Probabilidade. Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidades

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Leonor Lisboa Ávila
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1 Probabilidade Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidades

2 Na aula de hoje, vamos 1 - Estender o conceito de variável, definindo o conceito de variável aleatória; 2 Entender porque as variáveis aleatórias são importantes; 3 Definir conceitos relacionados às variáveis aleatórias como: - distribuição de probabilidades; - valor esperado; - variância.

3 Exemplo Inicial Suponha um jogo em que dois dados serão lançados e os jogadores ganharão, em pontos, a soma dos números obtidos nos dois dados. Esse jogo pode ser visto como um experimento aleatório, definido como: jogar dois dados e verificar os números das faces de cima Qual é o espaço amostral desse experimento aleatório?

4 Espaço Amostral do Experimento

5 Espaço Amostral do Experimento E= Cada um dos 36 pontos do espaço amostral E tem a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, 1/36.

6 Espaço Amostral do Experimento Para prosseguirmos com o jogo, a cada ponto do espaço amostral, vamos atribuir o resultado da seguinte operação: Soma dos números das faces de cima dos dados Exemplos: soma = 2 soma = 9

7 Espaço Amostral e Resultado da Soma

8 soma é uma variável pois assume vários valores diferentes

9 Quais são dos valores da variável soma e suas frequências de ocorrência?

10 A variável soma é uma variável aleatória. A variável soma é o resultado de uma operação feita nos pontos do espaço amostral do experimento. Variável Aleatória (definição formal): É o resultado de uma função numérica aplicada aos pontos do espaço amostral de um experimento aleatório. No exemplo do jogo de dados, a função numérica é a operação de soma das faces de cima.

11 Variável Aleatória O adjetivo aleatória indica que o valor que a variável vai assumir é determinado pelo acaso. Só conhecemos o valor de uma variável aleatória depois que o experimento aleatório é feito. No entanto, podemos conhecer de antemão: os valores que a variável aleatória pode assumir; quais são as probabilidades de cada valor acontecer.

12 Quais são as probabilidades de cada valor da variável soma? Espaço amostral Distribuição de probabilidades

13 Distribuição de probabilidades da variável aleatória soma Probabilidade Soma dos dados

14 Definições Espaço Amostral de uma Variável Aleatória: É o conjunto de valores que a variável aleatória pode assumir. Distribuição de Probabilidades de uma Variável Aleatória: É composta pelas probabilidades associadas a cada valor do espaço amostral da variável aleatória.

15 Notação para Variáveis Aleatórias Letras Maiúsculas: definição da variável aleatória X, Y, Z, W. Exemplo: X é a soma das faces de cima no jogo de dois dados. Letras Minúsculas: espaço amostral da variável aleatória x, y, z, w. Exemplo: x = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

16 Propriedades Importantes 1- O Espaço Amostral de uma Variável Aleatória é sempre númerico. Variável Discreta Ex: Y = número de filhos por mulher. y={0,1,2,3,4,5,6,.} Aleatória Contínua Ex: Z = peso do indivíduo, em Kg. z>0

17 Tipos de Variáveis Aleatórias Discreta Ex1: X = número de colônias de bactérias por cm 2. x={0,1,2,3,4,5,6,.} Ex2: W = número de filhotes nascidos vivos em uma ninhada de 5 gatos. w={0,1,2,3,4,5} Contínua Ex3: Y = nível de colesterol LDL em adultos sadios, em mg/dl. y>0 Ex4: Z = peso de recém-nascidos com peso normal, em gramas. z > 2500

18 Propriedades Importantes 2- Toda variável aleatória tem associada a ela uma Distribuição de Probabilidades Ex: X é a soma das faces de cima no jogo de dois dados. Notação: P[X=x] significa probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor x.

19 Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo: Considere o seguinte experimento: selecionar 3 pessoas ao acaso e verificar se são daltônicas ou não. Vamos definir os seguintes eventos: D : a pessoa é daltônica D : a pessoa não é daltônica Espaço amostral: E= D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

20 Variáveis Aleatórias Discretas Variável Aleatória: X: número de pessoas daltônicas entre as três pessoas sorteadas. x={0,1,2,3) Distribuição de Probabilidades de X Supondo que P[ D] = P[ D] = 1/ 2

21 Distribuição de Probabilidades Variáveis Aleatórias Discretas Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir valores descritos pelo conjunto de valores x. Então, 1 2 P[ X = x] representa a probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor x. 0 P[ X = x] 1, para todo x 3 x P[ X = x] = 1, para todo x.

22 Esperança de uma variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir valores descritos pelo conjunto de valores x, com probabilidade P[ X = x] Então, o valor esperado para X é calculado pela seguinte expressão E[ X ] = x P[ X = x] x ( ) E[X] é chamado esperança de X e representa a média da variável aleatória X. Assim, escrevemosµ = E[X].

23 Exemplo: esperança No exemplo do experimento anterior, temos que o espaço amostral de X, o número de pessoas daltônicas entre as três pessoas sorteadas, é x={0,1,2,3) Distribuição de Probabilidades de X E[ X ] = =

24 Exemplo: esperança E[X] X P[X=x]

25 Variância de uma variável aleatória discreta Enquanto a esperança µ fornece o valor típico da variável aleatória X, a variância fornece uma medida da variabilidade dos valores de X em torno do valor central, µ. A variância de X, Var[X], é calculada como x (( ) 2 ) Var[ X ] = x µ P[ X = x] O desvio-padrão de X é dado por dp[ X ] = Var[ X ]

26 Exemplo: variância No exemplo do experimento anterior, temos que o espaço amostral de X, o número de pessoas daltônicas entre as três pessoas sorteadas, é x={0,1,2,3) µ = E[ X ] = = σ = Var[ X ] = = 2.44 σ = dp[ X ] = 2.44 = 1.56 ( ) ( ) ( ) ( )

27 Propriedades da Esperança e da Variância de uma Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória com esperançaµ=e[x] e variância σ 2 =Var[X]. Propriedade 1: Se somarmos uma constante b a X, criando uma nova variável aleatória, digamos, Y=X+b, então E[Y] = E[X] + b = µ + b Var[Y] = Var[X] = σ 2

28 Propriedades da Esperança e da Variância de uma Variável Aleatória Visualizando a Propriedade 1 Suponha X com x={1,2,3,4} e P[X=x] = 1/4, para todo x E[X] = ¼ ( ) = 2.5 Var[X] = ¼ [(1-2.5) 2 +(2-2.5) 2 +(3-2.5) 2 +(4-2.5) 2 ] = 1.25

29 Propriedades da Esperança e da Variância de uma Variável Aleatória Visualizando a Propriedade 1 Se fizermos Y = X +2, então y={3,4,5,6} e P[Y=y] = ¼, para todo y De acordo com a Propriedade 1 E[Y] = E[X]+2 = 2.5+2=4.5 Var[Y] = Var[X]=1.25

30 Propriedades da Esperança e da Variância de uma Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória com esperançaµ=e[x] e variância σ 2 =Var[X]. Propriedade 2: Se multiplicarmos X por uma uma constante a, criando uma nova variável aleatória, digamos, Z=aX, então E[Z] = ae[x] = aµ Var[Z] =a 2 Var[X] = a 2 σ 2 dp[z]= aσ

31 Propriedades da Esperança e da Variância de uma Variável Aleatória Visualizando a Propriedade 2 Suponha X com x={1,2,3,4} e P[X=x] = 1/4, para todo x E[X] = ¼ ( ) = 2.5 Var[X] = ¼ [(1-2.5) 2 +(2-2.5) 2 +(3-2.5) 2 +(4-2.5) 2 ] = 1.25

32 Propriedades da Esperança e da Variância de uma Variável Aleatória Visualizando a Propriedade 2 Se fizermos Z= 2X, então z={2,4,6,8} e P[Z=z] = ¼, para todo z De acordo com a Propriedade 2 E[Z] = 2E[X] = 2 x 2.5=5 Var[Z] = 2 2 Var[Z]= 4 x 1.25 = 5

33 Para compreender melhor 1 Considerando o exemplo do jogo dos dois dados: a) Calcule o valor da esperança e da variância da variável aleatória do exemplo. b) se uma pessoa perdesse um real, se a soma dos dados fosse menor do que 7, ganhasse dois reais, se a soma dos dados fosse maior do que 7 e ganhasse zero reais, se a soma fosse exatamente 7, qual seria seu ganho esperado depois de muitas e muitas jogadas.

34 Para compreender melhor 2 Considerando o experimento com as pessoas daltônicas: a) Escreva o espaço amostral do experimento caso fossem sorteadas quatro pessoas. b) Se a variável aleatória Y representa o número de pessoas daltônicas dentre as quatro sorteadas, escreva o espaço amostral de Y e também encontre a distribuição de probabilidades de Y.

35 Para compreender melhor 3 Considerando ainda o experimento com as pessoas daltônicas, com o sorteio de três pessoas: P[ D] = 3/ 4 e P[ D] = 1/ 4 a) Supondo que, calcule a probabilidade de cada ponto do espaço amostral do experimento. b) Se a variável aleatória W representa o número de pessoas daltônicas dentre as três sorteadas, escreva o espaço amostral de W e também encontre a distribuição de probabilidades de W. A resolução deste exercício é essencial para compreender o assunto da próxima aula.

36 Para praticar Exercícios da Seção 5 (Caderno de Exercícios)

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