Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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Giovanna Cipriano Antas
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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 1 / 15

2 Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio Proposição 20.1:Seja X integrável, µ = E(X). Então µ minimiza E(X c) 2, c R, isto é, Var(X) = E(X µ) 2 = min E(X c) 2. DEMONSTRAÇÃO: Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 2 / 15

3 Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio DEMONSTRAÇÃO: Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 3 / 15

4 Mediana A Mediana é o valor x med para o qual P(X x med ) = P(X x med ) = 1 2. No caso de uma distribuição contínua, a mediana corresponde a uma ordenada que separa a curva de densidade em duas partes, cada uma delas com área igual a 1/2. No caso de uma distribuição discreta, a mediana pode não ser única. Por outro lado, a moda é o valor que ocorre com maior frequência, ou seja, o valor que tem maior probabilidade de ocorrência. Para tal valor x mo, f(x mo ) é máxima. Caso hajam duas, três ou mais modas, a distribuição será bimodal, trimodal ou multimodal, respectivamente. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 4 / 15

5 Mediana Exercício 1: Uma variável aleatória discreta tem função de probabilidade p(x) = 1/2 x, com x = 1,2,... Determine (a) a moda, (b) a mediana e (c) compare-as com a média. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 5 / 15

6 Mediana Exercício 2: Uma variável aleatória contínua tem função densidade f(x) = 4x(9 x 2 )/81 para 0 x 3 e 0 caso contrário. Determine (a) a moda, (b) a mediana e (c) compare-as com a média. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 6 / 15

7 Mediana Exercício 3: Seja F a função de distribuição acumulada de um modelo exponencial com parâmetro λ. Obtenha m tal que F(m) = 1/2. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 7 / 15

8 Mediana Exercício 4: Uma variável aleatória contínua tem função densidade f(x) = e x para x 0 e 0 caso contrário. Determine (a) a moda, (b) a mediana e (c) compare-as com a média. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 8 / 15

9 Mediana Exercício 5: Uma variável aleatória discreta assume os valores X = 2 com probabilidade 1/3 e X = 1 com probabilidade 2/3. Determine (a) a moda, (b) a mediana e (c) compare-as com a média. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 9 / 15

10 Percentis Pode ser de interesse dividir a área sob a curva de densidade por meio de ordenadas de tal modo que a área à esquerda de cada ordenada represente determinada porcentagem da área total unitária. Os valores correspondentes a essas áreas chamam-se percentis. Por exemplo, a área à esquerda de x 0.10 seria 10% e se designaria como décimo percentil, ou também primeiro decil. A mediana é o quinquagésimo percentil (ou quinto decil). Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 10 / 15

11 Percentis Exercício 6: Determine o (a) o 10 o, (b) o 25 o e (c) o 75 o percentil da distribuição do Problema 2. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 11 / 15

12 Percentis Exercício 7: Uma variável aleatória X tem densidade exponencial com parâmetro 1. Prove que o percentil de ordem p tem o valor ln(1 p), com 0 p < 1. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 12 / 15

13 Percentis Exercício 8: Suponha que X tem densidade normal N(µ,σ 2 ). Obtenha o quartil superior de X. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 13 / 15

14 Percentis Exercício 9: Suponha que um número bastante grande de partículas radioativas idênticas tenha tempo de desintegração que se distribua exponencialmente com um certo parâmetro λ. Se a metade das partículas se desintegram no primeiro segundo, quanto tempo levará para 75% das partículas se desintegrarem? Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 14 / 15

15 Percentis Exercício 10: Seja X o tempo até a desintegração de alguma partícula radioativa com densidade exponencial de parâmetro λ. Suponha que P(X 0.01) = 1/2. Obtenha um número t tal que P(X t) = 0.9. Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 15 / 15

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