Lista de Exercícios #2 Assunto: Variáveis Aleatórias Discretas

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Leandro Osório
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1 1. ANPEC 2018 Questão 3 Considere um indivíduo procurando emprego. Para cada entrevista de emprego (X) esse indivíduo tem um custo linear (C) de 10,00 Reais. Suponha que a probabilidade de sucesso em uma entrevista qualquer seja de 0,2. Suponha também que as entrevistas sejam independentes, e que o indivíduo continue fazendo entrevistas até que tenha o primeiro resultado de sucesso. Calcule o custo esperado em Reais desse processo de busca até alcançar o primeiro sucesso. Assuma que X segue uma distribuição geométrica. 2. ANPEC 2017 Questão 3 São corretas as afirmativas: (0) Se X é uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n e p, em que n é um inteiro e 0 < p < 1, então E(X) = np e Var(X)=p(1-p). (1) Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se E(X) = λ, então a variância de X é λ. (2) Se X é uma variável aleatória uniformemente distribuída em [ c, c], em que c > 0, então E(X) = 0. (3) Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade P(X = k) = (1 p) k 1 p, em que 0 < p < 1 e k=1,2,.... Então E(X) = kp. (4) Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade P(X = k) = (1 p) k 1 p, em que 0 < p < 1 e k=1,2,.... Então a variância de X é (1 p) p ANPEC 2017 Questão 14 Suponha que as vendas (Q) do produto X são aleatoriamente distribuídas na economia e possuem uma distribuição binomial com parâmetro p (preço), sendo n o número de vendas observado, então: (0) A esperança matemática de Q é E(Q)=n(1-p); (1) A média das vendas é dada por E(Q)=np; (2) A variância das vendas por Q ou V(Q)=np(1-p); (3) O preço que maximiza a variância é p = 1/2; (4) O preço está no intervalo 0 e 1. 1

2 4. ANPEC 2015 Questão 6 Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com função densidade de probabilidade dada por f(x) = e λ λ x e x = 0,1,2,..., λ > 0, enquanto Y é uma variável aleatória com distribuição x! binomial, com função densidade de probabilidade dada por: f(y) = ( n y ) py (1 p) n y É correto afirmar que: (0) E[X] = e λ ; (1) Var[X] = λ x ; (2) E[X] = λ; (3) E[Y] = np; (4) Var[Y] = p(1 p). 5. ANPEC Questão 15 Suponha que o número de vezes durante um ano que um indivíduo pega uma gripe seja modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson com esperança igual a 4. Adicionalmente, suponha que uma nova droga baseada na vitamina C reduza a esperança para 2, para 80% da população (e que a variável aleatória ainda siga uma distribuição de Poisson), mas que não tenha nenhum efeito para os 20% restantes. Julgue as seguintes afirmativas: (0) A probabilidade de um indivíduo que toma a nova droga, e é parte da população que se beneficia dela, pegar duas gripes em um ano é 8e -4. (1) A probabilidade de um indivíduo que não se beneficia da nova droga pegar duas gripes em um ano é 2e -2. (2) A probabilidade de um indivíduo que não se beneficia da nova droga pegar no máximo duas gripes em um ano é 13e -4. (3) A probabilidade de um indivíduo que toma a nova droga, selecionado aleatoriamente na população, pegar duas gripes em um ano é 1,6(e -2 + e -4 ). (4) Suponha que um indivíduo escolhido aleatoriamente na população tenha pego duas gripes durante um ano em que ele tomou a nova droga. A probabilidade de ele fazer parte da parcela que se beneficia da nova droga é (1 + e -4 ) -1. 2

3 6. ANPEC Questão 9 A variável aleatória discreta X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função densidade de probabilidade de X é dada por P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 a P X 4 P X 5 b P X 2 3P X 2 E[. ] e V[. ] denotam, respectivamente, esperança e variância. Julgue as seguintes afirmativas: (0) Para que a função densidade de probabilidade seja válida, a = 1/4 e b = 1/8. (1) E[X] = 3. (2) V[X] = 12. (3) Defina Z = 3 + 4X. Então a covariância entre Z e X é igual a 12. (4) A probabilidade de que a soma de duas variáveis independentes provenientes desta distribuição exceda 7 é 1/8. 7. ANPEC 2009 Questão 2 Sobre Teoria das Probabilidades indique as alternativas corretas e falsas: (3) Se uma família tem exatamente n crianças (n 2) e assumindo-se que a probabilidade de que qualquer criança seja uma menina é igual a ½ e todos os nascimentos são independentes, pode-se afirmar que dado que a família tem no mínimo uma menina, a probabilidade da mesma ter no mínimo um menino é igual a (1 (0,5) n-1 )/ (1 (0,5) n ). 8. ANPEC Questão 14 Empresas em certa região contam com duas linhas de financiamento: uma com taxa de 5% a.a. e outra com taxa de 20% a.a., dependendo do histórico de crédito. Sabe-se que 1/3 das empresas pagam juros de 5%. Destas, metade é familiar. No grupo de empresas que paga 20%, metade é familiar. Perguntase: qual a taxa de juros média (em % a.a.) paga pelas empresas familiares naquela região? (desconsidere os decimais). 9. ANPEC Questão 6 x e Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson dada por p X ( x ), x 01,, 2,.... É x! correto afirmar que: (0) E(X) = λ e Var(X) = λ 2. (1) E(X 2 ) = λ + λ 2. (2) E(X) = e -λ. (3) E(X) = Var(X) = λ. 3

4 (4) E(X) = λ/2 e Var(X) = λ. 10. ANPEC Questão 15 As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 50% vermelhas, 30% azuis e 20% verdes. Em uma amostra de 5 lâmpadas, extraídas ao acaso, encontre a probabilidade de duas serem vermelhas, duas serem verdes e uma ser azul. Multiplique o resultado por ANPEC Questão 4 Com relação à variáveis aleatórias discretas é correto afirmar que: (0) se X1,..., Xn são variáveis aleatórias identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli com parâmetro p, então Z n X i i 1 terá uma distribuição Poisson quando n for grande; (1) uma variável aleatória com distribuição binomial representa o número de sucessos em n experimentos de Bernoulli; (2) a distribuição hipergeométrica é um caso especial da distribuição Normal; (3) a distribuição Qui-quadrado possui média igual a n e variância igual a 4n, em que n é o número de graus de liberdade; (4) a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson para valores grandes de n (tamanho da amostra) e pequenos de p (probabilidade de sucesso). 12. ANPEC Questão 7 Em relação às distribuições de probabilidade discretas: (0) Uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetro p, baseada em n repetições, aproxima-se de uma Poisson quando n e p permanece constante. (1) Uma variável aleatória Y, definida como o número de repetições necessárias para a primeira ocorrência de A, tem distribuição Geométrica, desde que as repetições sejam independentes e que P(A) = p e P(A C ) = 1-p. (2) Pode-se utilizar a distribuição Binomial para, por exemplo, calcular a probabilidade de se encontrar k peças defeituosas em um lote de n peças selecionadas ao acaso, sem reposição. (3) Se uma variável aleatória segue uma distribuição Hipergeométrica, sua distribuição será próxima da Binomial se o tamanho da população for grande em relação ao tamanho da amostra extraída. 4

5 (4) Se Z tiver distribuição de Poisson com parâmetro, então, E(Z) = V(Z) =. 13. ANPEC Questão 12 Sobre as distribuições de probabilidade podemos afirmar que: (0) Na distribuição Binomial não é possível contar as não-ocorrências do evento e a média e a variância são iguais ao parâmetro da distribuição. (1) As características da distribuição de Poisson são: (i) n repetições de um experimento de Bernoulli; (ii) as repetições são independentes; (iii) cada experimento tem dois resultados possíveis que são mutuamente exclusivos; n (iv) a distribuição de probabilidade é definida como P X x x p x q n x ( ).., x = 1, 2,, n, onde n = número de repetições do experimento, p = probabilidade de ocorrência de sucesso e q = 1 - p. (2) A média de uma distribuição Geométrica é 1/p, onde p = probabilidade de ocorrência de sucesso. (3) Um levantamento junto ao Setor de Contabilidade de uma loja de departamentos mostrou que 30% dos clientes pagam suas mensalidades com atraso. Se em certo dia selecionarmos ao acaso 10 pessoas que pagaram suas dívidas mensais, a probabilidade de no máximo um cliente ter pago com atraso é aproximadamente 15%. 5

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