Prof.: Joni Fusinato

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1 Variável Aleatória Prof.: Joni Fusinato

2 Variável Aleatória Uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento probabilístico. Uma variável aleatória é discreta quando tem um número finito e contável de resultados possíveis que podem ser numerados. Uma variável aleatória é contínua quando tem um número incontável de resultados possíveis, representados por um intervalo na reta numérica. O conjunto formado pelos valores desta e suas respectivas probabilidades é denominado de distribuição de probabilidade.

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4 Variável Aleatória Discreta Seja X uma variável aleatória discreta e x 1, x 2, x 3,... seus diferentes valores. A função que atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade é denominada de função discreta de probabilidade ou simplesmente de função de probabilidade. A notação a ser utilizada é P (X = x i ) = p i, i = 1, 2,... X x 1 x 2 x 3... P i p 1 p 2 p 3... Função de Probabilidade f ( x) P( X xi) Condições necessárias 1)0 P(x) 1 2) P(x) = 1

5 Identificando Distribuições de Probabilidade 1) Em cada caso, determine se os valores dados podem ser valores de uma distribuição de probabilidade de alguma variável aleatória, explicando suas respostas. 1) 0 P(x) 1 2) P(x) = 1 a) f(1) = 0,52, f(2) = 0,26 e f(3) = 0,32 b) f(1) = 0,25, f(2) = 0,17 e f(3) = 0,39 e f(4) = 0,19 c) f(1) = 0,20, f(2) = 0,90 e f(3) = -0,10 Gabarito: a)não, P(x) > 1 b)sim c)não, P(x) < 0; f(3)

6 Atividades 2) Determine se as distribuições dos itens a seguir são distribuições de probabilidade. Explique seu raciocínio. x P(x) 0,28 0,21 0,43 0,15 Não é uma distribuição de probabilidade pois P(x) > 1 (1,07). x P(x) 0,5 0,25 1,25-1 Não é uma distribuição de probabilidade pois embora a soma seja 1 a P(3) e P(4) não estão entre 0 e 1. As probabilidades nunca podem ser negativas ou maiores que 1.

7 Atividades Solução: f(1) = 4/15, f(2) = 5/15 e f(3) = 6/15 Como nenhum desses valores é negativo ou maior que 1 e a soma de f(1) + f(2) + f(3) = 1 a função dada pode ser a distribuição de probabilidade de alguma variável aleatória. 1) 0 P(x) 1 2) P(x) = 1

8 Atividades 4) No lançamento de duas moedas, seja X a variável aleatória Número de coroas obtidas. Construa a distribuição de probabilidade de X. Dados: X = {0, 1, 2} S = {(C, C), (C, K), (K, C) e (K, K) X P (X) 1/4 1/2 1/4 1) Cada probabilidade está entre 0 e 1 2) P(x) = 1

9 Atividades 5) O IFSC possui vários Campus distribuídos em mais de 22 cidades pelo estado de Santa Catarina. A reitora decidiu que fará visitas aos Campus da Região Norte ou da Região Oeste através de um sorteio usando uma moeda. Se sair Cara (C) ela visitará os Campus da Região Norte e se sair Coroa (K) ela visitará os Campus da Região Oeste. No mês em que a disponibilidade de viagem da reitora permitir 3 visitas, construa a distribuição de probabilidade sabendo que X é a variável aleatória Número de visitas na Região Norte. X P (X) CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK

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11 Exemplo: Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar característica passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos recebiam uma pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5 extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas características. Os resultados estão indicados na tabela abaixo. a) Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. b) Calcule a pontuação média e o desvio padrão da distribuição

12 a) Distribuição de Probabilidade para a variável aleatória x Logo a distribuição de Probabilidade para o teste de personalidade é:

13 b) Cálculo pontuação média da distribuição de probabilidade. Logo a pontuação média é: µ = 2,94

14 b) Cálculo do desvio padrão da distribuição de probabilidade. Logo a Variância σ 2 = 1,6164 e o Desvio Padrão σ 1,3

15 Variável Aleatória Contínua As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer:

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17 Exemplo

18 Exemplo