Probabilidade. 1 Distribuição de Bernoulli 2 Distribuição Binomial 3 Multinomial 4 Distribuição de Poisson. Renata Souza

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1 Probabilidade Distribuição de Bernoulli 2 Distribuição Binomial 3 Multinomial 4 Distribuição de Poisson Renata Souza

2 Distribuição de Bernoulli Uma lâmpada é escolhida ao acaso Ensaio de Bernoulli A lâmpada é defeituosa (sucesso) X = 0 se a lâmpada não é defeituosa X = se a lâmpada é defeituosa Número de ensaios = P(X=)= 3/5 P(X=0)= 2/5

3 Distribuição de Bernoulli Seja X uma v.ª com dois resultados possíveis: fracasso e sucesso. X x = sucesso; P(X=)=p X x =0 fracasso; P(X=0)=-p=q Média: μ X = p Variância σ 2 = pq

4 Distribuição Binomial 3 Ensaios de Bernoulli, n = 3 P(defeituosa)= p =3/7 P(não defeituosa)=-p= 4/7 Seja X o número de defeituosas. O experimento consiste de três ensaios idênticos; 2. Dois resultados são possíveis; 3. As probabilidades p e (-p) são as mesmas em cada ensaio; 4. Os ensaios são independentes.

5 Distribuição Binomial P(defeituosa)= p =3/7 P(não defeituosa)= (-p)= 4/7 Seja X o número de defeituosas S= {, 0, 0, 0, 00, 00, 00, 000} X = 0 - {000} X = {00, 00, 00} X = 2 - {0, 0, 0} X = 3 - {} P(00) = 4/7 4/7 3/7= 48/343 P(00) = 4/7 3/7 4/7=48/343 P(00) = 3/7 4/7 4/7=48/343 P(X=) = P(00) + P(00) + P(00) P(X=) = 3 48/343

6 Distribuição Binomial Seja X o número de defeituosas P(X=) = P(00) + P(00) + P(00) P(X=) = 3 48/343 3 P( X = ) = ( 3/ 7) ( 4 / 7) 2

7 Distribuição Binomial Função de Probabilidade n x n x P( X = x) = ( p) ( p) x onde p(x) = a probabilidade de x sucessos em n ensaios n = o número de ensaios X B(n,p) p = probabilidade de um sucesso em um ensaio (-p) = probabildidade de um fracasso em um ensaio

8 Distribuição Binomial Seja X uma v.a. Binomial com parâmetros n e p onde p é a probabilidade de sucesso. X {0,,2,..n} Média: μ X = np Variância σ 2 = npq

9 Exemplo Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes p = o cliente faz compra = 0,30 (-p) = o cliente não faz compra = 0,70 x p(x) 0 0,343 0,44 2 0,89 3 0,027 3! (0,30) 0!3! 3! (0,30)!2! 3! (0,30) 2!! 3! (0,30) 3!0! X- número de clientes que compram (0,70) (0,70) (0,70) (0,70) Total,00

10 Exemplo: Representação Gráfica P(x) 0.50 Função de Probabilidade 0,40 0,30 0,20 0, x

11 Exemplo: Características Valor Esperado E(X) = μ = np Variância Var(X) = σ 2 = np(-p) Considerando o exemplo, temos E(X) = μ = 3 0,30 = 0,90 Var(X) = σ 2 = np(-p)= 3 0,30 0,70 = 0,63

12 Distribuição Multinomial É uma extensão da binomial para mais de dois resultados possíveis. Seja um experimento que permite ter k resultados diferentes (A,...A k ) formando o espaço amostral. Considere n tentativas deste experimento, sendo que os p i i=,..,k associados aos k resultados permanecem constantes durante as repetições do k experimento, com p i = i= Sejam X i,..x k v. as. que são os números de ocorrências associados aos k resultados possíveis com

13 Distribuição Multinomial Função de Probabilidade n n2 P ( X = n,..., X k = nk ) = p p2... n!... nk! k Com i= n k = n Média: E(X i )= n p i n! p n k k Variância: Var(X i ) = n p i q i

14 Exemplo Um dado é lançado 0 vezes. Qual é a probabilidade de terem aparecido duas vezes o n o 2, duas vezes o n o 5, três vezes o n o e uma vez os demais resultados? n=0 p = p 2 = p 3 = p 5 = p 6 = /6 X =3, X 2 =2, X 3 =,X 4 =,X 5 =2,X 6 = P( X = = 3, X = 2, X =, X =, X = 2, X 0! 3! 2!!! 2!! = ) = = 0,0025

15 Exemplo E(X i )=n i p i e Var(X i ) = n p i q i E(X )= 0 /6 =5/3 e Var(X ) = 0 /6 5/6=50/36 E(X 2 )= 0 /6 =5/3 e Var(X 2 ) =0 /6 5/6=50/36 E(X 3 )= 0 /6 =5/3 e Var(X 3 ) = 0 /6 5/6=50/36 E(X 4 )= 0 /6 =5/3 e Var(X 4 ) = 0 /6 5/6=50/36 E(X 5 )= 0 /6 =5/3 e Var(X 5 ) = 0 /6 5/6=50/36

16 Distribuição de Poisson Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia. Erros tipográficos por página,em um material impresso. Defeitos por unidade (m 2,m, etc) por peça fabricada Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade. Problemas de filas de espera

17 Distribuição de Poisson Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ou espaço específicos. Propriedades do experimento Poisson: A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dois intervalos de tempo. A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo

18 Função de Probabilidade de Poisson x λ λ e P( x) = X P(λ) x! Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,,2,3, P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo λ = valor esperado ou número médio de ocorrências em um intervalo e = 2,7828 Média: E(X) = λ Variância: Var(X)= λ

19 Exemplo Suponha que é observado o número de chegadas a uma caixa automática de um banco durante um período de 5 minutos. A probabilidade de um carro chegar é a mesma para quaisquer dois períodos de tempo de igual cumprimento. A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente da chegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.

20 Exemplo Suponha que o número médio de carros que chegam no período de 5 minutos é 0, então x π x λ λ e 0 e P( x) = = x! x! X- número de carros que chegam em qualquer período de 5 minutos A probabilidade de 5 chegadas em 5 minutos P( X = 5) == 5 0 e 5! 0 = 0,0378 E(X) = 0 e Var(X) = 0