Aula de Estatística 13/10 à 19/10. Capítulo 4 (pág. 155) Distribuições Discretas de Probabilidades

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1 Aula de Estatística 13/10 à 19/10 Capítulo 4 (pág. 155) Distribuições Discretas de Probabilidades 4.1 Distribuições de probabilidades Variáveis Aleatórias Geralmente, o resultado de um experimento de probabilidades é uma contagem ou uma medida. Quando isso ocorre, o resultado é chamado de variável aleatória. Definição Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra aleatória indica que x é determinado pelo acaso. Há dois tipos de variáveis aleatórias: discreta e contínua. Definição Uma variável aleatória é discreta se ela tem um número finito ou contável de possíveis resultados a serem listados. Uma variável aleatória é contínua se ela tem um número incontável de possíveis resultados representados por um intervalo na reta numérica. Por exemplo, você conduz um estudo sobre o número de ligações que um vendedor faz em um único dia. Os possíveis valores da variável aleatória x são 0,1,2,3,4... Como o grupo de resultados possíveis podem ser listados x é uma variável aleatória discreta. Podemos representar esses valores por meio de pontos na reta real. Uma forma diferente de conduzir o estudo seria medir o tempo diário (em horas) que um vendedor passa fazendo ligações. O tempo gasto fazendo ligações pode ser qualquer número entre 0 e 24 (incluindo-se frações e decimais), portanto x é uma variável aleatória contínua. Podemos representar esses valores na reta numérica, mas não podemos listar todos os valores possíveis. Exemplo 1 (pág. 156) Variáveis Discretas e Variáveis Contínuas Decida se a variável aleatória x é discreta ou contínua. Explique seu raciocínio. 1. x representa um número de títulos na DOW Jones Industrial que sofreu um aumento no número de suas ações em um dado dia. 2. x representa o volume de água em um contêiner de 32 onças. Distribuições de probabilidade discretas (pág. 156) Definição Uma distribuição de probabilidades discreta lista cada valor possível que a variável aleatória pode assumir, junto com sua probabilidade. Uma distribuição de probabilidades deve preencher as seguintes condições: 1) A probabilidade de cada variável aleatória discreta varia entre 0 e 1 (0 e 1 inclusive), ou seja, 0 P(x) 1. 2) A soma das probabilidades é 1, ou seja, P(x) = 1.

2 Exemplo 3 (pág. 158) Verificando a distribuições de probabilidades Verifique se a distribuição abaixo é uma distribuição de probabilidades: Dias de chuva Probabilidade P(x) 0 0, , , ,064 Exemplo 4 (pág. 158) Distribuições de probabilidades Decida se as seguintes distribuições são de probabilidades. 1) x P(x) 0,28 0,21 0,43 0,15 2) x P(x) 1/2 1/4 5/4-1 Média, Variância e Desvio Padrão Podemos medir o centro de uma distribuição de probabilidades com sua média e medir a variabilidade com sua variância e desvio padrão. Média de uma variável aleatória discreta = xp(x) Variância e Desvio Padrão de uma variável aleatória discreta 4.1 Exercícios (pág. 162) V = (x - ) 2 p(x) = V = (x - ) 2 p(x) Nos exercícios abaixo (a) use a distribuição de frequência para construir a distribuição de probabilidade, encontre (b) a media, (c) a variância e (d) o desvio padrão da distribuição de probabilidades e (e) interprete os resultados no contexto da vida real. 29) Cachorros o número de cachorros por casa, em uma cidade pequena. cachorros casas

3 x f f rel = P(x) xp(x) x (x ) 2 (x ) 2 p(x) xp(x) = (x ) 2 p(x) = 31) Computadores O número de computadores por casa, em uma cidade pequena. (pág. 163) computadores casas x f f rel = P(x) xp(x) x (x ) 2 (x ) 2 p(x) xp(x) = (x ) 2 p(x) = Valor Esperado (pág.161) Definição O valor esperado de uma variável aleatória discreta é igual a média da variável aleatória discreta. Exercício 35 (pág. 163) Valor Esperado = E(x) = = xp(x) Os alunos d e uma sala fazem um teste com oito perguntas. O número x de perguntas respondidas corretamente pode ser aproximado pela seguinte distribuição de probabilidades: x P(x) 0,02 0,02 0,06 0,06 0,08 0,22 0,30 0,16 0,08 Determine o valor esperado

4 4.2 Distribuição Binomial (pág. 165) Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante. Se a variável aleatória x que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos x ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade: para e onde é uma combinação. Exemplo 1 (pág, 166) Decida se o experimento é binomial ou não, Caso ele seja, especifique os valores de n, p, e q, e liste todos os valores da variável aleatória x. Caso ele nõa seja explique o porquê. 1. Um dado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Um médico realiza o procedimento em oito pacientes. A variável aleatória representa o número de cirurgia com sucesso. 2. Uma jarra contém cinco bolinhas de gude vermelhas, nove azuis e seis verdes. Você escolhe três bolinhas aleatoriamente, sem trocas. A variável aleatória representa o número de bolinhas vermelhas. Valor Esperado, Variância e Desvio Padrão (pág. 173) Se a X ~ B(n, p) (isto é, x é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de x é: Média = np Variância V = npq Desvio padrão = V = npq Exercícios 1) Suponha que você tem uma carteira com seis ações. No pregão de ontem 65% das ações na bolsa de valores caíram de preço. Supondo que as ações que perderam valor têm distribuição binomial, qual a probabilidade que cinco ou mais ações, na carteira, tenham caído de preço?

5 2) Suponha que você tem uma carteira com seis ações. No pregão de ontem 75% das ações na bolsa de valores caíram de preço. Supondo que as ações que perderam valor têm distribuição binomial, qual a probabilidade que cinco ou mais ações, na carteira, tenham caído de preço? 3) Em um estabelecimento comercial entraram seis clientes. Qual a probabilidade de quatro clientes efetuarem uma compra, sabendo-se que a probabilidade de compra é de 50% para os que entrarem? 4) Em um estabelecimento comercial entraram cinco clientes. Qual a probabilidade de três clientes efetuarem uma compra, sabendo-se que a probabilidade de compra é de 60% para os que entrarem?