Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 1/22

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1 all Variáveis Aleatórias Bidimensionais & Teoremas de Limite Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo DCEL Departamento de Computação e Eletrônica Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 1/22

2 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22

3 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA. Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais VAs. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22

4 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA. Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais VAs. Sejam X e Y duas VAs. A função distribuição de probabilidade cumulativa conjunta de X e Y é definida como F (a, b) = P(X a, Y b), a, b R. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22

5 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA. Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais VAs. Sejam X e Y duas VAs. A função distribuição de probabilidade cumulativa conjunta de X e Y é definida como F (a, b) = P(X a, Y b), a, b R. Obtemos a função cumulativa de X a partir da distribuição conjunta fazendo F X (a) = P(X a) = P(X a, Y ) = F (a, ). Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22

6 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA. Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais VAs. Sejam X e Y duas VAs. A função distribuição de probabilidade cumulativa conjunta de X e Y é definida como F (a, b) = P(X a, Y b), a, b R. Obtemos a função cumulativa de X a partir da distribuição conjunta fazendo F X (a) = P(X a) = P(X a, Y ) = F (a, ). Similarmente, a função cumulativa de Y é dada por F Y (b) = P(Y b) = F (, b). Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22

7 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Se X e Y são VAs discretas então podemos definir a função de probabilidade conjunta de X e Y como p(x, y) = P(X = x, Y = y). Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 3/22

8 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Se X e Y são VAs discretas então podemos definir a função de probabilidade conjunta de X e Y como p(x, y) = P(X = x, Y = y). As funções de probabilidade de X e Y são obtidas a partir de p(x, y) tomando-se p X (x) = y:p(x,y)>0 p(x, y) p Y (y) = x:p(x,y)>0 p(x, y). Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 3/22

9 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Se X e Y são VAs contínuas, então elas são ditas conjuntamente contínuas se existir uma função f (x, y), com domínio R R, onde P(X A, Y B) = f (x, y) dx dy, para todos os possíveis conjuntos de números reais A, B R. B A Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 4/22

10 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Se X e Y são VAs contínuas, então elas são ditas conjuntamente contínuas se existir uma função f (x, y), com domínio R R, onde P(X A, Y B) = f (x, y) dx dy, para todos os possíveis conjuntos de números reais A, B R. A função f (x, y) é chamada de função densidade de probabilidade conjunta de X e Y. B A Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 4/22

11 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Se X e Y são VAs contínuas, então elas são ditas conjuntamente contínuas se existir uma função f (x, y), com domínio R R, onde P(X A, Y B) = f (x, y) dx dy, para todos os possíveis conjuntos de números reais A, B R. A função f (x, y) é chamada de função densidade de probabilidade conjunta de X e Y. As funções densidade de probabilidade de X e Y são obtidas a partir de f (x, y) tomando-se f X (x) = B A f (x, y)dy f Y (y) = f (x, y)dx. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 4/22

12 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Proposição 1 Se X e Y são VAs e g é uma função de duas variáveis, então E[g(X, Y )] = g(x, y) p(x, y) no caso discreto y x = g(x, y) f (x, y) dx dy no caso contínuo. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 5/22

13 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 1 Se g(x, Y ) = X + Y, então, no caso contínuo E[X + Y ] = = = E[X] + E[Y ]. (x + y) f (x, y) dx dy x f (x, y) dx dy + y f (x, y) dx dy Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 6/22

14 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 1 Se g(x, Y ) = X + Y, então, no caso contínuo E[X + Y ] = = (x + y) f (x, y) dx dy x f (x, y) dx dy + y f (x, y) dx dy = E[X] + E[Y ]. Para o caso discreto, e para quaisquer constantes a e b, tem-se E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 6/22

15 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 2 Calcule o valor esperado da soma obtida quando três dados honestos são rolados. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 7/22

16 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 2 Calcule o valor esperado da soma obtida quando três dados honestos são rolados. Solução: Tome X como a VA indicando a soma. Então X = X 1 + X 2 + X 3, onde X i representa o valor obtido no i-ésimo dado. Logo Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 7/22

17 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 2 Calcule o valor esperado da soma obtida quando três dados honestos são rolados. Solução: Tome X como a VA indicando a soma. Então X = X 1 + X 2 + X 3, onde X i representa o valor obtido no i-ésimo dado. Logo E[X] = E[X 1 ] + E[X 2 ] + E[X 3 ] = 3( 7 /2) = 21 /2. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 7/22

18 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 3 Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parâmetros n e ˆp. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 8/22

19 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 3 Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parâmetros n e ˆp. Solução: A VA X indica o número de sucessos em n experimentos, onde a probabilidade de sucesso de cada experimento é ˆp. Assim, temos que X = X 1 + X X n, onde cada X i é uma VA de Bernoulli com E[X i ] = ˆp. Logo Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 8/22

20 Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuídas (cont.) Exemplo 3 Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parâmetros n e ˆp. Solução: A VA X indica o número de sucessos em n experimentos, onde a probabilidade de sucesso de cada experimento é ˆp. Assim, temos que X = X 1 + X X n, onde cada X i é uma VA de Bernoulli com E[X i ] = ˆp. Logo E[X] = E[X 1 ] + E[X 2 ] E[X n ] = nˆp. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 8/22

21 Variáveis Aleatórias Independentes As VAs X e Y são independentes se para todo a, b P(X a, Y b) = P(X a) P(Y b), isto é, se os eventos {X a} e {Y b} são independentes. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 9/22

22 Variáveis Aleatórias Independentes As VAs X e Y são independentes se para todo a, b P(X a, Y b) = P(X a) P(Y b), isto é, se os eventos {X a} e {Y b} são independentes. Se X e Y são independentes, então F (a, b) = F X (a) F Y (b) para todo a, b. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 9/22

23 Variáveis Aleatórias Independentes As VAs X e Y são independentes se para todo a, b P(X a, Y b) = P(X a) P(Y b), isto é, se os eventos {X a} e {Y b} são independentes. Se X e Y são independentes, então F (a, b) = F X (a) F Y (b) para todo a, b. No caso discreto, temos p(x, y) = p X (x) p Y (y). Para o caso contínuo, vale f (x, y) = f X (x) f Y (y). Provas: Ross, Cap. 2. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 9/22

24 Variáveis Aleatórias Independentes (cont.) Proposição 2 Se as VAs X e Y são independentes então para quaisquer funções g e h: E[g(X) h(y )] = E[g(X)] E[h(Y )]. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 10/22

25 Variáveis Aleatórias Independentes (cont.) Proposição 2 Se as VAs X e Y são independentes então para quaisquer funções g e h: E[g(X) h(y )] = E[g(X)] E[h(Y )]. Proposição 3 Se X 1,..., X n são VAs independentes, então: ( n ) n V X i = V (X i ). i=1 i=1 Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 10/22

26 Variáveis Aleatórias Independentes (cont.) Média Amostral Se X 1,..., X n são independentes e identicamente distribuídas, então a VA X = n i=1 X i/n é chamada de média amostral. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22

27 Variáveis Aleatórias Independentes (cont.) Média Amostral Se X 1,..., X n são independentes e identicamente distribuídas, então a VA X = n i=1 X i/n é chamada de média amostral. Se E[X i ] = µ e V (X i ) = σ 2, então E[ X] = µ V ( X) = σ 2 /n. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22

28 Variáveis Aleatórias Independentes (cont.) Média Amostral Se X 1,..., X n são independentes e identicamente distribuídas, então a VA X = n i=1 X i/n é chamada de média amostral. Se E[X i ] = µ e V (X i ) = σ 2, então E[ X] = µ V ( X) = σ 2 /n. Exemplo 4 Calcule a variância de uma VA binomial X com parâmetros n e ˆp. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22

29 Variáveis Aleatórias Independentes (cont.) Média Amostral Se X 1,..., X n são independentes e identicamente distribuídas, então a VA X = n i=1 X i/n é chamada de média amostral. Se E[X i ] = µ e V (X i ) = σ 2, então E[ X] = µ V ( X) = σ 2 /n. Exemplo 4 Calcule a variância de uma VA binomial X com parâmetros n e ˆp. Solução: Temos que X = X X n, onde cada X i é uma VA de Bernoulli com V (X i ) = ˆp(1 ˆp). Da Proposição 3, vem V (X) = V (X 1 ) V (X n ) = n ˆp(1 ˆp). Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22

30 Teoremas de Limite Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 12/22

31 Teoremas de Limite Proposição 4 Desigualdade de Markov Seja X uma VA tomada somente para valores não negativos, então para qualquer a > 0: P(X a) E[X] /a. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 12/22

32 Teoremas de Limite Proposição 4 Desigualdade de Markov Seja X uma VA tomada somente para valores não negativos, então para qualquer a > 0: P(X a) E[X] /a. Prova: E[X] = = = a 0 a 0 a a a xf (x)dx xf (x)dx + xf (x)dx af (x)dx a xf (x)dx f (x)dx = ap(x a) Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 12/22

33 Teoremas de Limite (cont.) Proposição 5 Desigualdade de Chebyshev Seja X uma VA com média µ e variância σ 2, então para qualquer k > 0: P( X µ k) σ2 k 2 Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 13/22

34 Teoremas de Limite (cont.) Proposição 5 Desigualdade de Chebyshev Seja X uma VA com média µ e variância σ 2, então para qualquer k > 0: P( X µ k) σ2 k 2 Prova: Como (X µ) 2 é uma VA não-negativa, podemos usar a desigualdade de Markov (com a = k 2 ) para obter P((X µ) 2 k 2 ) E[(X µ)2 ] k 2 Para se completar a prova basta observar que (X µ) 2 k 2 X µ k. = σ2 k 2. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 13/22

35 Teoremas de Limite (cont.) Utilidade As desigualdades de Markov e Chebyshev são importantes pois permitem estabelecer limites de probabilidades quando somente a média e/ou variância são conhecidas, isto é, a distribuição de probabilidade é desconhecida. Exemplo: Análise estatística de dados. Se a distribuição for conhecida as probabilidades desejadas podem ser calculadas de forma exata e não é necessário usar limites. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 14/22

36 Teoremas de Limite (cont.) Exemplo 5 Através de uma análise do histórico de produção de uma fábrica verificou-se que o número de itens produzidos em uma semana é uma VA com média 500 e variância 100. a b O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a produção dessa semana seja ao menos 1000? O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a produção dessa semana fique entre 400 e 600? Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 15/22

37 Teoremas de Limite (cont.) Exemplo 5 Solução X: o número de itens produzidos em uma semana. a Pela Desigualdade de Markov: P(X 1000) E[X] 1000 = = 1 2. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 16/22

38 Teoremas de Limite (cont.) Exemplo 5 Solução X: o número de itens produzidos em uma semana. a Pela Desigualdade de Markov: P(X 1000) E[X] 1000 = = 1 2. b Pela Desigualdade de Chebyshev: Logo, P( X ) σ = P( X 500 < 100) = e podemos concluir que a probabilidade da produção dessa semana ficar entre 400 e 600 é ao menos Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 16/22.

39 Teoremas de Limite (cont.) O teorema a seguir é um resultado famoso da teoria de probabilidade. Descrição: a média de uma sequência de VAs independentes com a mesma distribuição converge com probabilidade 1 para a média da distribuição. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 17/22

40 Teoremas de Limite (cont.) O teorema a seguir é um resultado famoso da teoria de probabilidade. Descrição: a média de uma sequência de VAs independentes com a mesma distribuição converge com probabilidade 1 para a média da distribuição. Teorema 1 - Lei dos Grandes Números Sejam X 1,..., X n uma sequência de VAs independentes com uma distribuição em comum, e seja E[X i ] = µ. Então, com probabilidade 1, X X n n µ quando n. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 17/22

41 Teoremas de Limite (cont.) O teorema a seguir fornece um método aproximado para se calcular a probabilidade da soma de VAs independentes. Também explica o fato de que as frequências empíricas de muitas populações naturais exibem uma curva normal. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 18/22

42 Teoremas de Limite (cont.) O teorema a seguir fornece um método aproximado para se calcular a probabilidade da soma de VAs independentes. Também explica o fato de que as frequências empíricas de muitas populações naturais exibem uma curva normal. Teorema 2 - Teorema do Limite Central Sejam X 1,..., X n uma sequência de VAs independentes com uma distribuição em comum, com média µ e variância σ 2. A distribuição da VA definida como X X n nµ σ n tende para a distribuição normal padrão quando n. Isto é, [ ] X X n nµ P σ a n 1 2π a e x 2 /2 dx. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 18/22

43 Teoremas de Limite (cont.) Observação: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquer distribuição de X i. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 19/22

44 Teoremas de Limite (cont.) Observação: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquer distribuição de X i. Exemplo 6 A vida útil de uma bateria é uma VA com média de 40 horas e desvio padrão de 20 horas. Uma bateria é utilizada até falhar quando é então substituída por uma nova. Assumindo um estoque de 25 baterias, todas com vida útil independente, calcule uma aproximação para probabilidade de que mais de 1100 horas de uso sejam obtidas. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 19/22

45 Teoremas de Limite (cont.) Exemplo 6 Solução X i : vida útil da i-ésima bateria utilizada. Busca-se p = P(X X 25 > 1100), que pode ser aproximada por [ ] X X p = P > P[N(0, 1) > 1] = 1 Φ(1) Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 20/22

46 Processos Estocásticos Definição Um processo estocástico (PE) {X(t), t T } é uma coleção de VAs, isto é, para cada t T, X(t) é uma VA. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 21/22

47 Processos Estocásticos Definição Um processo estocástico (PE) {X(t), t T } é uma coleção de VAs, isto é, para cada t T, X(t) é uma VA. O índice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso, X(t) é chamado de estado do processo no tempo t. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 21/22

48 Processos Estocásticos Definição Um processo estocástico (PE) {X(t), t T } é uma coleção de VAs, isto é, para cada t T, X(t) é uma VA. O índice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso, X(t) é chamado de estado do processo no tempo t. Exemplos: X(t) = número total de clientes que entraram em um supermercado no tempo t; ou o número total de vendas feitas em uma loja no tempo t, etc. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 21/22

49 Processos Estocásticos Definição Um processo estocástico (PE) {X(t), t T } é uma coleção de VAs, isto é, para cada t T, X(t) é uma VA. O índice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso, X(t) é chamado de estado do processo no tempo t. Exemplos: X(t) = número total de clientes que entraram em um supermercado no tempo t; ou o número total de vendas feitas em uma loja no tempo t, etc. O conjunto T é chamado de conjunto indexador dos processos. T é contável PE de tempo discreto. T é um intervalo real PE de tempo contínuo. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 21/22

50 Processos Estocásticos (cont.) Exemplos: {X n, n = 0, 1,...} é um PE de tempo discreto indexado por inteiros não-negativos. {X(t), t 0} é um PE de tempo contínuo indexado por números não-negativos. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 22/22

51 Processos Estocásticos (cont.) Exemplos: {X n, n = 0, 1,...} é um PE de tempo discreto indexado por inteiros não-negativos. {X(t), t 0} é um PE de tempo contínuo indexado por números não-negativos. O conjunto de todos os possíveis valores que as VAs podem assumir é chamado de espaço de estados de um processo estocástico. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 22/22

52 Processos Estocásticos (cont.) Exemplos: {X n, n = 0, 1,...} é um PE de tempo discreto indexado por inteiros não-negativos. {X(t), t 0} é um PE de tempo contínuo indexado por números não-negativos. O conjunto de todos os possíveis valores que as VAs podem assumir é chamado de espaço de estados de um processo estocástico. um PE é uma família de VAs que descrevem a evolução no tempo de algum processo do mundo real. Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 22/22