Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09

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1 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 09 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM

2 Teoria das Filas Aula passada Variáveis aleatórias discretas e contínuas PMF, CDF e função densidade Aula hoje Exemplos de Variáveis aleatórias discretas e contínuas Esperança, Variância 2

3 Binomial Contagem de eventos de Bernoulli independentes Número de sucessos k dado N repetições de experimentos independentes Dois parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos

4 Características da Distribuição Binomial Média µ Desvio Padrão σ x x = E( X ) = np = np ( 1 p) P(X) P(X) n = 5 p = n = 5 p = X X

5 Exemplo 1 Experimento: Escolhe-se aleatoriamente 5 clientes de um supermercado. Qual a probabilidade de um deles aceitar ser entrevistado, supondo-se que a probabilidade de um cliente aceitar é 10%.

6 Exemplo 1 Experimento: Escolhe-se aleatoriamente 5 clientes de um supermercado. Qual a probabilidade de um deles aceitar ser entrevistado, supondo-se que a probabilidade de um cliente aceitar é 10%. P( X = k n, p) = P( X = 1 5,. 1) = n! p k! ( n k )! 1 p) 5! 1!( 5 1)!. (. k n k =.328

7 Exemplo 2 Você realiza um trabalho de telemarketing para uma certa empresa. Nas suas últimas 100 chamadas você realizou 20 vendas (p =.20). Se você ligar para 12 pessoas esta noite qual a probabilidade de você: A. Não realizar nenhuma venda? B. Realizar exatamente 2 vendas? C. Realizar, até, 2 vendas? D. Realizar, no mínimo, 2 vendas?

8 Poisson Número de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo Parâmetros t: intervalo de tempo λ : taxa média de ocorrência de eventos por unidade de tempo P X =k = e t λ t λ k k!

9 Exemplo Poisson Chegada de chamadas a um call center segue a distribuição de Poisson Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto? Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?

10 Poisson Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora? 3 chamadas /minuto

11 Propriedade da Distribuição de Poisson A Distribuição de Poisson aproxima a distribuição binomial para n grande e p pequeno

12 V.A Uniforme Valores podem ocorrer com a mesma probabilidade Exemplo: V.A. uniformemente distribuída entre [0,1] Parâmetros: [a, b] : intervalo onde v.a. pode ocorrer De maneira geral, x a: Onde ocorre o evento (em relação ao começo do intervalo)

13 V.A Uniforme

14 Uniforme Se X é uniformemente distribuída entre (0,10), calcule a probabilidade de a) X < 3 b) X > 7 c) 1 < X < 6

15 Uniforme Se X é uniformemente distribuída entre (0,10), calcule a probabilidade de a) X < 3 b) X > 7 c) 1 < X < 6

16 Exponencial Tempo até que um evento ocorra Relacionada com Poisson (tempo entre eventos) Parâmetros λ : taxa média de ocorrência de eventos CDF -> PDF ->

17 Exponencial para diferentes valores de λ

18 Valor Esperado de VA Exponencial

19 Normal ou Gaussiana Distribuição fundamental em estatística resultado do teorema do limite central Aplicada a muitos fenômenos físicos Parâmetros u: média s: desvio padrão Normal padrão (média 0, desvio padrão 1) Não possui forma fechada (consultar tabela)

20 Possui forma de Densidade Normal sino e é simétrica Média, mediana e f(x) moda são iguais Variável aleatória σ σ X que pode assumir Média qualquer valor na Mediana reta (R). Moda

21 Valor Esperado, Média, Esperança Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta Valor Esperado de uma Variável Aleatória contínua

22 Variância Variável aleatória discreta ou contínua Segundo momento v.a. contínua

23 Propriedades da Média Lineariedade Produto se X e Y são independentes

24 Propriedades da Variância Soma da variância de duas VA independentes Se X e Y não são independentes