PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

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1 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Certas distribuições de probabilidades se encaixam em diversas situações práticas As principais são: se v.a. discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial Distribuição de Poisson se v.a. contínua Distribuição exponencial Distribuição normal

2 1) Distribuição de Bernoulli Considere um ensaio de Bernoulli: a) um fenômeno aleatório é realizado uma única vez b) há somente dois resultados possíveis: Defina: 1, se sucesso X={ 0, se fracasso Ou seja, X : n o de sucessos em 1 tentativa sucesso fracasso Notação: p = P(X = 1) probabilidade de sucesso em 1 tentativa q = 1 p = P(X = 0) probabilidade de fracasso em 1 tentativa

3 Então X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p NOTAÇÃO: X Bernoulli( p) Função de probabilidades de X: p( x)= p x q 1 x para x=0, 1 Esperança e Variância de X: E( X )= p Var( X )= p q

4 Exemplo 1 (opinião do eleitor - cont.) Considere: X n o de eleitores que acham o governo bom em uma única observação aleatória a) Calcule P(X = 0) b) Determine E(X) e Var(X) probabilidade de sucesso X Bernoulli( p) sucesso eleitor acha governo bom segundo a pesquisa: p = 0,3 a) p( x)=0,3 x 0,7 1 x para x=0; 1 P( X =0)=p(0)=0,3 0 0,7 1 0 =0,7 b) E( X )= p=0,3 sucesso Var ( X )= pq=0,21 sucesso 2

5 2) Distribuição binomial Considere que: a) ocorrem n tentativas independentes de um mesmo ensaio de Bernoulli; b) probabilidade de sucesso, p, é constante em cada tentativa Defina: X : n o de sucessos em n tentativas Então X tem distribuição binomial com parâmetros n e p NOTAÇÃO: X B(n ; p)

6 Função de probabilidades de X: p( x)= n! x!(n x)! px q n x Esperança e Variância de X: para x=0, 1, 2,, n E( X )=n p Var ( X )=n p q C n x = ( n x)

7 Exemplo 2 Considere: X n o de caras em 3 lançamentos imparciais de uma moeda equilibrada a) Qual a probabilidade de ocorrem 2 caras? b) E a média e variância do número de caras? X B(n; p) número de tentativas sucesso sair cara n = 3 e como moeda é equilibrada: p = 0,5 a) p( x)= 3! x!(3 x)! 0,5x 0,5 3 x para x=0, 1, 2, 3 P( X =2)=p(2)= 3! 2!(3 2)! 0,52 0,5 3 2 =0,375 b) E( X )=n p=1,5 cara Var ( X )=n p q=0,75 cara 2

8 3) Distribuição de Poisson Defina: X : n o de sucessos em um determinado intervalo de tempo (de profundidade, de área, de distância, de volume) λ : taxa de sucesso constante no intervalo Então X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ NOTAÇÃO: X Po(λ)

9 Função de probabilidades de X: p( x)= λ x e λ para x=0, 1, 2, x! Esperança e Variância de X: E( X )=λ Var( X )=λ

10 Exemplo 3: Seja X n o de erros de digitação em uma página de folha A4, com taxa de erro de 0,5 erro por página a) Calcule a probabilidade de não ocorrer nenhum erro de digitação em 1 página escolhida ao acaso b) Encontre μ e σ de X X Po(λ) a) p( x)= 0,5x e 0,5 x! taxa de sucesso para x=0, 1, 2, P( X =0)=p(0)= 0,50 e 0,5 =0,6065 0! sucesso erro de digitação segundo enunciado: = 0,5 por página b) μ=e( X )=0,5erro σ= Var ( X )= 0,5=0,707 erro

11 Duas observações sobre distribuição de Poisson: não sabemos quantos fracassos ocorrem no intervalo, porque não foi fixado o número de tentativas; foi fixado o tamanho do intervalo a taxa λ muitas vezes é referida como o número esperado de sucessos ou a média de sucessos em um determinado intervalo

12 Exercícios: 1. Uma caixa tem 20 bolas azuis e 30 verdes. Retira-se uma bola dessa caixa. Defina X como o número de bolas verdes em uma única retirada ao acaso. Determine a função de probabilidades de X, E(X) e Var(X) 2. Num município, a probabilidade de cada empresa de materiais recicláveis ter seguro contra incêndio é de 70%. Qual a probabilidade de que, dentre cinco empresas desse tipo: a) nenhuma ter seguro contra incêndio? b) quatro ou mais tenham seguro contra incêndio?

13 3. Sabe-se que 5% das válvulas fabricadas em uma indústria são defeituosas. Em um lote de 4 válvulas: a) calcular a probabilidade de exatamente 2 serem defeituosas b) qual a média e o desvio padrão do número de válvulas defeituosas? 4. Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia Calcular a probabilidade do posto receber em um dia: a) quatro chamadas b) duas ou menos chamadas c) mais de uma chamada

14 5. Verificou-se que a taxa de falha de um transistor em um instrumento eletrônico, durante uma hora de operação é igual a 0,005 a) Calcular a probabilidade de não haver falhas em 60 horas de operação? b) Qual a média e a variância do número de falhas em 60 horas?

15 4) Distribuição exponencial Se X é uma v.a. contínua que pode assumir valores entre 0 e +, e, se X tem função densidade de probabilidades: f ( x)=θ e θ x, para x 0 Então X tem distribuição exponencial com parâmetro θ NOTAÇÃO: E( X )= 1 θ X Exp(θ) Var ( X )= 1 θ 2 taxa de sucesso no intervalo de tempo, de distância,...

16 X segue uma distribuição exponencial de parâmetro θ quando, por exemplo, X : tempo até ocorrer o sucesso θ : taxa de sucesso constante em qualquer intervalo de tempo X : distância até encontrar a sucesso θ : taxa de sucesso constante em qualquer intervalo de distância

17 Exemplo 4 (calouros da UFPR - cont.) X : distância, em km, entre a residência do calouro selecionado aleatoriamente e a do seus pais Calcule a média, a variância de X e a probabilidade de X ser maior que a média f (x)=0,05 e 0,05 x ; x 0 por suposição X Exp(θ) θ=0,05 por km E ( X )= 1 1 =20 km Var( X )= =400 km2 2 0,05 0,05

18 P( X μ) = P( X 20) = 0,05e 0,05 x dx 20 = ( du=0,05dx) x = e u du 1 = e u 1 = (e e 1 )= 1 e =0,36789

19 5) Distribuição normal Se X é uma v.a. contínua que pode assumir valores entre e +, e, se X tem função densidade de probabilidades: f ( x)= 1 ( x μ ) 2 ) 2 π σ 2 e( 2 σ 2, para x R Então X tem distribuição normal com parâmetros μ e σ 2 NOTAÇÃO: X N(μ;σ 2 ) E(X) = μ Var(X) = σ 2

20 Características da distribuição normal a) curva de f (x) tem forma de sino, e é simétrica em torno de μ b) média = mediana = moda

21 c) área sob a curva f (x) entre μ ± 1σ é aproximadamente igual a 0,68; entre μ ± 2σ é de 0,95

22 Em geral, X segue uma distribuição normal quando a variável é o resultado de uma soma de vários fatores, por exemplo: a) variáveis biológicas (nível de ácido úrico, nível de colesterol, pressão sanguínea, altura e peso) b) variáveis físicas (temperatura e umidade) teve origem no estudo de erros de mensuração: Erros de mensuração próximos a zero tem alta probabilidade de ocorrer; a medida que o erro se afasta de zero, a probabilidade diminui (erros grandes são raros) tem papel preponderante na Inferência Estatística

23 estão tabeladas algumas probabilidades para v.a. que segue a distribuição normal com média 0 e variância 1 distribuição normal padrão É comum representar por Z (ao invés de X) a v.a. que segue a distribuição normal padrão: Z N(0 ;1) Função densidade de probabilidades de Z: f (z)= 1 2 π e( z 2 ) 2

24 a Tabela da distribuição normal padrão apresenta algumas probabilidades do tipo P(0 Z z) f (z) tipo de área calculada na Tabela

25 Exercícios (normal padrão) 6. Calcule: a) P(0 Z 0,45) b) P(0 < Z < 0,45) c) P( Z 1) d) P( Z < -1) e) P(-2 Z 2) f) P( Z -0,53)

26 Exemplo 5: Suponha que nível de QI tenha distribuição normal com média 100 e desvio padrão 20 entre as mulheres, e média 100 e desvio padrão 25 entre os homens É mais fácil encontrar um gênio (QI maior que 150), entre os homens ou entre as mulheres? P(QI M > 150) =? P(QI M > 150) =? probabilidades tabeladas só para Z!! Solução: Se X ~ N(μ ; σ 2 ) usar a transformação X μ σ = Z

27 QI M ~ N(100; 20 2 ) P(QI M > 150) = P( QI M μ σ > 150 μ σ ) P( = Z > ) =P(Z >2,5) 20 QI H ~ N(100; 25 2 ) P(QI H > 150) P( = Z > ) =P(Z >2) 25

28 Exercícios: 7. As vendas diárias de uma confeitaria no centro de uma cidade têm distribuição normal, com média diária de 450,00 reais e desvio padrão diário de 95,00 reais Qual é a probabilidade das vendas excederem 700,00 reais em determinado dia? 8. Suponha que entre certos pacientes o nível de glicose tenha uma distribuição aproximadamente normal de média 105 mg por 100 ml e um desvio padrão 9 mg por 100 ml Qual a proporção de pacientes que tem níveis entre 90 e 125 mg por 100 ml?

29 9. A média pluviométrica durante o mês de janeiro em uma cidade é de 86,8 mm Suponha que uma distribuição normal seja aplicável e que o desvio padrão seja de 20,30 mm Qual a probabilidade da quantidade de chuva em janeiro, ser inferior a 76 mm? 10. O tempo de espera para cada cliente que entra na fila do caixa de uma loja, segue uma distribuição de probabilidade exponencial com taxa igual a 0,2 por minuto Calcule: a) tempo médio de espera e desvio padrão do tempo de espera b) a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso, ficar até 20 minutos na fila