Distribuições Importantes. Distribuições Contínuas

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1 Distribuições Importantes Distribuições Contínuas

2 Distribuição Normal ou de Gauss Definição Diz-se que uma v.a. X contínua tem distribuição normal ou de Gauss, X Nor(µ,σ), se a sua função densidade de probabilidade for dada pela expressão seguinte: f X ( x) = 1 2πσ 2 e x µ σ onde x IR, µ IR R e σ>0 Média e variância de X Nor(µ,σ) E[X]= µ Var[X]= σ 2 Distribuições Importantes (Contínuas) 2

3 Distribuição Normal (cont.) Propriedades da função densidade de probabilidade da distribuição normal é simétrica em torno da média µ x = µ é ponto de máximo de f(x); f(x) 0 quando x ± Distribuições Importantes (Contínuas) 3

4 Distribuição Normal (cont.) duas curvas correspondentes a duas distribuições com o mesmo desvio padrão têm a mesma forma, diferindo unicamente na localização (µ 1 >µ 2 ). Distribuições Importantes (Contínuas) 4

5 Distribuição Normal (cont.) É tanto mais achatada, quanto maior for o valor de σ, de modo que três curvas correspondentes a três distribuições com o mesmo valor médio, são simétricas, relativamente ao mesmo ponto, diferindo no grau de achatamento (σ 1 >σ 2 >σ 3 ). Distribuições Importantes (Contínuas) 5

6 Distribuição Normal (cont.) Seja qual for o valor médio e o desvio padrão há uma área constante entre a média e um valor que se encontre a certa distância da média Distribuições Importantes (Contínuas) 6

7 Distribuição Normal Padrão ou Reduzida Definição Uma v.a. Z com distribuição normal de valor médio 0 e desvio padrão 1 diz-se uma v.a. com distribuição normal padrão ou reduzida ou ainda standard, Z Nor(0,1). Propriedade Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio µ e desvio X µ padrão σ. Então a v.a. Z= tem distribuição normal padrão, σ isto é, Z Nor(0,1). As tabelas da distribuição normal são relativas à distribuição normal padrão. Distribuições Importantes (Contínuas) 7

8 Aproximações à Distribuição Normal Aproximação da distribuição binomial à distribuição normal Se X b(n,p) com n e 0.1<p<0.9 então X Nor(np, npq). Aproximação da distribuição de Poisson à distribuição normal Se X P(λ) com λ então X Nor(λ, λ). Distribuições Importantes (Contínuas) 8

9 Distribuição Normal Cálculo de Probabilidades P(a<X<b) Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b. a µ b Distribuições Importantes (Contínuas) 9

10 Distribuição Normal Cálculo de Probabilidades (cont.) Se X Nor(µ, σ), definimos Z= X µ σ f(x) µ = 0 σ = 1 X Nor(µ, σ) Z Nor(0, 1) f(z) a µ b x a µ σ 0 b µ z σ Distribuições Importantes (Contínuas) 10

11 Distribuição Normal Cálculo de Probabilidades (cont.) Portanto, P(a < X < b) a µ X µ b µ a µ b µ = P < < = P < Z < σ σ σ σ σ Transformação Inversa Dada a v.a. Z Nor(0, 1) podemos obter a v.a. X Nor(µ, σ) através da transformação inversa X= µ+z σ Distribuições Importantes (Contínuas) 11

12 Distribuição Normal Uso da tabela da Normal Padrão no Cálculo de Probabilidades P(Z z), para z 0. Distribuições Importantes (Contínuas) 12

13 Distribuição Normal Uso da tabela da Normal Padrão no Cálculo de Probabilidades Exemplo 4.8 Seja Z Nor(0, 1), calcule: a) P(Z 0.32) P(Z 0.32) = Tabela Distribuições Importantes (Contínuas) 13

14 Distribuição Normal Encontrando o valor na Tabela da Nor(0,1) z M M M M Distribuições Importantes (Contínuas) 14

15 Distribuição Normal Uso da tabela da Normal Padrão no Cálculo de Probabilidades (cont.) b) P(0 < Z 1.71) P(0 < Z 1.71) = P(Z 1.71) P(Z 0) = = Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0.5 Tabela Distribuições Importantes (Contínuas) 15

16 c) P(1.32 < Z 1.79) P(1.32 < Z 1.79) = P(Z 1.79) P(Z 1.32) = = Tabela Distribuições Importantes (Contínuas) 16

17 d) P(Z 1.5) P(Z > 1.5) = 1 P(Z 1.5) = = Tabela Distribuições Importantes (Contínuas) 17

18 e) P(Z 1.3) P(Z 1.3) = ou Pela simetria P(Z -1.3) = P(Z 1.3) P(Z 1.3) = P(Z 1.3) = 1 P(Z 1.3) = = Tabela P Tabela N Distribuições Importantes (Contínuas) 18

19 f) P(-1.5 Z 1.5) P( 1.5 Z 1.5) = P(Z 1.5) P(Z 1.5) = = Tabela P Tabela N Distribuições Importantes (Contínuas) 19

20 g) P( 1.32 < Z < 0) P( 1.32 < Z < 0) = P(Z 0) P(Z -1.32) = = Tabela P Tabela N Distribuições Importantes (Contínuas) 20

21 Como encontrar o valor z da distribuição Nor(0, 1) tal que P(Z z) = z Z z é tal que P(Z z) = Pela tabela, z = 1.96 Tabela Distribuições Importantes (Contínuas) 21

22 Distribuição Normal : Valores de P( Z < z ) = A(z) Parte inteira e primeira decimal de z Segunda decimal de z

23 Distribuições Importantes (Contínuas) 23 Distribuição Normal Reduzida: valores de P(Z z) z