Distribuições de Probabilidade Discretas
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- Maria das Neves Beltrão Dreer
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1 Distribuições de Probabilidade Discretas Who? From? Paulo Inácio K.L. Prado e João L.F. Batista BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais When? setembro de 2016
2 Conceitos
3 Conceitos Variável aleatória
4 Conceitos Variável aleatória Distribuição de Probabilidade
5 Conceitos Variável aleatória Distribuição de Probabilidade Função de densidade probabilística Função de distribuição ou probabilidade acumulada
6 Conceitos Variável aleatória Distribuição de Probabilidade Função de densidade probabilística Função de distribuição ou probabilidade acumulada Distribuição Bernoulli Distribuição Binomial Distribuição Poisson Distribuição Geométrica Distribuição Binomial Negativa
7 Uma teoria da variabilidade
8 Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações.
9 Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações. Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas.
10 Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações. Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas. Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.
11 Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações. Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas. Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado. Distribuição de Probabilidades x = x = x = 2 1 4
12 Distribuição de Probabilidades
13 Função Distribuição de Probabilidades
14 Distribuição de Probabilidades Função Uma Distribuição de Probabilidades é uma função matemática.
15 Distribuição de Probabilidades Função Uma Distribuição de Probabilidades é uma função matemática. Esquema ESPACO AMOSTRAL x1 x3 x 4 xn x2 x i INTERVALO 1 p1 p 4 pi p3 p N p2 0
16 Classes de Variáveis Quantitativas
17 Variáveis Discretas Classes de Variáveis Quantitativas
18 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS.
19 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é:
20 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios.
21 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios.
22 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios. Variáveis obtidas por:
23 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios. Variáveis obtidas por: enumeração,
24 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios. Variáveis obtidas por: enumeração, contagem.
25 Classes de Variáveis Quantitativas
26 Variáveis Contínuas Classes de Variáveis Quantitativas
27 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS.
28 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável.
29 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por:
30 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição.
31 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral
32 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
33 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas, Chama-se o conjunto de valores possíveis de
34 Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas, Chama-se o conjunto de valores possíveis de Espaço Amostral.
35 Exemplos de Espaços Amostrais
36 V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais
37 V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2}
38 V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...}
39 V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...} V. Contínuas
40 V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...} V. Contínuas Peso de peixe: S = {w} w [0, + )
41 V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...} V. Contínuas Peso de peixe: S = {w} w [0, + ) Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetro mínimo de medição de 5 cm: S = {d} d [5, + )
42 Distribuição de Probabilidades
43 Distribuição de Probabilidades Função Matemática Para uma variável discreta, a Distribuição de Probabilidades associa: cada (e todos) elemento do Espaço Amostral com um número real no intervalo [0, 1].
44 Distribuição de Probabilidades Função Matemática Probabilidade Para uma variável discreta, a Distribuição de Probabilidades associa: cada (e todos) elemento do Espaço Amostral com um número real no intervalo [0, 1]. Para uma variável discreta, a Distribuição de Probabilidades associa: cada valor possível da variável com uma probabilidade desse valor ser observado.
45 Exemplo de Distribuição de Probabilidades
46 Situação Exemplo de Distribuição de Probabilidades
47 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.
48 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Uma ninhada de 2 filhotes de sagui. Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
49 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Variável Discreta Uma ninhada de 2 filhotes de sagui. Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea. X = número de fêmeas na ninhada.
50 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Variável Discreta Espaço Amostral Uma ninhada de 2 filhotes de sagui. Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea. X = número de fêmeas na ninhada. x S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
51 Exemplo de Distribuição de Probabilidades
52 Função Exemplo de Distribuição de Probabilidades
53 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou
54 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
55 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades
56 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25
57 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25 x = 1 f(1) = P (X = 1) = 1 2 = 0, 50
58 Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25 x = 1 f(1) = P (X = 1) = 1 2 = 0, 50 x = 2 f(2) = P (X = 2) = 1 4 = 0, 25
59 Função de Densidade Probabilística
60 Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral)
61 Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral) Propriedades
62 Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral) Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 f(x) 1 para x S.
63 Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral) Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 f(x) 1 para x S. A soma das probabilidades é igual a 1: f(x) = 1. x S
64 A Soma das Probabilidades no Espaço Amostral
65 A Soma das Probabilidades no Espaço Amostral Exemplo da Ninhada x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 x = 1 f(1) = P (X = 1) = 1 2 x = 2 f(2) = P (X = 2) = 1 4 = 0, 25 = 0, 50 = 0, 25 2 f(x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000 x=0
66 Gráfico da Função de Densidade Probabilística
67 Gráfico da Função de Densidade Probabilística Probabilidade Exemplo da Ninhada Número de Fêmeas
68 Função de Distribuição
69 Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada
70 Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada A Função de Distribuição de x informa a probabilidade acumulada até x
71 Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada A Função de Distribuição de x informa a probabilidade acumulada até x F (x) = P (X x), x S
72 Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada A Função de Distribuição de x informa a probabilidade acumulada até x F (x) = P (X x), x S V. Discreta: sequência ordenada (crescente) de x = {x 1, x 2,..., x n,...}: F (x n ) = n P (X = x i ) = i=0 n f(x i ), i=0 x i S
73 Propriedades da Função de Distribuição
74 Propriedades Propriedades da Função de Distribuição
75 Propriedades da Função de Distribuição Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 F (x) 1 para x S.
76 Propriedades da Função de Distribuição Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 F (x) 1 para x S. Função monotonicamente crescente: x 1 < x 2 < x 3 F (x 1 ) F (x 2 ) F (x 3 )
77 Propriedades da Função de Distribuição Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 F (x) 1 para x S. Função monotonicamente crescente: x 1 < x 2 < x 3 F (x 1 ) F (x 2 ) F (x 3 ) Valor unitário para o maior valor no espaço amostral: F (max{x S}) = 1
78 Gráfico da Função de Distribuição
79 Gráfico da Função de Distribuição 1.0 Probabilidade acumulada Exemplo da Ninhada Número de Fêmeas
80 Esperança e Variância
81 Propriedades Esperança e Variância
82 Esperança e Variância Propriedades Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística: Esperança ou Valor Esperado Variância
83 Esperança e Variância Propriedades Esperança Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística: Esperança ou Valor Esperado Variância A esperança pode ser interpretada como o valor médio da variável.
84 Esperança e Variância Propriedades Esperança Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística: Esperança ou Valor Esperado Variância A esperança pode ser interpretada como o valor médio da variável. Variável discreta X: E[X] = x f(x) = x P (X = x) x S x S
85 Esperança e Variância
86 Variância Esperança e Variância
87 Esperança e Variância Variância A variância pode ser interpretada como a dispersão dos valores ao redor da esperança.
88 Esperança e Variância Variância A variância pode ser interpretada como a dispersão dos valores ao redor da esperança. Variável discreta X: Var[X] = x S(x E[X]) 2 f(x) = x S(x E[X]) 2 P (X = x) = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] (E[X]) 2
89 Exemplo da Ninhada: Número de Machos
90 Exemplo da Ninhada: Número de Machos Esperança 2 E[X] = x f(x) x=0 = 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 1, 0
91 Exemplo da Ninhada: Número de Machos Esperança 2 E[X] = x f(x) x=0 = 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 1, 0 Variância 2 Var[X] = (x E[X]) 2 f(x) x=0 = (0 1) 2 (1/4) + (1 1) 2 (1/2) + +(2 1) 2 (1/4) = 0, 50
92 Exemplo da Ninhada: Variância 2
93 Exemplo da Ninhada: Variância 2 Variância 2 Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2
94 Exemplo da Ninhada: Variância 2 Variância 2 Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 E[X] = 1, 0 2 E[X 2 ] = x 2 f(x) x=0 = 0 2 (1/4) (1/2) (1/4) = 1, 5 Var[X] = 1, = 0, 50
95 Distribuição Bernoulli
96 Distribuição Bernoulli Ensaio Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas.
97 Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis:
98 Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis: fracasso (X = 0): o evento não ocorre.
99 Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis: fracasso (X = 0): o evento não ocorre. sucesso (X = 1): o evento ocorre.
100 Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis: fracasso (X = 0): o evento não ocorre. sucesso (X = 1): o evento ocorre. Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
101 Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
102 Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1.
103 Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1 p) Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
104 Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1 p) Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p Função de Distribuição F (x) = (1 p) 1 x, x = 0, 1
105 Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1 p) Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p Função de Distribuição F (x) = (1 p) 1 x, x = 0, 1 Propriedades Esperança: E[X] = p Variância: Var[X] = p (1 p)
106 Distribuição Binomial
107 Situação Distribuição Binomial
108 Distribuição Binomial Situação Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes
109 Distribuição Binomial Situação Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n
110 Distribuição Binomial Situação Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p
111 Distribuição Binomial Situação Variável Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p X = o número de sucessos nos n ensaios espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n
112 Distribuição Binomial Situação Variável Exemplos: Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p X = o número de sucessos nos n ensaios espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n N de caras em 10 lançamentos de moeda N de mulheres em famílias de 5 filhos N de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
113 Gráfico: Distribuição Binomial 0.30 p = 0, Probabilidade Função de densidade x
114 Gráfico: Distribuição Binomial 0.30 p = 0, Probabilidade Função de densidade x
115 Gráfico: Distribuição Binomial 0.30 p = 0, Probabilidade Função de densidade x
116 Distribuição Binomial: Apresentação Formal
117 Descrição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n
118 Descrição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Parâmetros
119 Descrição Parâmetros Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios);
120 Descrição Parâmetros Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
121 Descrição Parâmetros Função de Distribuição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k, k x = 0, 1, 2,..., n
122 Descrição Parâmetros Função de Distribuição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k, k x = 0, 1, 2,..., n Propriedades
123 Descrição Parâmetros Função de Distribuição Propriedades Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k, k Esperança: E[X] = n p x = 0, 1, 2,..., n
124 Descrição Parâmetros Função de Distribuição Propriedades Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 Esperança: E[X] = n p ( ) n p k (1 p) n k, k Variância: Var[X] = n p (1 p) x = 0, 1, 2,..., n
125 Distribuição Poisson 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
126 Distribuição Poisson Situação 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
127 Distribuição Poisson Situação Contagem de eventos independentes. A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ. 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
128 Distribuição Poisson Situação Variável Contagem de eventos independentes. A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ. X = o número de eventos em cada unidade. espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
129 Distribuição Poisson Situação Variável Exemplos: Contagem de eventos independentes. A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ. X = o número de eventos em cada unidade. espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n N de árvores por parcela N de capturas por unidade de tempo N bombas V1 por área em Londres 1 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
130 Gráfico: Distribuição Poisson 0.35 λ = Probabilidade Função de densidade x
131 Gráfico: Distribuição Poisson 0.35 λ = Probabilidade Função de densidade x
132 Gráfico: Distribuição Poisson 0.35 λ = Probabilidade Função de densidade x
133 Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x!
134 Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem
135 Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0
136 Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição Propriedades f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0 Esperança: E[X] = λ
137 Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição Propriedades f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0 Esperança: E[X] = λ Variância: Var[X] = λ
138 Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição Propriedades f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0 Esperança: E[X] = λ Variância: Var[X] = λ Parâmetro λ = Esperança = Variância
139 Exemplo de Distribuição Poisson
140 Situação Exemplo de Distribuição Poisson Número de bombas V1 que caíram no sul de Londres durante a II Guerra: λ = 535 bombas/576 quadrículas 0, 929/quadr. λ = 535/576 Proporção das quadrículas N de bombas Obs Poisson
141 Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomial quando: o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n ). a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p 0). Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
142 Formalmente: Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomial quando: o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n ). a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p 0). Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ. Binomial x Poisson 0.25 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Probabilidade x
143 Caso-limite lim n p 0 f(x) = lim n p 0 ( n )p x (1 p) n x = λx e λ x x! Binomial x Poisson 0.25 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Probabilidade x
144 Distribuição Geométrica Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante).
145 Distribuição Geométrica Situação Variável Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante). X =número de fracassos até o primeiro sucesso espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n
146 Distribuição Geométrica Situação Variável Exemplos: Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante). X =número de fracassos até o primeiro sucesso espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n Tempo de vida em unidades discretas N de inspeções até encontrar algo N de carnavais até o divórcio
147 Gráfico: Distribuição Geométrica 0.4 p = 0,2 Probabilidade Função de densidade x
148 Gráfico: Distribuição Geométrica 0.4 p = 0,3 Probabilidade Função de densidade x
149 Gráfico: Distribuição Geométrica 0.4 p = 0,4 Probabilidade Função de densidade x
150 Distribuição Geométrica: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,...
151 Distribuição Geométrica: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... Função de distribuição F (x) = 1 (1 p) x+1, x = 0, 1, 2,...
152 Distribuição Geométrica: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... Função de distribuição F (x) = 1 (1 p) x+1, x = 0, 1, 2,... Propriedades Esperança: E[X] = 1 p Variância: Var[X] = 1 p p 2
153 Exemplo de Distribuição Geométrica
154 Situação Exemplo de Distribuição Geométrica Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus (Haldane 1953) 593 aves anilhadas, recontadas a cada ano Tempo médio de vida: 2,77 anos p = 2, 77 1 = 0, p = 0,658 Proporção sobrevivente Anos Obs Geométrica
155 Distribuição Binomial Negativa
156 Distribuição Binomial Negativa Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica).
157 Distribuição Binomial Negativa Situação Variável Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica). X = número de fracassos até o n ésimo sucesso.
158 Distribuição Binomial Negativa Situação Variável Parâmetros Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica). X = número de fracassos até o n ésimo sucesso. n: número de sucessos p: probabilidade de sucesso (constante)
159 Distribuição Binomial Negativa Situação Variável Parâmetros Exemplos: Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica). X = número de fracassos até o n ésimo sucesso. n: número de sucessos p: probabilidade de sucesso (constante) N de tentativas até conseguir duas caras N de tentativas até seu personagem morrer no game Em biologia mais usada para descrever agregações (em breve)
160 Gráfico: Distribuição Binomial Negativa 0.5 p = 0,5 n = Probabilidade Função de densidade N ensaios
161 Gráfico: Distribuição Binomial Negativa 0.5 p = 0,7 n = Probabilidade Função de densidade N ensaios
162 Gráfico: Distribuição Binomial Negativa 0.5 p = 0,7 n = Probabilidade Função de densidade N ensaios
163 Distribuição Binomial Negativa: Apresentação Formal Função de densidade ( ) n + x 1 f(x) = p n (1 p) x, x = 0, 1, 2,... x
164 Distribuição Binomial Negativa: Apresentação Formal Função de densidade Função de distribuição ( ) n + x 1 f(x) = p n (1 p) x, x = 0, 1, 2,... x F (x) = x ( ) n + k 1 p n (1 p) k, x = 0, 1, 2,... k k=0
165 Distribuição Binomial Negativa: Apresentação Formal Propriedades Esperança: Variância: E[X] = Var[X] = n(1 p) p n(1 p) p 2
166 Binomial Negativa Geométrica
167 Binomial Negativa Geométrica Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa.
168 Binomial Negativa Geométrica Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa. Função de densidade quando n = 1: ( ) n + x 1 f(x) = p n (1 p) x = p(1 p) x x
169 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa
170 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa Situação Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos: número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha
171 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa Situação Parâmetros Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos: número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha valor esperado (contagem média) E[X] = µ parâmetro de dispersão: k
172 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa Situação Parâmetros Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos: número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha valor esperado (contagem média) E[X] = µ parâmetro de dispersão: k Relações n = k ; p = k k + µ k = n ; µ = n(1 p) p
173 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa (cont.)
174 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa (cont.) Função de densidade f(x) = Γ(k + x) Γ(k)x! ( ) k k ( ) µ x, x = 0, 1, 2,... k + µ k + µ
175 Binomial Negativa: Parametrização Alternativa (cont.) Função de densidade f(x) = Γ(k + x) Γ(k)x! ( ) k k ( ) µ x, x = 0, 1, 2,... k + µ k + µ Propriedades Esperança: E[X] = µ Variância: Var[X] = n(1 p) p 2 = µ + µ2 k
176 Binomial Poisson... Distribuições de probabilidade no R dbinom(x, size, prob, log = FALSE) pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rbinom(n, size, prob) dpois(x, lambda, log = FALSE) ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rpois(n, lambda)
177 Resumo
178 Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades.
179 Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades. As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos: discretas contínuas
180 Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades. As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos: discretas contínuas Uma mesma distribuição de probabilidade pode ser definida por duas funções: Função de Densidade Função de Distribuição
181 Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades. As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos: discretas contínuas Uma mesma distribuição de probabilidade pode ser definida por duas funções: Função de Densidade Função de Distribuição Os parâmetros controlam o comportamento da distribuição.
182 Resumo (cont.)
183 Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras.
184 Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras. Algumas distribuições são casos limites de outras.
185 Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras. Algumas distribuições são casos limites de outras. Média e variância não são parâmetros de todas as distribuições mas podem ser expressas como funções desses.
186 Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras. Algumas distribuições são casos limites de outras. Média e variância não são parâmetros de todas as distribuições mas podem ser expressas como funções desses. Uma mesma distribuição pode ter aplicações muito diferentes daquela que a originou.
187 E agora? 1 Faça os tutoriais sobre distribuições discretas ( 2 Leia pelo menos os textos básicos da unidade; 3 Se der tempo comece a fazer os exercícios no notar (201.1 a 201.4) 4 Traga suas questões para a próxima aula.
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