5 TORIA ELEMENTAR DA AMOSTRAGEM

Transcrição

1 5 TORIA ELEMENTAR DA AMOSTRAGEM É errôneo pensar que, caso tivéssemos acesso a todos os elementos da população, seríamos mais precisos. Os erros de coleta e manuseio de um grande número de dados são maiores do que as imprecisões a que estamos sujeitos quando generalizamos, via inferência, as conclusões de uma amostra bem selecionada. Para que possamos fazer inferências válidas sobre a população a partir de uma amostra, é preciso que esta seja representativa. Uma das formas de se conseguir representatividade é fazer com que o processo de escolha seja, de alguma forma, aleatório. Dados coletados de forma descuidada podem ser tão inúteis que nenhum processamento estatístico consegue salvá-los. Definida a população, é preciso estabelecer a técnica de amostragem, isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor a amostra. Conforme a técnica utilizada, tem-se um tipo de amostra. Existem dois tipos de amostragem: 1 - Amostragem probabilística: quando todos os elementos da população tem probabilidade conhecida e diferente de zero, de pertencer a amostra. 2 - Amostragem não-probabilística: quando nem todos os elementos da população tem probabilidade conhecida de pertencer a amostra. No caso da amostragem probabilística podemos calcular o erro amostral, fato que não é possível na não-probabilística. 5.1 Técnicas de amostragem Amostragem aleatória simples A amostra é composta por elementos retirados ao acaso da população. Todo elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra. A população é numerada de 1 a N. Em seguida escolhem-se, na tabela de números

2 aleatórios ou através de computadores para gerar números aleatórios, n números compreendidos entre 1 e N. Esse procedimento é equivalente a um sorteio no qual se colocam todos os números misturados dentro de uma urna. Os elementos correspondentes aos números escolhidos formarão a amostra Amostragem sistemática Na amostragem sistemática os elementos não são escolhidos ao acaso, mas sim por um sistema. Escolhemos um ponto de partida e selecionamos cada k-ésimo elemento. Ex: uma fábrica possui uma linha de produção de televisores. Uma determinada hora do dia começa a contagem e após 50 televisores produzidos, toma-se o 50º para compor a amostra, e a contagem começa novamente. Repete-se este procedimento até completar o tamanho de amostra desejado Amostragem estratificada Na amostragem estratificada dividimos a população com N indivíduos em L estratos (no mínimo dois) que compartilhem das mesmas características e que não tenham elementos em comum., Em seguida extraímos uma amostra aleatória simples de cada estrato. Ex: se as pessoas que moram nos vários bairros de uma cidade são diferentes, podemos considerar cada bairro um estrato. Para obter uma amostra de pessoas dessa cidade, seria razoável obter uma amostra de cada bairro e depois reunir as informações numa amostra estratificada. O mais comum é utilizar-se a amostragem estratificada proporcional, que consiste em selecionar os elementos da amostra entre os vários estratos, em número proporcional ao tamanho de cada um dos estratos.

3 5.1.4 Amostragem por conglomerado Na amostragem por conglomerado dividimos a população em seções ou conglomerados; em seguida escolhemos algumas dessas seções e, finalmente, tomamos todos os elementos das seções escolhidas. Uma diferença importante entre a amostragem estratificada e a amostragem por conglomerado é que a amostragem por conglomerado utiliza todos os elementos dos conglomerados selecionados, enquanto que a amostragem estratificada utiliza uma amostra de cada estrato. Obs: o número de elementos de um conglomerado deve ser pequeno e o número de conglomerados razoavelmente grande Amostragem por conveniência Na amostragem por conveniência utilizamos resultados que já estão disponíveis. Em alguns casos, os resultados a amostragem por conveniência podem ser bons, porém em outros casos podem apresentar séria tendenciosidade. Os estatísticos têm muitas restrições ao uso de amostras por conveniência. Mesmo assim, essas amostras são comuns na área da saúde, onde se fazem pesquisas com pacientes de uma só clínica ou de um só hospital. Mais ainda, as amostras por conveniência constituem, muitas vezes, a única maneira de estudar determinado problema. De qualquer forma, o pesquisador que utilizar este tipo de amostra precisa de muito senso crítico. 5.2 Distribuições amostrais Considere todas as amostras possíveis de tamanho N que podem ser retiradas de uma população (com ou sem reposição). Para cada uma dessas amostras pode-se calcular uma estatística, como a média, a mediana, o desvio-padrão, etc. Assim podemos obter uma distribuição dessa estatística que é chamada distribuição amostral. Se, por exemplo, for calculada a média da amostra, teremos a distribuição amostral da média. Da mesma

4 forma podemos ter a distribuição amostral do desvio-padrão, a distribuição amostral da variância, etc Distribuição amostral das médias Suponha que são retiradas todas as amostras possíveis de tamanho n, sem reposição, de uma população finita de tamanho N > n. Se a média e o desvio-padrão da distribuição das médias forem designados por população forem representados por µ e σ, então: µ e σ, e os valores correspondentes da X X Se a população for infinita, ou se a amostragem for tomada com reposição, os resultados serão: Distribuição amostral das proporções Suponha que em uma população infinita a probabilidade da ocorrência de um evento (denominado sucesso) é p, enquanto que a de sua não ocorrência é q = 1 p. Considerando todas as amostras possíveis de tamanho N que podem ser retiradas com reposição dessa população e P a proporção de sucessos, então a distribuição amostral das proporções, cuja média é µ P e desvio-padrão σ P é dada por:

5 Esta equação também é válida para uma população finita, na qual a amostragem seja feita com reposição. Mas se a amostragem for feita sem reposição a expressão anterior é substituída por: Distribuição amostral das diferenças e somas Vamos considerar agora duas populações. Para cada amostra de tamanho n 1 retirada da primeira população, calcula-se uma estatística S 1. Podemos encontrar a distribuição amostral dessa estatística, onde a média é representada por µ S e desvio- 1 padrão σ S1. Da mesma forma, para cada amostra de tamanho n 2 retirada da segunda população calcula-se uma estatística S 2. Podemos encontrar a distribuição amostral dessa estatística, onde a média é representada por µ S 2 e desvio-padrão σ S2. Podemos obter uma distribuição amostral das diferenças S 1 - S 2, denominada distribuição amostral das diferenças das estatísticas. Assim teremos: Considerando as médias das amostras das duas populações, a distribuição amostral das diferenças das médias é dada por: proporções: O mesmo pode obtido para encontrar a distribuição amostral das diferenças das

6 5.3 Exemplos 1 Uma população consiste em cinco números: 2, 3, 6, 8 e 11. Considerem-se todas as amostras possíveis de 2 elementos que dela podem ser retiradas, com resposição. Determinar: a) a média da população b) o desvio-padrão da população c) a média da distribuição amostral das médias

7 d) o devio-padrão da distribuição amostral das médias 2 Resolva o exercício anterior considerando que a amostragem seja sem reposição.