Exercícios propostos:

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1 INF 16 Exercícios propostos: 1. Sabendo-se que Y=X-5 e que E(X)= e V(X)=1, calcule: a)e(y); b)v(y); c)e(x+y); d)e(x + Y ); e)v(x+y); Resp.: 1; 9; 5; 15; 81. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R$ 00,00 por bola branca retirada e perdermos R$ 100,00 por bola preta retirada, qual seria o nosso lucro esperado? Resp.: 75. Uma moeda honesta é lançada sucessivamente até sair cara ou até serem feitos lançamentos. Obtenha a distribuição de X = número de lançamentos, e calcule sua média e variância. Resp.: E(X)=1,75; Moda=1; V(X)=11/16 4. Uma máquina de apostar tem discos independentes. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, bananas, pêras e 1 laranja. Paga-se 80 para acionar a máquina. Se aparecerem maçãs ganha-se 40; bananas 80; pêras 140 e laranjas 180. Qual é o resultado esperado após inúmeras jogadas? Resp.: E(X) = Um determinado artigo é vendido em caixas a preço de 8 U.M. por caixa. Sabe-se que 0% dos artigos vendidos apresentam algum defeito de fabricação. Um comprador faz a seguinte proposta: Pede para poder amostrar, ao acaso, 10 artigos por caixa e pagará por caixa 10 U.M. se nenhum dos artigos amostrados for defeituoso; 5 U.M. se um ou dois artigos forem defeituosos e 4 U.M. se três ou mais forem defeituosos. O que é melhor para o vendedor; manter o seu preço de 8 U.M. por caixa ou aceitar a proposta do comprador? Mostre por quê. Considere X = número de artigos defeituosos, com a seguinte distribuição de probabilidade: (sugestão: utilize a variável Y = valor pago por caixa) x i 0 1 Total P( x i ) 0,1074 0,684 0,019 0, 1,00 Resp.: O vendedor deve manter o seu preço [E(Y) 5,1] 6. (X, Y) é uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte distribuição conjunta: X Y - 4 P ( x i ) 1 0,1 0, 0, 0,5 0, 0,1 0,1 0,5 P( y j ) 0,4 0, 0, 1 Pede-se calcular: a) E(X), V(X) e σ x b) E(Y), V(Y) eσ y c) E(X + Y) d) X e Y são independentes? Resp.: a) ; 1 e 1 b) 0,6; 9,4 e,04 c),6 d) não são 47

2 INF Seja X uma v.a.c. com a seguinte f.d.p.:, x [ 01, ] ( x), x [, ] 1 0, caso contrá rio Calcule: a) A esperança matemática de (X-1) b) O desvio padrão de X Resp.: a) 0,78 b) 0, Mostre que E{[X E(X)][Y E(Y)]}= E(X,Y) E(X)E(Y) Universidade Federal de Viçosa - CCE / DPI INF Iniciação à Estatística / Inf 16 Estatística I Lista de Exercícios: Cap. 4 - Variáveis Aleatórias 1. Uma v.a.c. X possui f.d.p. dada por : 6( x x ), 0 x 1 0, para outros valores de x Calcular : a) P[ EX ( ) σ X EX ( ) + σ], σ = VX ( ), dado E( X ) = / 10 b) F(x), a Função de distribuição acumulada. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta : X Y ,1 0, ,1 0, 0, 0,1 0,1 0 Sabendo-se que V(X) = 1,41 e E(Y) = 0, ; pede-se: a) X e Y são v. a. independentes? Mostre. b) E 1 X Y + 8 c)v 1 X Y

3 INF 16. Dada a função densidade de probabilidade abaixo: 1, se 0 x 1 1 ( x ), se1 x 4 0, para outros valores de x Calcule : a) V( 1X - 8 ), dado E( X ) = 17 / 6 b) A função de distribuição acumulada c) P( 0,5 < X < 1,5 ) 4. Uma v. a. c. X possui a seguinte f. d. p. : 0, se x < 1 ou x 4/ 1 ( x ), se x< , se x < / 0 4 a) F(x), a função de distribuição acumulada P 05, x 05, b) ( ) 5.Dada a distribuição conjunta abaixo, parcialmente indicada: X Y P(Y) - 1/15 1/15? 7/0 0 8/0? /15? 1? 1/0? 7/0 P(X) 6/15 7/0? a) Verifique se X e Y são v. a. independentes. b) E X Y 10 5 V 8 15X c) ( ) 6.Cite as propriedades de: a) Esperança Matemática. b) Variância. 7. Conceitue: a) Variável aleatória discreta b) Variável aleatória contínua 49

4 INF 16 8.Uma v. a. c. é dada por: kx, se x < 5 k( 8 x), se5 x 8 0, se x assume outros valores a) O valor da constante k para que f(x) seja uma f. d. p. 8 7 b) P X 9. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: X Y Soma 0, 0,1 0,1 0, 0,1 0,1 0,1 0,1 Soma 1 a) E X ; b) V( 5X Y) ; c) X e Y são v. a. independentes? Mostre porque. 10. Sabendo-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes e que E(X) = 5, V(X) =, E(Y) = 8 e V(Y) =, calcule: a) E( X - Y + ) d) V( Y+ ) a) E[ ( X - Y ) 1 ] c) V X Y 11. Seja ( X, Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta, com a seguinte função de probabilidade: xi + y j, para x i = 01,, e y j = 01,,, Px ( i, y j) 4 0, caso contrá rio a) Dar a tabela da distribuição de probabilidade conjunta. b) Dar a tabela da distribuição marginal de X e também a de Y. EX Y+ 4 c) ( ) 1. Dada a seguinte função: ( ) K x, se0 x< 1 K, se1 x 0, caso contrá rio 50

5 INF 16 a) O valor de K para que f(x) seja uma f.d.p. b) EX ( ) c) P X d) P( X = 1) 14. Sejam X e Y v. a. c. com função densidade de probabilidade conjunta dada por: K( x + y), se x 6 e 0 y 5 f( x, y) 0, c. c. a) O valor de K para que f( x, y) seja uma f. d. p. b) P( Y ) c) P( X > / 0 Y ) d) X e Y são v. a. independentes? mostre. 15.A variável aleatória contínua X tem f. d. p., f(x) = x, 1 x 0. Se a for um número que satisfaça a 1 a 0, calcule: P X> a X< a y, se 0 y e 0 x Dado f( x, y) 16 0, caso contrá rio a) As funções marginais de X e Y b) Se X e Y são v. a. independentes. 17. Seja f(x, y) = (x + y - xy), para 0 x 1 e 0 y 1 e f(x, y) = 0, para quaisquer outros valores de x e de y. a) Mostre que f(x, y) é uma f.d.p. b) Obtenha a f.d.p. marginal de X e a de Y. 18. Suponha que as dimensões, X e Y, de uma chapa retangular de metal, possam ser consideradas variáveis aleatórias contínuas independentes, com as seguintes f.d.p.: x 1, 1< x gx ( ) x+, < x< 0, para outros valores e 1, < y < h( y) 4 0, para outros valores Ache a f.d.p. da área da chapa (A). RESPOSTAS 51

6 INF a) 0,9855 b) 0 se x < 0; x ( x) se 0 x < 1; 1se x 1. a) não b) 0,55 c)119,57 x 1. a) 879 b) 0se x < 0 ; se 0 x < 1 ; ( x 6 x + 1 ) se 1 x < ; 1 se x 8 c) 15/ 4.a) se x < ; ( x + x + ) se 1 x < 0; ( x) se 0 x < 4 / ; 1 se x 4 / b) /48 5. a) não b) -7/450 c) 689/4 8. a) /87 b) 149/61 9. a) -1 b) 7,16 c) não 10. a) 0 b) 14 c) 7/ d) c) 70/4 1. a) /5 b) 81/50 c) 0, d) 0 14.a) 1/10 b) 7/10 c) 60/7 d) não 15. 7a ( a + 8) 16. a) 1, 0 x 4 gx ( ) 4 0, cc.. 1 ( y), y hy ( ) 4 0 0, cc. b) sim a) f( x, y) dxdy = , 0 x 1 b) g( x) 0, cc.. e 1, 0 y 1 h( y) 0, cc.. x 1, para 1< x < e < y < 4 x f( x, y), para < x < e < y < 4 0, fora destes intervalos 5