Variáveis Aleatórias

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1 Variáveis Aleatórias Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades Itens 5. e 6. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

2 Variável aleatória Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Eemplos: número de coroas obtido no lançamento de moedas; número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote; número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção; número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo; BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

3 Variável aleatória Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Eemplos: volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento; resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão; tempo de resposta de um sistema computacional; grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 3

4 Variável aleatória Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais. X = número de coroas obtido no lançamento de moedas Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)} X: 0 BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 4

5 Variável aleatória discreta variável aleatória contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável E. os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais E número de defeitos em... 0 tempo de resposta de... BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 5

6 Variável aleatória discreta: função de probabilidade p ( ) = P( X = i i ) satisfazendo: p( ) i 0 p( i ) = i BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 6

7 Variável aleatória discreta: função de probabilidade X = número obtido no lançamento de um dado comum. p() f() área total = BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 7

8 Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumulada F ( ) = P( X ), R até BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 8

9 BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumulada distribuição acumulada < < < < < < = 6 se 6 5 se se se se 6 se 6 se 0 ) ( F F() X = número obtido no lançamento de um dado comum.

10 Variáveis aleatórias contínuas tempo de resposta de um sistema computacional; rendimento de um processo químico; tempo de vida de um componente eletrônico; resistência de um material; etc. Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproimadas para contínuas): número de transações por segundo de uma CPU; número de defeitos numa amostra de itens; etc. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 0

11 Variável aleatória: discreta contínua Discreta ½ p() ½ f() área total = 4 8 setores 3 f() BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

12 Variável aleatória: discreta contínua Contínua II III 0 0 I III f() área total = BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

13 Variável aleatória contínua II 0 0 I 0 0 III III 70 0 f() área = P( 0 X < 90) f() área total = evento {0 X < 90} BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 3

14 Variável aleatória contínua As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer: f ( ) 0, R e + f ( ) d( ) = f() Se A = [a, b], então P ( A) f ( ) d( ) = b a a b BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 4

15 Variável aleatória contínua Eemplo 6.3 f ( t) e = 0, t, para para t 0 t < 0 f(t) 3 t P( T 3 + > 3) = f ( t) dt = 3 + e t dt = e t + 3 = 0 + e (3) = e 6 BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 5

16 Variável aleatória contínua Função de distribuição acumulada F( ) = P( X ) = f ( s) ds, R Eemplo 6.3 F( t) = 0, e t, para para t 0 t < 0 F(t) t BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 6

17 Variável aleatória discreta: Valor esperado Valores possíveis Probabilidades p p µ = E k ( X ) = j= j p j 3... p 3... k p k Total BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 7

18 Variável aleatória discreta: Variância Valores possíveis 3... k Total Probabilidades p p p 3... p k σ Ou: k = V ( X ) = ( j µ ) p j j= ) V ( X ) = E( X µ onde: E ( X ) = k j= Desvio padrão: σ = DP ( X ) = Var( X ) j p j BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 8

19 Variável aleatória contínua Valor esperado e variância + µ = E ( X ) = f ( ) d σ + = V ( X ) = ( µ ) f ( ) d ou ) V( X ) = E( X µ onde: + E ( X ) = f ( ) d BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 9

20 Propriedades do valor esperado e variância a)e(c) = c b)e(x + c) = E(X) + c c) E(cX) = ce(x) d)e(x + Y) = E(X) + E(Y) e) E(X Y) = E(X) E(Y) a)v(c) = 0 b)v(x + c) = V(X) c) V(cX) = c V(X) d)dp(cx) = c DP(X) BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 0

21 Propriedades do valor esperado e variância p() Distribuição de X E(X) p(y) Distribuição de Y = X + c p(z) Distribuição de Z = cx E(X) + c y ce(x) z BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

22 Variáveis aleatórias independentes X, X,..., Xn podem ser consideradas variáveis aleatórias independentes se o conhecimento de uma não altera as distribuições de probabilidades das demais. Vale para variáveis aleatórias independentes: V(X + Y) = V(X) + V(Y) V(X Y) = V(X) + V(Y) BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004