Distribuições Amostrais

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1 Estatística II Antonio Roque Aula Distribuições Amostrais O problema central da inferência estatística é como fazer afirmações sobre os parâmetros de uma população a partir de estatísticas obtidas de amostras da população. Digamos, por eemplo, que queremos tem uma idéia sobre o valor médio µ do preço de terrenos de 500 a 1000 m em Ribeirão Preto. A população formada por esses terrenos é bastante grande. Como não temos condições de medir todos os elementos da população, decidimos tomar amostras aleatórias da população. Vamos supor que cada amostra é formada por n elementos (terrenos). Cada amostra i terá uma média i. Os valores da média e do desvio padrão dos preços de uma amostra de n terrenos, i e s i, dificilmente serão iguais aos valores da média µ e do desvio padrão dos preços de todos os terrenos (a população). Entretanto, se selecionarmos aleatoriamente várias amostras de tamanho n da população de terrenos, os valores da média e do desvio padrão calculados para elas estarão distribuídos em torno dos valores verdadeiros para a população. Pode-se, portanto, construir distribuições de freqüências para elas. 1

2 Estatística II Antonio Roque Aula Quando tomamos todas as amostras possíveis de mesmo tamanho de uma população e calculamos uma estatística qualquer ( ou s) para as amostras, podemos construir a distribuição de probabilidades dessa estatística. Essa distribuição é chamada de Distribuição Amostral da Estatística. Procedimento para construção de uma distribuição amostral: 1. A partir de uma população finita de tamanho N, obtenha todas as amostras possíveis de tamanho n;. Calcule a estatística de interesse para cada amostra (p. e,, a média ou o desvio padrão); 3. Liste numa coluna os diferentes valores obtidos para a estatística, e numa outra coluna as freqüências de ocorrência correspondentes a cada valor da estatística obtida; 4. A partir dessa listagem, construa um histograma, que dará a distribuição amostral da estatística. Para uma população muito grande, é impraticável eecutar a tarefa acima na íntegra. O que se faz então é aproimar a distribuição amostral por uma construída a partir de um grande número de amostras de tamanho n. No caso de uma distribuição amostral de médias, o procedimento para montá-la é o seguinte:

3 Estatística II Antonio Roque Aula 1. Obtenha uma amostra de n elementos selecionados ao acaso da população. Determine a sua média e reponha os elementos na população.. Obtenha outra amostra aleatória de n elementos da população, determine a sua média e, novamente, reponha os elementos na população. 3. Repita os processos 1 e até que um grande número de amostras tenha sido escolhido. 4. O resultado será uma série de valores de médias para amostras de tamanho n. Tratando cada média como uma observação individual, pode-se construir uma distribuição de freqüências, chamada de distribuição amostral de médias de tamanho n. A figura a seguir ilustra este procedimento: 3

4 Estatística II Antonio Roque Aula Em geral, há três coisas que se quer saber sobre uma distribuição amostral: Sua média; Sua variância; Sua forma funcional (como ela se parece num gráfico). Na prática, não é necessário repetir os procedimentos de 1 a 4 para obter estas informações. Isso seria muito custoso e trabalhoso. Felizmente, elas podem ser obtidas com o auílio da matemática. 4

5 Estatística II Antonio Roque Aula Distribuição Amostral da Média Eemplo: Suponhamos que temos uma população de tamanho N 5, consistindo de idades de 5 crianças que saíram de um hospital: 6; 1 8 ; 10 3 ; 1 4 ; i 1 50 Média µ da População µ i Variância da população N ( i µ ) Vejamos agora todas as possíveis amostras de tamanho n dessa população. Todas as possíveis amostras de tamanho n da população de N 5 idades estão mostradas na tabela abaio. As amostras acima e abaio da diagonal principal ocorrem para a amostragem sem reposição. As médias das amostras estão entre parênteses. Segunda Retirada (º sorteio) Primeira Retirada (1º sorteio) ,6 8,6 10,6 1,6 14,6 (6) (7) (8) (9) (10) 6,8 8,8 10,8 1,8 14,8 (7) (8) (9) (10) (11) 6,10 8,10 10,10 1,10 14,10 (8) (9) (10) (11) (1) 6,1 8,1 10,1 1,1 14,1 (9) (10) (11) (1) (13) 6,14 8,14 10,14 1,14 14,14 (10) (11) (1) (13) (14) 5

6 Estatística II Antonio Roque Aula Vemos da tabela acima que quando a amostragem é com reposição eistem n N 5 5 possíveis amostras. A distribuição amostral de para os dados da tabela é dada a seguir: Freqüência Freqüência Relativa 6 1 1/5 7 / / / / / /5 13 / /5 Total 5 5/51 Note que essa distribuição satisfaz os requisitos para ser uma distribuição de probabilidades: as probabilidades individuais estão entre 0 e 1 e sua soma vale 1. O histograma para a distribuição amostral de ( f ( ) ) é mostrado abaio: 6

7 Estatística II Antonio Roque Aula Considerando os 5 valores médios como uma população, podemos calcular sua média e variância: µ i i ( µ ) ( 6 10) + ( 7 10) + ( 7 10) + ( 8 10) ( 14 10) i 5 Note que a média da distribuição amostral de tem o mesmo valor que a média da população original: µ µ Note que a variância da distribuição amostral de é igual à variância da população original dividida pelo tamanho da amostra utilizada para se obter a distribuição amostral: 8 4. n 7

8 Estatística II Antonio Roque Aula O desvio padrão da distribuição amostral (a raiz quadrada da variância da distribuição amostral) é chamado de erro padrão: ERRO PADRÃO. n Os resultados obtidos para este eemplo não são uma coincidência, mas uma propriedade geral das distribuições amostrais de médias, quando a amostragem é feita com reposição. As propriedades matemáticas de uma distribuição amostral de médias são dadas a seguir (essas 3 propriedades podem ser provadas matematicamente, mas isto está além dos objetivos deste curso): 1. A média µ da distribuição amostral de é igual a µ, a média da população de onde as amostras foram retiradas.. O desvio padrão da distribuição amostral de é igual a, o n desvio padrão da população de onde se retiraram as amostras dividido pela raiz quadrada do número de elementos em cada amostra. 3. A forma da distribuição amostral de médias é aproimadamente a de uma curva normal, qualquer que seja a forma da distribuição populacional, desde que n seja suficientemente grande. Quando a população original for normalmente distribuída, a distribuição amostral de será eatamente normal. 8

9 Estatística II Antonio Roque Aula Esta terceira propriedade da distribuição de amostras Y é chamada de Teorema Central do Limite e é de grande importância em estatística. É em cima desta propriedade de normalidade da distribuição amostral de para n grande que se constrói muito da teoria da inferência estatística. Para relembrar: Desvio padrão de uma amostra: s N i 1 ( ) i N 1 Desvio padrão de uma população: N i 1 ( ) i N Primeira Pergunta: Quão grande tem que ser a amostra n para que o teorema central do limite seja válido? Não há resposta. Quanto menos a distribuição original for parecida com a normal, maior terá que ser o tamanho de n. Na maioria das situações práticas, n 30. Segunda Pergunta: E quando a amostragem for feita sem reposição, como na prática se faz? Para responder a esta pergunta, voltemos ao eemplo anterior. Para uma amostragem sem reposição, ignorando a ordem de sorteio dos dados, temos apenas 10 possíveis amostras de tamanho. As 10 acima ou abaio da diagonal principal. 9

10 Estatística II Antonio Roque Aula Quando se tiram amostras de tamanho n de uma população de tamanho N sem reposição e ignorando-se a ordem retirada, o número possível de amostras é dado por C N n N! n!( N n)!. No caso em que N 5 e n este 5! número vale: 10, como esperado.! 3! A média das 10 amostras sem reposição é: µ i Note que a média da distribuição amostral continua igual à média da população. A variância da distribuição amostral sem reposição é: ( µ ) 30 i Note que a variância da distribuição amostral obtida sem reposição é diferente de n 8 4. Porém, se multiplicarmos n por ( N n) ( N 1) teremos: n N N n

11 Estatística II Antonio Roque Aula Portanto, quando a amostragem é feita sem reposição, a distribuição amostral de terá média e variância µ µ N n. n N 1 Além disso, também para uma amostragem sem reposição quando o tamanho das amostras for grande o Teorema Central do Limite vale e a distribuição amostral de será aproimadamente normalmente distribuída. O fator ( N n) ( N 1) é chamado de correção para população de tamanho finito. Ele pode ser ignorado mesmo em amostragens sem reposição quando o tamanho n da amostra for pequeno em comparação a N, o que ocorre na maioria dos casos de interesse prático. Quando N >> n, a diferença entre [ ] é desprezível. n e ( n) ( N n) ( N 1) Na prática, desconsidera-se o fator de correção para população finita a menos que o tamanho da amostra seja maior que 5% do tamanho da população ( n N >0,05). 11

12 Estatística II Antonio Roque Aula RESUMO: População de variáveis com média µ e desvio padrão. A distribuição amostral de médias de amostras de tamanho n dessa população é montada. A média da distribuição amostral de médias é µ e o desvio padrão (ou erro padrão) é 1. µ µ ;. n ;. 3. Para n 30, a distribuição amostral de pode ser aproimada por uma distribuição normal (quanto maior n, mais próima ela fica de uma normal). Se a distribuição de for normal, a distribuição amostral de será normal para qualquer tamanho de amostra n. Se a amostragem for feita sem reposição os resultados acima são válidos, apenas com uma eceção para o caso em que n/n > 0,05. Portanto: n quando n N 0, 05 ; ( n ) N n quando n N >0, 05. N 1 1