variâncias F (Fisher e Snedecor). Distribuição amostral da proporção Z (normal) 8

9 Distribuição Z (Normal) Se a variável possui distribuição normal, então distribuição normal. terá Portanto, se ~ N, ~ N, n isto é: a distribuição da variável por amostragem casual simples será sempre normal com a mesma média da população e variância n vezes menor. Isso significa que, quanto maior o tamanho da amostra, menor será a variância 9

10 o Se a população não é normal, qual a distribuição amostral de? o Se a população com parâmetros e não é normal, a variável não será exatamente normal, mas sim aproximadamente normal, isto é n Z N(0,1) onde n distribuição padronizada n fato que resulta do Teorema do Limite Central: 10

11 Teorema do Limite Central A distribuição das médias amostrais, obtidas de amostras de tamanho n, selecionadas ao acaso de uma população de tamanho N, com média e variância será aproximadamente normal com média e variância se a amostragem for realizada com reposição, ou x x n N n N 1 se a amostragem for realizada sem reposição em uma n população finita ( N > 0,05 ), independentemente da distribuição da variável em questão. x n 11

12 o Em notação tem-se: ~ N ; o n ~ N ; n N N n 1 Pop. infinita Pop. finita o A aproximação normal se torna progressivamente melhor com o aumento do tamanho da amostra. o No geral, considera-se que para n 30 a aproximação normal da distribuição amostral das médias é adequada, qualquer que seja a distribuição populacional da variável aleatória. o Se a população da variável possui distribuição normal, então qualquer que seja o tamanho da amostra para se calcular a média, esta terá distribuição também normal. 1

13 13

14 Exercício 1: Seja ~ N(80; 6). Dessa população retiramos uma amostra de tamanho 5, isto é, n=5. Calcular P( 83) e P( 8). 14

15 Distribuição t de Student (n<30) Sabe-se que e sua distribuição padronizada é dada por: ~ N( ; ) n Z n Em muitas situações não se conhece ou, mas sim sua estimativa s ou s 15

16 Precisamos substituir por seu estimador s, portanto, alteramos a estatística Z para a estatística t s n a qual segue uma distribuição t de Student com (n-1) graus de liberdade. Nestas situações a distribuição deixa de ser normal padronizada. 16

17 Características da distribuição t-student É simétrica em relação a média (semelhante a distribuição de Z), com média 0; Tem forma campanular (semelhante à normal); Quando n tende para infinito, a distribuição t- Student tende para a distribuição normal. Na prática, a aproximação é considerada boa quando n >30. Possui v=n-1 graus de liberdade. 17

18 CONDIÇÕES PARA UTILIZAR A DISTRIBUIÇÃO T STUDENT O tamanho da amostra é pequeno (n<30) é desconhecido A Tabela t A tabela t - Student fornece as probabilidades do valor t ser maior que um valor específico. Depende do número de graus de liberdade v = gl= n-1 18

19 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, t + Pt ( 10,764)? P(t g > t ) Pt ( 10, 764) 0, 01 g 0,1 0,05 0,05 0,01 0, ,078 6,314 1,706 31,81 63,656 1,886,90 4,303 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4, ,476,015,571 3,365 4,03 6 1,440 1,943,447 3,143 3, ,415 1,895,365,998 3, ,397 1,860,306,896 3, ,383 1,833,6,81 3, ,37 1,81,8,764 3, ,363 1,796,01,718 3, ,356 1,78,179,681 3, ,350 1,771,160,650 3, ,345 1,761,145,64, ,341 1,753,131,60, ,337 1,746,10,583, ,333 1,740,110,567, ,330 1,734,101,55, ,38 1,79,093,539, ,35 1,75,086,58, ,33 1,71,080,518,831 1,31 1,717,074,508, ,319 1,714,069,500, ,318 1,711,064,49, ,316 1,708,060,485, ,315 1,706,056,479, ,314 1,703,05,473, ,313 1,701,048,467, ,311 1,699,045,46, ,310 1,697,04,457, ,303 1,684,01,43, ,99 1,676,009,403, ,96 1,671,000,390, ,89 1,658 1,980,358,617 1,8 1,645 1,960,36,576 19

20 Exercício : Obter os seguintes valores da distribuição t - Student: a) P (-,160 < t < a) = 0,95 com 13 g.l. b) P (a < t < 1,708) = 0,90 com 5 g.l. c) P (t > a) = 0,05 com 0 g.l. d) P (t < a) = 0,10 com 9 g.l. e) P( -,01 < t<,01) =K com 40 g. l. f) P(t <,01) = K com 11 g.l. g) P(t > -,13) = K com 4 g. l. h) P(t >,81) = K com 9 g. l. 0

21 Distribuição de qui-quadrado ( ) Retira-se uma amostra de n elementos de uma população normal com média e variância teremos que s n i 1 x n i x 1 segue uma distribuição de com n-1 graus liberdade. A transformação de s em é obtida por ( n 1) s que tem distribuição com n-1 graus de liberdade. 1

22 Os valores de não podem ser negativos Não é simétrica em = 0 Quanto maior o tamanho de n, a distribuição tende a normal. Como a curva não é simétrica, então olha-se na tabela dois valores de, quando queremos saber se um valor está entre limites. A tabela fornece as probabilidades do valor ser maior que um valor específico

23 0 + t P P( 10 3, 5)? ( g t ) P( 10 3, 5) 0,975 g 0,005 0,010 0,05 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0, ,88 6,63 5,0 3,84,71 0,016 0,0039 0,0010 0, , ,60 9,1 7,38 5,99 4,61 0,1 0,10 0,051 0,00 0, ,84 11,34 9,35 7,81 6,5 0,58 0,35 0, 0,11 0, ,86 13,8 11,14 9,49 7,78 1,06 0,71 0,48 0,30 0,1 5 16,75 15,09 1,83 11,07 9,4 1,61 1,15 0,83 0,55 0, ,55 16,81 14,45 1,59 10,64,0 1,64 1,4 0,87 0,68 7 0,8 18,48 16,01 14,07 1,0,83,17 1,69 1,4 0,99 8 1,95 0,09 17,53 15,51 13,36 3,49,73,18 1,65 1,34 9 3,59 1,67 19,0 16,9 14,68 4,17 3,33,70,09 1, ,19 3,1 0,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,5,56, ,76 4,7 1,9 19,68 17,8 5,58 4,57 3,8 3,05,60 1 8,30 6, 3,34 1,03 18,55 6,30 5,3 4,40 3,57 3, ,8 7,69 4,74,36 19,81 7,04 5,89 5,01 4,11 3, ,3 9,14 6,1 3,68 1,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4, ,80 30,58 7,49 5,00,31 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3,00 8,85 6,30 3,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5, ,7 33,41 30,19 7,59 4,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5, ,16 34,81 31,53 8,87 5,99 10,86 9,39 8,3 7,01 6, ,58 36,19 3,85 30,14 7,0 11,65 10,1 8,91 7,63 6, ,00 37,57 34,17 31,41 8,41 1,44 10,85 9,59 8,6 7, ,40 38,93 35,48 3,67 9,6 13,4 11,59 10,8 8,90 8,03 4,80 40,9 36,78 33,9 30,81 14,04 1,34 10,98 9,54 8, ,18 41,64 38,08 35,17 3,01 14,85 13,09 11,69 10,0 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33,0 15,66 13,85 1,40 10,86 9, ,93 44,31 40,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,1 11,5 10,5 6 48,9 45,64 41,9 38,89 35,56 17,9 15,38 13,84 1,0 11, ,64 46,96 43,19 40,11 36,74 18,11 16,15 14,57 1,88 11, ,99 48,8 44,46 41,34 37,9 18,94 16,93 15,31 13,56 1,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,09 19,77 17,71 16,05 14,6 13, ,67 50,89 46,98 43,77 40,6 0,60 18,49 16,79 14,95 13, ,77 63,69 59,34 55,76 51,81 9,05 6,51 4,43,16 0, ,49 76,15 71,4 67,50 63,17 37,69 34,76 3,36 9,71 7, ,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,19 40,48 37,48 35, ,1 100,43 95,0 90,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43, ,3 11,33 106,63 101,88 96,58 64,8 60,39 57,15 53,54 51, ,30 14,1 118,14 113,15 107,57 73,9 69,13 65,65 61,75 59, ,17 135,81 19,56 14,34 118,50 8,36 77,93 74, 70,06 67,33 3

24 0 + t P P( 10 3,5)? ( g t ) P( 10 3, 5) 0,975 P( 15?) 0,9 P( 15 8,55) 0,9 g 0,005 0,010 0,05 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0, ,88 6,63 5,0 3,84,71 0,016 0,0039 0,0010 0, , ,60 9,1 7,38 5,99 4,61 0,1 0,10 0,051 0,00 0, ,84 11,34 9,35 7,81 6,5 0,58 0,35 0, 0,11 0, ,86 13,8 11,14 9,49 7,78 1,06 0,71 0,48 0,30 0,1 5 16,75 15,09 1,83 11,07 9,4 1,61 1,15 0,83 0,55 0, ,55 16,81 14,45 1,59 10,64,0 1,64 1,4 0,87 0,68 7 0,8 18,48 16,01 14,07 1,0,83,17 1,69 1,4 0,99 8 1,95 0,09 17,53 15,51 13,36 3,49,73,18 1,65 1,34 9 3,59 1,67 19,0 16,9 14,68 4,17 3,33,70,09 1, ,19 3,1 0,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,5,56, ,76 4,7 1,9 19,68 17,8 5,58 4,57 3,8 3,05,60 1 8,30 6, 3,34 1,03 18,55 6,30 5,3 4,40 3,57 3, ,8 7,69 4,74,36 19,81 7,04 5,89 5,01 4,11 3, ,3 9,14 6,1 3,68 1,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4, ,80 30,58 7,49 5,00,31 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3,00 8,85 6,30 3,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5, ,7 33,41 30,19 7,59 4,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5, ,16 34,81 31,53 8,87 5,99 10,86 9,39 8,3 7,01 6, ,58 36,19 3,85 30,14 7,0 11,65 10,1 8,91 7,63 6, ,00 37,57 34,17 31,41 8,41 1,44 10,85 9,59 8,6 7, ,40 38,93 35,48 3,67 9,6 13,4 11,59 10,8 8,90 8,03 4,80 40,9 36,78 33,9 30,81 14,04 1,34 10,98 9,54 8, ,18 41,64 38,08 35,17 3,01 14,85 13,09 11,69 10,0 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33,0 15,66 13,85 1,40 10,86 9, ,93 44,31 40,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,1 11,5 10,5 6 48,9 45,64 41,9 38,89 35,56 17,9 15,38 13,84 1,0 11, ,64 46,96 43,19 40,11 36,74 18,11 16,15 14,57 1,88 11, ,99 48,8 44,46 41,34 37,9 18,94 16,93 15,31 13,56 1,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,09 19,77 17,71 16,05 14,6 13, ,67 50,89 46,98 43,77 40,6 0,60 18,49 16,79 14,95 13, ,77 63,69 59,34 55,76 51,81 9,05 6,51 4,43,16 0, ,49 76,15 71,4 67,50 63,17 37,69 34,76 3,36 9,71 7, ,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,19 40,48 37,48 35, ,1 100,43 95,0 90,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43, ,3 11,33 106,63 101,88 96,58 64,8 60,39 57,15 53,54 51, ,30 14,1 118,14 113,15 107,57 73,9 69,13 65,65 61,75 59, ,17 135,81 19,56 14,34 118,50 8,36 77,93 74, 70,06 67,33 4

25 Exercício 3: Obter os seguintes valores da distribuição de : a) P ( > a) = 0,05 com 1 g.l. b) P ( < a) = 0,05 com 1 g.l. c) P( > a) = 0,95 com 15 g. l. d) P( > a) = 0,10 com 11 g. l. e) P (7,6 < < a) = 0,90 com 15 g.l. f) P (a < < 34,17) = 0,95 com 0 g.l. g) P (19,768 < < 45,7) = k com 9 g.l. h) P( >9,488) = K com 4 g.l. i) P( < 30,191) = K com 17 g.l. j) P( > 8,343) = K com 9 g k) P( < 5,009) = K com 13 g.l. 5

26 Considerando uma população infinita, em que p é a probabilidade (ou proporção) de certo evento. p Seja a probabilidade (ou proporção) na amostra de tamanho n. A distribuição amostral de p será: ~ ; ; p N p pq n q 1 p Caso a amostragem seja realizada sem reposição e a população seja finita : p ~ N p; pq N n ; n N 1 q 1 p 6

27 7

28 Exercício 4: Uma v.a. tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. a) Calcule P(90 << 110) b) Se é a média de uma amostra aleatória simples de 16 elementos retirados dessa população, calcule P(90 110) 8

29 Exercício 5: A temperatura média em uma certa região tem sido de 6 C em certo mês do ano. Se o desvio padrão de uma amostra aleatória de 16 dias for igual a 5 C., qual a probabilidade da média da amostra; a) Ser maior do que 3,336 C? b) Estar entre,316 C e 9,684 C? 9

30 Exercício 6: Acredita-se que 30% das encomendas feitas a uma firma são provenientes de clientes que compram pela primeira vez. Uma amostra aleatória de 100 pedidos será usada para estimar a proporção de clientes que compram pela primeira vez. Qual a probabilidade da proporção amostral estar entre 0, e 0,4? 30

31 31

32 Distribuição Amostral de Duas variâncias. Distribuição F A distribuição da razão entre duas variâncias de Distribuição F de Fisher & Snedecor. s / s 1 é chamada Para se transformar a razão entre duas variâncias amostrais, na estatística F, utiliza-se da seguinte expressão:. s v 1 F 1 = n s v = n - 1 A curva de F é não simétrica, tem origem no zero e apresenta uma tabela específica para cada valor de probabilidade solicitada ( ). As tabelas mais usadas são: = 0,10; = 0,05; = 0,05; = 0,01 e = 0,005. 3

33 ,5% 0 + F P( F F ) 0,05 g, g 1 PF ( 15,0?) 0,05 PF ( 15,0,57) 0,05 g 33

34 ,5% 0 + F P( F F ) 0,05 g, g 1 PF ( 5,5?) 0,05 PF ( 5,5?) 0,05 g 34

35 ,5% 0 + F P( F F ) 0,05 g, g 1 PF ( 5,5?) 0,05 PF ( 5,5?) 0,05 g PF ( 5,5 3,13) 0,05 1 PF ( 5,5 ) 0,05 3,13 PF ( 5,5 0,319) 0,05 35

36 Exercício 7: Obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor: a) P(F > a) = 0,10 com v1 = 5 e v = 5 g.l. b) P(F < a) = 0,90 com n1 = 6 e n = 6 g.l. c) P(F > a) = 0,05 com v1 = 13 e v = 9 g.l. d) P(F > 1,84) = k com v1 = 0 e v = 40 g.l. e) P(F > 1,96) = k com v1 = 40 e v = 1 g.l. f) P(F< 6,37) = k com v1 = 6 e v = 8 g. l. 36

37 Supor duas populações infinitas 1 e, com proporções p 1 e p. Destas populações retiram-se amostras n 1 e n, então: p q p q p p N p p sendo q p 1 1 ˆ ˆ 1 ~ 1 ; ; 1 n1 n Se a amostragem for realizada sem reposição, e a população N n for finita, usar o fator de correção multiplicando na N 1 variância da população em questão. 37