Introdução à Inferência Estatística

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1 Introdução à Inferência Estatística Capítulo 10, Estatística Básica (Bussab&Morettin, 7a Edição) 2a AULA 02/03/2015 MAE229 - Ano letivo 2015 Lígia Henriques-Rodrigues 2a aula (02/03/2015) MAE229 1 / 16

2 1. Contexto A Teoria de Probabilidade e a Inferência Estatística são processos "complementares" Teoria da probabilidade: parte-se de um modelo totalmente especificado, que se assume como correto e se calcula, e.g., as probabilidades de certos acontecimentos Inferência estatística: Observam-se certos acontecimentos, e procura inferir-se sobre o modelo prababilístico pelo qual se regirá o experimento aleatório. Exemplo: Considere-se um grupo numeroso de pessoas entre as quais há uma proporção θ de fumadores. Se θ conhecido e estivermos interessados em conhecer a probabilidade de encontrar x fumadores num grupo de 10 pessoas escolhidas ao acaso Teoria da Probabilidade Na prática, sucede quase sempre que θ é desconhecido. A partir da observação do número de fumadores na amostra de 10 pessoas, pretende-se tirar conclusões sobre a proporção de fumadores na população, θ Inferência Estatística 2a aula (02/03/2015) MAE229 2 / 16

3 2. População e Amostra População É o conjunto de todos os elementos ou resultados sobre investigação. Amostra É qualquer subconjunto da população. Exemplos: Consideramos uma pesquisa para estudar os salários dos 500 funcionários da Companhia MB. Seleciona-se uma amostra de 36 indivíduos, e anotam-se os seus salários. Consideramos uma pesquisa para estudar a duração de vida útil de um novo tipo de lâmpadas, pois acredita-se que a duração desse novo tipo é maior. Então 100 lâmpadas do novo tipo são deixadas acesas até queimarem. 2a aula (02/03/2015) MAE229 3 / 16

4 Objetivo O objetivo da Inferência Estatística é produzir afirmações sobre dada característica da população, na qual estamos interessados, a partir de informações recolhidas de uma parte dessa população. A inferência clássica procura responder a questões do tipo: Os dados x são compatíveis com o modelo teórico? Neste ponto inserem-se os chamados testes de hipóteses. Admitindo a validade do modelo, como escolher um ou mais elementos do modelo que representem adequadamente os parâmetros desconhecidos à custa da informação contida nos dados? Neste ponto insere-se a estimação pontual e intervalar. 2a aula (02/03/2015) MAE229 4 / 16

5 Amostragem Aleatória Simples (AAS) Aleatoriamente sorteia-se um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma chance de ser escolhidos. Repete-se o procedimento até que sejam sorteadas as n unidades da amostra. AAS com/sem reposição: com reposição implica a propriedade de independência entre unidades selecionadas. Isso facilita o tratamento matemático de propriedades de estimadores que vamos construir em cima da amostra. Definição Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n de uma variável aleatória X, com dada distribuição, é o conjunto de n variáveis aleatórias independentes X 1, X 2,..., X n, cada uma com a mesma distribuição de X. (X 1,..., X n ): Amostra aleatória simples (x 1,..., x n ): Amostra observada 2a aula (02/03/2015) MAE229 5 / 16

6 Estatísticas e Parâmetros Definição Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, é qualquer função da amostra que não depende de parâmetros desconhecidos. Exemplos A média amostral X = 1 n n i=1 X i é uma estatística; A variância amostral S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 é uma estatística; X (1) = min (X 1, X 2,..., X n ) é uma estatística; X (n) = max (X 1, X 2,..., X n ) é uma estatística. Definição Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população. 2a aula (02/03/2015) MAE229 6 / 16

7 Designação População AAS Amostra observada X (X 1,..., X n ) (x 1,..., x n ) Média µ = E[X] X = 1 n n i=1 X i x = 1 n n i=1 x i Variância σ 2 = Var[X] S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2 s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) Proporção p ˆp ˆp As estatísticas são v.a s e a sua distribuição amostral desempenha um papel fundamental na teoria da inferência estatística. Esquema: uma população X, com determinado parâmetro de interesse θ; todas as amostras retiradas da população, via AAS; para cada amostra, calculamos o valor observado, t, da estatística T ; os novos valores t formam uma nova população, cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral de T. 2a aula (02/03/2015) MAE229 7 / 16

8 Distribuição Amostral da Média Teorema Seja X uma v.a. com média µ e variância σ 2, e seja (X 1,..., X n ) uma AAS de X. Então, sendo X = 1 n n i=1 X i, a média da amostra, E(X) = µ e Var(X) = σ2 n. Teorema do Limite Central (TLC) (n 30) Para AAS (X 1,..., X n ), retiradas de uma população com média µ e variância σ 2 finita, a distribuição amostral de X aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média µ e variância σ 2 /n. NOTA: Se X N(.,.) então X N(.,.). Se X segue uma distribuição qualquer e verifica as condições do TLC então a distribuição amostral de X aproxima-se de uma normal. 2a aula (02/03/2015) MAE229 8 / 16

9 Exemplo 1: Uma máquina está regulada para encher pacotes de café automaticamente segundo uma distribuição normal com média de 10 gramas e desvio padrão desconhecido. Recolheu-se uma amostra de n = 10 pacotes, tendo-se obtido os seguintes pesos (em gramas): 10, 09; 10, 15; 9, 78; 9, 77; 9, 91; 10, 25; 9, 98; 10, 9; 10, 05; 9, 12. Qual é a probabilidade de encontrarmos a média X diferindo de 10 gramas de menos de 0.32 gramas. 2a aula (02/03/2015) MAE229 9 / 16

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11 Distribuição Amostral de uma Proporção Considere-se uma população em que a distribuição de elementos portadores de determinada caraterística é p e defina-se a v.a. X = { 1, se o indivíduo for portador da característica 0, se o indivíduo não for portador da característica. Logo, E(X) = p = µ e Var(X) = p(1 p) = σ 2, isto é, X Ber(p). Retirada uma AAS de dimensão n dessa população, define-se por Y n - o total de indivíduos portadores dessa característica ˆp = Yn n - a proporção amostral de indivíduos portadores dessa característica, com Y n b(n, p). Nas condições do TLC, para n grande, podemos considerar a distribuição amostral de p como aproximadamente normal, ( ) p(1 p) ˆp N p,. n 2a aula (02/03/2015) MAE / 16

12 Exemplo 2: Suponha que 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma AAS de n = 100 estudantes e calculamos ˆp = proporção de mulheres na amostra. Qual probabilidade de que ˆp difira de p em menos de 0,01? 2a aula (02/03/2015) MAE / 16

13 Determinação do tamanho de uma amostra Chamamos de erro amostral (da média ou da proporção) e designamos por e a v.a. que mede a diferença entre a estatística e o parâmetro. Assim, Tendo-se e N e = X µ ou e = ˆp p. ) (0, σ2 n ou ( e N 0, ) p(1 p). n Suponhamos que pretendemos determinar o valor de n que satisfaz P( X µ ) ε) γ com 0 < γ < 1 e ε é o erro amostral (observado) máximo que podemos suportar. Definindo γ = P( z γ < Z < z γ ), com z γ = n ε σ, obtemos No caso de proporções, n = σ2 z 2 γ ε 2. n = p(1 p) z2 γ ε 2. 2a aula (02/03/2015) MAE / 16

14 Observando o gráfico da função p(1 p), para 0 p 1 vemos que: a função p(1 p) é uma parábola simétrica em torno de p = 0, 5; a função atinge o seu máximo (0,25) quando p = 0, 5. Deste modo, na prática, se nada sabemos sobre o valor de p, substituimos p(1 p) por 0,25 obtendo-se ( zγ ) 2 n = 0, 25, ε que pode fornecer um valor de n maior do que o necessário. 2a aula (02/03/2015) MAE / 16

15 Se soubermos que p 0, 20, então o valor máximo de p(1 p) é 0, 2 0, 8 = 0, 16 e reduzimos o valor de n para n = 0, 16 ( z γ ) 2 ε. Se soubermos que p 0, 70, então o valor máximo de p(1 p) é 0, 7 0, 3 = 0, 21 e reduzimos o valor de n para n = 0, 21 ( z γ ) 2 ε. Se soubermos que 0, 40 p 0, 70, então o valor máximo de p(1 p) é 0, 5 0, 5 = 0, 25 e, neste caso, não há redução, ou seja, n = 0, 25 ( z γ ) 2 ε. 2a aula (02/03/2015) MAE / 16

16 Exemplo 3: Suponha que se pretende estimar, com base em uma amostra, a proporção p de alunos da USP que foram ao teatro no último mês. Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro cometido ao se estimar p seja no máximo 0, 02 com um coeficiente de confiança de 95%? Suponha que temos informação de que no máximo 30% dos alunos da USP foram ao teatro no último mês. Qual a dimensão da amostra que devemos recolher? Houve redução? 2a aula (02/03/2015) MAE / 16