Professora Ana Hermínia Andrade. Período

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1 Distribuições de probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período

2 Modelos de distribuição Para utilizar a teoria das probabilidades no estudo de um fenômeno concreto, devemos encontrar um modelo probabiĺıstico adequado a tal fenômeno. Por modelo probabiĺıstico para uma v.a X entendemos uma forma específica de função de distribuição de probabilidade que reflita o comportamento de X. Nesse processo de escolha utilizamos, em muitas situações, algum modelo clássico. Nós Estudaremos os modelos discretos: Bernoulli, Binomial e Poisson e o modelo continuo: Normal.

3 Distribuição Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados. 1 Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2 Cara ou coroa no lançamento de uma moeda; 3 Um servidor de internet está ativo ou não ativo; 4 Houve falha ou não na transmissão de um arquivo; 5 O resultado de um exame médico foi positivo ou negativo para detecção de uma doença.

4 Distribuição Bernoulli Seja X uma variável aleatória com dois resultados possíveis: 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso; Associaremos p, a probabilidade de sucesso (evento que nos interessa) e 1 p, a probabilidade de fracasso; Então X uma v. a. com distribuição Bernoulli e sua função de probabilidade é dada por: x i 0 1 p(x i ) 1 p p ou P(X = x i ) = p x i (1 p) 1 x i.

5 Uma lampada é escolhida ao acaso. Considere: X = A lâmpada é defeituosa (sucesso). X = { 0 se a lampada não é defeituosa 1 se a lampada é defeituosa x i 0 1 p(x i ) 4/7 3/7

6 Distribuição Bernoulli Notação: X Bernoulli(p), indica que a v.a X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Se X Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X ) = p e Var(X ) = p(1 p) = pq. Observação Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.

7 Distribuição Binomial Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli, sob as mesmas condições. Considere todos os ensaios independentes; A probabilidade de sucesso p e fracasso 1 p se mantém constante em todos os ensaios. A variável aleatória X = número de sucessos nas n realizações tem distribuição Binomial.

8 Distribuição Binomial Considere 3 ensaios de Bernoulli, n = 3. P(defeituosa)= p = 3/7 P(perfeita)= (1 p) = 4/7 Seja X = o número de defeituosas 1 O experimento consiste de três ensaios de Bernoulli idênticos; 2 Os ensaios são independentes. 3 As probabilidades p e (1-p) são as mesmas em cada ensaio; 4 A v.a. X tem distribuição Binomial.

9 Distribuição Binomial X = o número de defeituosas n = 3 X = {0, 1, 2, 3} P(D) = p = 3/7 P(P) = 1 p = 4/7 P(X = 0) = P(PPP) P(X = 1) = P(PPD) + P(PDP) + P(DPP) P(X = 2) = P(DDP) + P(DPD) + P(PDD)

10 Distribuição Binomial P(X = 1) = P(PPD) + P(PDP) + P(DPP) = ( 7 3 = ) ( ) 3 = (3/7) 1 (4/7) ( ) 3 P(X = 2) = (3/7) 2 (4/7) 1 2 ( ) 3 P(X = 3) = (3/7) 3 (4/7) 0 3 ( ) 3 P(X = 0) = (3/7) 0 (4/7) 3 0

11 Distribuição Binomial Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A v.a. que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli tem distribuição Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: ( ) n P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n x em que ( ) n = x n! x!(n x)! e lembre-se que 0! = 1.

12 Distribuição Binomial Notação X Binomial(n, p) indica que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. A esperança e a variância de X são: E(X ) = np Var(X ) = np(1 p)

13 Distribuição Binomial Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes: p = o cliente faz compra = 0, 30 (1 p) = o cliente não faz compra = 0, 70 X : número de clientes que compram ( ) 3 P(X = 0) = (0, 3) 0 (0, 7) 3 = 0, x p(x) ( ) 3 0 0, 343 P(X = 1) = (0, 3) 1 (0, 7) 2 = 0, , 441 ( ) 3 2 0, 189 P(X = 2) = (0, 3) 2 (0, 7) 1 = 0, , 027 ( ) 3 P(X = 3) = (0, 3) 3 (0, 7) 0 = 0, 027 3

14 O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perder sempre que joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule a probabilidade: a) do time perder nenhuma partida. b) do time perder exatamente 3 partidas. c) do time perder mais de 3 partidas. d) do time perder pelo menos uma partida. e) Se o time jogar 30 partidas, em quantos partidas se espera que o time perca?

15 X = n o de partidas que o time perdeu em casa. p = P(perder)= 1/4 n = 5 partidas X Binomial(5, 1/4) a) P(X = 0) = ( 5 0) ( 1 4) 0 ( 3 4) 5 = 0, 2373 b) P(X = 3) = ( 5 3) ( 1 4) 3 ( 3 4) 2 = 0, 2637 c) P(X > 3) = P(X = 4)+P(X = 5) = ( 5 4) ( 1 4) 4 ( 3 4) 1 + ( 5 5) ( 1 4) 5 ( 3 4) 0 = 0, 0156 d) P(X 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 0, 2373 = 0, 7627 e) E(X ) = np E(X ) =

16 Distribuição de Poisson Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências em um intervalo de tempo ou espaço específicos. Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia. Erros tipográficos por página, em um material impresso. Defeitos em uma peça fabricada por unidade (m2, m, etc). Lâmpadas queimadas em uma cidade por dia. Problemas de filas de espera.

17 Distribuição de Poisson Se X uma variável aleatória que registra o número de ocorrências em um intervalo específico e a probabilidade de uma ocorrência é independente e a mesma para quaisquer dois intervalos de tempo, então a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ e sua função de probabilidade é dada por: P(X = x λ) = λ x e λ x! λ = valor esperado ou número médio de ocorrências em um dado intervalo. e = 2, 71828

18 Distribuição de Poisson Notação: X Poisson(λ) indica que v.a. X tem distribuição Poisson com parâmetro λ. Uma variável aleatória de Poisson não tem limite superior. X = 0, 1, 2, 3,... P(x λ) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo específico, considerando λ o número médio de ocorrências em tal intervalo. A esperança e a variância de X são: Média: E(X ) = λ Variância: Var(X ) = λ

19 Em média há 2 chamadas por hora em um certo telefone. Calcule a probabilidade de: a) receber nenhuma chamada em 1 horas. b) receber uma chamada em 1 horas. c) receber uma chamada em 2 horas. d) receber no máximo 1 chamadas em 2 horas. e) receber pelo menos 1 chamadas em 2 horas.

20 X = número chamadas por hora em um certo telefone λ = 2 chamadas por hora a) P(X = 0 λ = 2) = 20 e 2 0! = 0, 1353 b) P(X = 1 λ = 2) = 21 e 2 1! = 0, 2706 c) P(X = 1 λ = 4) = 41 e 4 1! = 0, 0732 d) P(X 1 λ = 4) = P(X = 0 λ = 4) + P(X = 1 λ = 4) = 40 e 4 0! + 41 e 4 1! = 0, , 0732 = e) P(X 1 λ = 4) = 1 P(X < 1 λ = 4) = 1 P(X = 0 λ = 4) = 1 0, 0183 = 0, 9817

21 Distribuição Normal

22 Motivação: Distribuição Normal Observamos o peso (kg) de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. O histograma é o seguinte:

23 Motivação: Distribuição Normal A análise do histograma indica que: a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg; a maioria dos valores (88%) encontra-se em torno da média, no intervalo (55; 85); a proporção das alturas vai diminuindo a medida que os valores se afastam da média. Existe apenas uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1, 2%) e acima de 92kg (1%).

24 Motivação: Distribuição Normal Vamos definir a variável aleatória: X = peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população. Qual a distribuição de probabilidade de X? A curva contínua denomina-se curva Normal.

25 Distribuição Normal A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade. Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. s: 1 Altura; 2 Pressão sanguínea; 3 Peso. Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição Binomial.

26 A distribuição de Y deve ser assimétrica. Em que, a grande proporção de valores está entre 0 e 500 horas e poucos valores acima de 1500 horas. Distribuição Normal Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal. Y = Duração, em horas, de uma lâmpada.

27 Distribuição Normal Uma variável aleatória X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por: f (x) = 1 1 σ 2( x µ σ ) 2 2π e Campo de variação: < X < + ; E(X ) = µ; Var(X ) = σ 2 (e portanto, DP(X ) = σ).

28 Distribuição Normal Notação X N ( µ, σ 2) indica que v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ 2. Propriedades É simétrica em torno da média µ; A média e a mediana são coincidentes; A área total sob a curva é igual a 1; x = µ é ponto de máximo de f (x); f (x) 0 quando x ±.

29 Distribuição Normal Padrão Se µ = 0 e σ 2 = 1, a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se a: f (z) = 1 } exp { z2 2π 2 ou seja, Z N (0, 1).

30 Influência de µ na curva da Distribuição Normal Curvas normais com mesma variância, porém com médias diferentes (µ 2 > µ 1 ).

31 Influência de σ 2 na curva da Distribuição Normal Curvas normais com mesma média, porém com variâncias diferentes (σ 2 2 > σ2 1 ).

32 Cálculo das Probabilidades P(a < X < b) = área sob a curva e acima do eixo horizontal (X ) entre a e b. Problema: O cálculo das integrais da função de densidade normal não tem solução fechada.

33 Cálculo das Probabilidades Os cálculos dessas áreas (probabilidades) já foram obtidos numericamente e registrados em tabelas. Pergunta Se f (x) depende de µ e σ 2, então temos disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par µ e σ 2??

34 Uso da Tabela Normal Padrão Essas probabilidades que estão registradas em tabelas são para variáveis que tem distribuição normal padrão (Z N (0, 1)). Essa é a área fornecida pela tabela e é denotada por P(Z z).

35 Calcular P(Z 0, 32).

36 P(Z 0, 32) = 0, 6255.

37 P(Z 1, 3) = 0, 0968.

38 P(Z 1, 5)

39 P(Z 1, 5) = 1 P(Z < 1, 5) = 1 0, 9332 = 0, 0668 ou P(Z 1, 5) = P(Z 1, 5) = 0, 0668 obs: P(Z z) = P(Z z), pela simetria

40 P(0 < Z 1, 71)

41 P(0 < Z 1, 71) = P(Z 1, 71) P(Z < 0) = 0, , 5 = 0, 4564 obs: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0, 5, pela simetria

42 P(1, 32 < Z 1, 79)

43 P(1, 32 < Z 1, 79) = P(Z 1, 79) P(Z < 1, 32) = 0, , 9066 = 0, 0567

44 P( 1, 5 < Z < 1, 5)

45 P( 1, 5 < Z < 1, 5) = P(Z < 1, 5) P(Z < 1, 5) = 0, , 0668 = 0, 8664 ou P( 1, 5 < Z < 1, 5) = 1 2 P(Z < 1, 5) = 1 2 0, 0668 = 0, 8664 Observação P(Z > 1, 5) = P(Z < 1, 5), pela simetria

46 P( 1, 32 < Z < 0)

47 P( 1, 32 < Z < 0) = P(Z < 0) P(Z < 1, 32) = 0, 5 0, 0934 = 0, 4066

48 P( 2, 3 < Z < 1, 49)

49 P( 2, 3 < Z < 1, 49) = = P(Z < 1, 49) P(Z < 2, 3) = 0, , 0107 = 0, 0574

50 P( 1 < Z < 2)

51 P( 1 < Z < 2) = P(Z < 2) P(Z < 1) = 0, , 1587 = 0, 8186

52 Um problema inverso Em alguns momentos nós sabemos a probabilidade de ocorrência de determinado evento e estamos interessados em saber quem é esse evento. A seguir veremos como fazemos para resolver esse tipo de situação.

53 Como encontrar o valor z da distribuição N (0, 1), tal que P(Z z) = 0, 975?

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55 P(Z z) = 0, 975 Pela tabela, z = 1, 96.

56 Como encontrar o valor z da distribuição N (0, 1) tal que P(Z z) = 0, 10?

57 P(Z z) = 0, 10 Pela tabela, z = 1, 28.

58 f Qual o valor z da distribuição N (0, 1) tal que P(0 < Z z) = 0, 4975?

59 Note que P(Z < z) = P(Z 0) + P(0 < Z z) P(Z < z) = 0, 5 + 0, 4975 P(Z < z) = 0, 9975 Pela tabela, z = 2, 81.

60 Como encontrar o valor z da distribuição N (0, 1) tal que P(Z z) = 0, 3?

61 Note que P(Z z) = 0, 3 1 P(Z < z) = 0, 3 P(Z < z) = 1 0, 3 P(Z < z) = 0, 7 Pela tabela, z = 0, 53.

62 Como encontrar o valor z da distribuição N (0, 1) tal que P(Z z) = 0, 975?

63 Note que P(Z z) = 0, P(Z < z) = 0, 975 P(Z < z) = 1 0, 975 P(Z < z) = 0, 025 Pela tabela, z = 1, 96.

64 Como encontrar o valor z da distribuição N (0, 1) tal que P( z Z z) = 0, 8?

65 Note que P(Z z) = 0, 1 ou P(Z z) = 0, 9 Pela tabela, z = 1, 28 e z = 1, 28.

66 Distribuição Normal Mas como eu faço para calcular as probabilidades quando a variável não tem distribuição normal padrão (N (0, 1))? Nesses casos as áreas (probabilidades) são calculadas através de uma transformação. Essa transformação transforma qualquer variável normal que tenha qualquer média e qualquer variância em uma variável normal padrão (com média zero e variância um).

67 Distribuição Normal Padronizada Essa transformação é feita da seguinte maneira: Seja X N (µ, σ 2 ), definimos Z = X µ σ Temos então: E(Z) = 0 e Var(Z) = 1. Com essa transformação Z N (0, 1) (distribuição normal padrão).

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69 Distribuição Normal Padronizada Com isso, podemos determinar as probabilidades de uma v.a. X N (µ, σ 2 ), com base na tabela da distribuição normal padronizada. Portanto, P (a < X < b) = P (a µ < X µ < b µ) ( a µ = P < X µ < b µ ) σ σ σ ( a µ = P < Z < b µ ) σ σ

70 Seja X N (10; 64) ( µ = 10, σ 2 = 64 e σ = 8 ) Calcular P(6 X 12)

71 ( 6 10 P(6 X 12) = P X = P ( 0, 5 Z 0, 25) = P(Z < 0, 25) P(Z < 0, 5) = 0, , 3085 = 0, 2902 )

72 Calcular P(X 8 ou X > 14)

73 P(X 8) + P(X > 14) = = P(Z ) + P(Z > ) 8 8 = P(Z 0, 25) + P(Z > 0, 5) = P(Z 0, 25) + P(Z < 0, 5) = 0, 7098

74 Um problema inverso quando X N (µ; σ 2 ) Existem situações em que sabemos a probabilidade de ocorrência de determinado evento de uma v.a. X N (µ; σ 2 ) e estamos interessados em saber quem é esse evento. Em tais momentos, podemos obter a v.a. X N (µ; σ 2 ) por meio da v.a. Z N (0; 1), através da transformação inversa: X = µ + Zσ.

75 Como encontrar o valor x da distribuição X N (10; 64) tal que P(X x) = 0, 05?

76 P(X x) = 0, 05 P ( Z x 10 ) 8 = 0, 05 temos que P(Z z) = 0, 05 1 P(Z < z) = 0, 05 P(Z < z) = 1 0, 05 P(Z < z) = 0, 95 Pela tabela, z = 1, 64. Então, x 10 = 1, 64 x = , 64 8 = 23, 12 8

77 Como encontrar o valor x da distribuição X N (10; 64) tal que P(X x) = 0, 025?

78 P(X x) = 0, 025 P ( Z x 10 ) 8 = 0, 025 x 10 8 temos que P(Z z) = 0, 025 Pela tabela, z = 1, 96. Então, = 1, 96 x = 10 1, 96 8 = 5, 68

79 Exercício O tempo de instalação de um software tem distribuição normal com média de 6 minutos e variância de 4 minutos. a) Qual a probabilidade de que um software leve entre 5 e 7 minutos para ser instalado? b) Qual a probabilidade de que um software leve mais que 6,5 minutos para ser instalado? c) Qual a probabilidade de que um software leve menos que 5 minutos para ser instalado? d) Qual o intervalo de tempo, simétrico em torno da média, que detém uma probabilidade 95% para que o software seja instalado?