a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B.

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Washington Madeira
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1 Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE. Um time de basquete irá jogar uma temporada de 44 jogos. desses jogos serão disputados contra times da classe A e os 8 restantes contra times da classe B. Suponha que o time irá vencer cada jogo contra times da classe A com probabilidade,4 e irá vencer cada jogo contra times da classe B com probabilidade,7. Suponha também que os resultados de diferentes jogos são independentes. Use a normal para aproximar a probabilidade de que a) o time ganhe 5 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B.. Justifique porque a soma de n v.a. s bernoulli é uma binomial.. Suponha que bolas são escolhidas de uma urna contendo bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis sem reposição. Seja X o número de bolas vermelhas e Y o número de bolas brancas. Faça uma tabela de distribuição conjunta de X e Y e indique as probabilidades marginais. 4. Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. a) Determine o espaço amostral correspondente a esse experimento. b) Obtenha a tabela da distribuição conjunta, considerando X o número de caras no lançamento da moeda e Y o número da face do dado. c) Verifique se X e Y são independentes. d) Calcule P(X, Y 4). 5. A tabela abaixo fornece a distribuição conjunta de X e Y. Y / X,,,,,,,,, a) Determine as distribuições marginais de X e Y. b) Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y. c) Verifique se X e Y são independentes. d) Calcule P(X = Y = ) e P(Y = X = ). e) Calcule P(X ) e P(X =, Y ).

2 . Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo. Y / X - P(Y = y) - / / /4 /4 P(X = x) a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes. b) Calcule as médias e variâncias de X e Y. c) Obtenha as distribuições condicionais de X, dado que Y =, e de Y, dado que X =. d) Calcule Cov(X, Y ) e Var(X + Y ). 7. Simbolizando a correlação das variáveis aleatórias X e Y por ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). Mostre que a) ρ(x, Y ) ; b) ρ(x + a, Y + b) = ρ(x, Y ); c) ρ(ax, by ) = ab ρ(x, Y ). ab 8. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: Y / X,,,,,,,,, a) Determine a distribuição de X + Y e, a partir dela, calcule E(X + Y ). Pode-se obter a mesma resposta de outra maneira? b) Determine a distribuição de XY e, em seguida, calcule E(XY ). c) Mostre que, embora E(XY ) = E(X)E(Y ), X e Y não são independentes. d) Calcule Var(X + Y ). 9. Suponha que temos uma urna contendo três bolas numeradas, e. Retiramos duas bolas dessa urna, sem reposição. Seja X o número da primeira bola e Y o número da segunda bola retirada. a) Encontre a distribuição conjunta de (X, Y ) com suas respectivas distribuições marginais.

3 b) Encontre a distribuição de probabilidades marginais das variáveis Z = X + Y e W = XY. c) Calcule P(X < Y ). d) Calcule E(X); E(Y ); E(Z) e E(W ). e) Calcule Var(X) e Var(Y ). f) Calcule Cov(X, Y ). g) X e Y são independentes?. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Mostre que Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) ± Cov(X, Y ).. O número de pessoas que entram em uma drogaria em uma hora é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ =. Calcule a probabilidade condicional de que no máximo homens entrem na drogaria dado que mulheres entraram nessa hora. Que hipóteses você tomou?. Se X e Y são v.a. s de Poisson independentes com parâmetros λ e λ respectivamente, calcule a distribuição condicional de X dado que X + Y = n.. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média e desvio padrão. a) Qual a P(9 < X < )? b) Se X for a média de uma amostra de elementos retirados dessa população, calcule P ( 9 < X < ). c) Represente, num único gráfico, as distribuições de X e X. d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P ( 9 < X < ) =, 95? 4. A máquina de empacotar um determinado produto, o faz segundo uma distribuição normal, com média µ e desvio padrão g. a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas % dos pacotes tenham menos do que 5g? b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a kg? 5. A capacidade máxima de um elevador é de 5kg. Se a distribuição X dos pesos dos usuários for suposta N (7, ), qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?. Uma máquina enche pacotes de café com um peso (medido em gramas) que se comporta segundo uma variável aleatória X, onde X N (, ). Uma amostra de 5 pacotes é sorteada e pergunta-se: a) qual é o número esperado de pacotes na amostra com peso inferior a 5 gramas? b) qual a probabilidade de que o peso total dos pacotes da amostra não exceda 55 gramas?

4 7. Suponha que 45% de uma população esteja a favor de um certo candidato em uma eleição vindoura. Se uma AAS de tamanho é escolhida dentre indivíduos dessa população, calcule a) o valor esperado e o desvio padrão do número de indivíduos a favor do candidato; b) aproxime a probabilidade de que mais da metade dos indivíduos na amostra estejam a favor do candidato. 8. Considere M o máximo de uma AAS, (X,..., X n ), escolhida de uma população com densidade f(x) e função distribuição F (x). Encontre F M (m) = P(M m) (a distribuição de M) e a densidade de M. 9. Para o item anterior, encontre a distribuição e a densidade caso a amostra tenha uma distribuição uniforme no intervalo (, θ).

5 Universidade de Brasília Departamento de Estatística Respostas. a),45. b),55.. Demonstração. A tabela segue abaixo: X / Y P(X = i) P(Y = j) a) Ω = {(, C), (, C), (, C), (4, C), (5, C), (, C), (, K), (, K), (, K), (4, K), (5, K), (, K)}. b) A tabela segue abaixo: X / Y 4 5 P(X = i) P(Y = j) c) São independentes. d) 8/ 5. a) As distribuições marginais seguem na tabela abaixo: Y / X P(Y = y),,,,,,,,5,,,, P(X = x),,,5

6 b),;,9;,7 e,49 c) Não são independentes. d) /5. e),.. a) As distribuições marginais seguem na tabela abaixo: Y / X - P(Y = y) P(X = x) b), /, e 5/9. c) Os valores são P(X = Y = ) =, P(X = Y = ) =, P(X = Y = ) =, P(Y = X = ) =, P(Y = X = ) =, P(Y = X = ) =. d) 4/9. 7. a) Demonstração. b) Demonstração. c) Demonstração. 8. a) E(X + Y ) = 4. b) E(XY ) = 4. c) Demonstração. d). 9. a) A distribuição conjunta segue abaixo: X / Y P(X = i) P(Y = j) b) As distribuições seguem abaixo: k 4 5 Total P(X + Y = k)

7 k 4 9 Total P(XY = k) c) /. d) ; ; 4 e /. e) / e /. f) /. g) Não.. Demonstração.. e 5 + 5e 5 + 5! e 5 + 5! e 5.. ( ) ( ) k ( ) n k n λ λ. k λ + λ λ + λ. a),88. b), d) a) 5,8. b),5. 5.,597.. a) 7, 9. b), a) 9 e 7,5. b),8. 8. A função distribuição é F M (m) = [F X (m)] n e a função densidade é f M (m) = n[f X (m)] n f X (m). 9. Nesse caso a função densidade será f M (m) = nm n θ n, se m (, θ),, se m / (, θ). e a função distribuição F M (m) =, se m, m n, θn se m (, θ),, se m θ.

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