Bioestatística e Computação I

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1 Bioestatística e Computação I Distribuições Teóricas de Probabilidade Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas de M. Pagano e Gravreau e Geraldo Marcelo da Cunha

2 Distribuições Teóricas de Probabilidade Variável Aleatória Pode assumir valores diferentes e qualquer resultado particular é determinado pelo acaso. Distribuição de probabilidade Especifica todos os resultados possíveis e a probabilidade de ocorrência de cada um. Para variáveis discretas, equivale à frequência relativa após um número grande de repetições. Para variáveis contínuas, especifica as probabilidades associadas com intervalos de valores.

3 Distribuição empírica de probabilidade Probabilidades calculadas a partir de uma quantidade finita de dados Probabilidade 0,4000 0,3597 DMOS Fr (%) 0, ,97 0, ,24 0,2000 0, , ,04 0,1000 0, ,97 0, ,43 0,0343 0, ,64 0, Total 100,00 DMOS

4 Distribuição teórica de probabilidade Algumas variáveis podem ter sua distribuição de probabilidade determinada com base em considerações teóricas. As distribuições teóricas de probabilidade são definidas a partir de uma equação matemática. Exemplos: variáveis dicotômicas seguem distribuição binomial de contagem seguem distribuição de Poisson algumas variáveis fisiológicas contínuas seguem distribuição normal

5 Função de distribuição de probabilidade Além da tabela e do gráfico a distribuição teórica de probabilidade pode ser descrita por sua equação. Função de distribuição de probabilidade Função de densidade de probabilidade Para variáveis discretas é denotada por P(X=x) X o nome da variável aleatória x um valor que a variável pode assumir ٠ P X =x ١ todo x [ P X =x ]=١

6 Distribuição de Probabilidade Binomial Seja uma variável aleatória dicotômica Y variável de Bernoulli fracasso e sucesso probabilidade de sucesso = p Exemplo Probabilidade de um indivíduo qualquer ser fumante p = 29% P(Y = fumante) = p = 0,29 P(Y = ñ fumante) = 1 p = 0,71

7 Distribuição de Probabilidade Binomial Seja uma variável aleatória X De n indivíduos escolhidos ao acaso X número de indivídulos fumantes X variável numérica discreta Dado que a probabilidade de ser fumante = p P(X=x) =? Qual o tipo da variável X? Quais os valores possíveis?

8 Distribuição Binomial n = 3 Como os resultados de cada indivíduo são independentes. Indivíduo 1 Indivíduo 2 Indivíduo 3 Probabilidade (1-p) (1-p) (1-p) (1-p) (1-p) p (1-p) p (1-p) (1-p) p p p (1-p) (1-p) p (1-p) p p p (1-p) p p p 3 x x P(X=x) 0 (1-p) (1-p) (1-p) 1 3 p (1-p) p 2 (1-p) 3 p 3 0=ñ fumante; 1=fumante

9 Distribuição Binomial De forma geral Um mesmo experimento ocorre n vezes Os experimentos são independentes Probabilidade de sucesso p em cada experimento X variável que representa o número de sucessos: X sucessos em n tentativas X numérica discreta P X =x = n P X =x = x px 1 p n x n! x! n x! p x 1 p n x Combinação de n objetos escolhidos x por vez

10 Distribuição Binomial n! = n fatorial n!=n n 1 n !=1 por definição Combinação Número de vezes que x objetos podem ser selecionados de um total de n objetos sem importar a ordem n x = n! x! n x!

11 Distribuição Binomial Dado que a probabilidade de um indivíduo ser fumante é 29%, de 3 indivíduos escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de 2 serem fumantes? Cada experimento é independente e envolve a mesma variável dicotômica n! P X =x = x! n x! p x 1 p n x p=0,29; n=3; x=2 P X =2 = 3! 2! 3 2! 0, , P X =2 = ! 0, ,29 1

12 Distribuição Binomial Dado que a prevalência de obesidade é 22%, de 15 indivíduos escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de encontrarmos 5 obesos? p=0,29; n=15; x=5 P X =x = n! x! n x! p x 1 p n x P X =5 = 15! 5! 10! 0, ,22 10 P X =5 = ! 5! 10! 0, ,22 10

13 Distribuição Binomial DMOS segue distribuição binomial?

14 Distribuição Binomial Média np Variância np 1 p Desvio-padrão np 1 p P(X=x) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,25 0,20 Distribuição Binomial, para n=15 e p=0,29 0,22 0,20 0,18 0,14 0,10 0,07 0,04 0,03 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, x Distribuição Binomial, para n=15 e p=0,71 0,22 0,20 0,18 P(X=x) 0,15 0,10 0,07 0,14 0,10 0,05 0,00 0,04 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0, Programa de Pós-Graduação em Saúde da Mulher e da Criança Bioestatística x e Computação I

15 Distribuição Binomial 0,25 Distribuição Binomial, para n=15 e p=0,5 0,20 0,20 0,20 0,15 0,15 0,15 P(X=x) 0,10 0,09 0,09 0,05 0,04 0,04 0,00 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, x

16 Distribuição de Poisson Variáveis aleatórias numéricas discretas Número de vezes que um evento raro ocorre num grande número de repetições Dados de Contagem Exemplos Número de chegadas em um pronto-socorro durante a madrugada Número de pessoas com leucemia numa cidade Número de acidentes de carro na ponte Rio-Niterói Número de metamielócitos no sangue de pessoas sadias

17 Distribuição de Poisson P X =x = e x x! X número de ocorrências de um evento num intervalo λ (lambda) número médio de ocorrências do evento no intervalo considerado e constante de Euler = 2,71828

18 Distribuição de Poisson P X =x = e x x! Exemplo. A probabilidade de um indivíduo estar envolvido num acidente nos Estados Unidos por ano é 0, Numa comunidade de pessoas, qual a probabilidade de não haver nenhum acidente em um período de 1 ano? X número de pessoas acidentadas por ano P(X=0) =? λ média de pessoas acidentadas por ano = x 0,00024 = 2,4 P X =0 = e 2,4 2,4 0 =e 2,4 =0,091 0!

19 Distribuição de Poisson Exemplo. A probabilidade de um indivíduo estar envolvido num acidente nos Estados Unidos por ano é 0, Numa comunidade de pessoas, qual a probabilidade de não haver nenhum acidente em um período de 1 ano? Poderíamos ter utilizado a distribuição binomial com p=0,00024 e n=10.000, mas calcular n! seria impraticável. Quando o evento dicotômico é raro e o número de repetições é muito grande a distribuição binomial pode ser bem aproximada pela Poisson.

20 Distribuição de Poisson Exemplo. Um hospital recebe em média 4 chamadas de urgência por dia. Qual a probabilidade de que o hospital receba: a) Oito chamadas X número de chamadas de urgência em um dia λ média do número de chamadas de urgência por dia P(X=8)=? P X =8 = e b) 3 chamadas ou menos P(X 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) 8! = 0, =0,0297 P(X 3) = 0, , , ,195 = 0,433

21 Distribuição de Poisson Exemplo. Um hospital recebe em média 4 chamadas de urgência por dia. Qual a probabilidade de que o hospital receba 10 chamadas ou menos no mesmo dia? Usar as tabelas de probabilidade (Tabela A.2) ou um software de estatística

22 Distribuição de Poisson Média λ Variância λ Desviopadrão P(X=x) 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 Distribuições de Poisson lambda = 1 lambda = 4 lambda = 7 lambda = 10 0,10 0,05 0, x

23 Distribuição Normal Distribuição Gaussiana Variáveis contínuas É frequentemente associada com variáveis biológicas mensuráveis Peso Altura Pressão sanguínea Glicemia Intervalo R-R

24 Distribuição Normal Não é definida para valores específicos e sim para um intervalo de valores. Função densidade de probabilidade f(x) e não mais P(X=x). A probabilidade associada a cada intervalo é representada pela área abaixo da curva de densidade de probabilidade. A probabilidade de observarmos um valor específico é zero.

25 Distribuição Normal f(x) = densidade de probabilidade P(X 1) = área abaixo de f(x), para x 1 0,045 0,040 0,035 0,030 f(x) 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0, x

26 Distribuição Normal f(x) = densidade de probabilidade P(X 1) = área abaixo de f(x), para x 1 0,045 0,040 0,035 0,030 f(x) 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0, x

27 Distribuição Normal f(x) = densidade de probabilidade f x = 1 2 e π (pi) = 3,14159 μ (mu) = média σ (sigma) = desvio-padrão Distribuição normal pode ser denotada por N(μ, σ) 1 2 x N(μ=0, σ=1) = N(0,1) 2 f(x) 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0, x

28 Distribuição Normal Média = 0, variando o desvio-padrão 0,900 0,800 0,700 0,600 N(0,1) N(0,2) N(0,0.5) f(x) 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, x

29 Distribuição Normal Desvio-padrão = 1, variando a média 0,450 0,400 0,350 0,300 N(-1,1) N(0,1) N(2,1) f(x) 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0, x

30 Distribuições de probabilidade contínuas No caso de variáveis contínuas só é possível calcular a probabilidade de X estar contido em algum intervalo de valores. Exemplo. Qual a probabilidade da altura de uma criança atendida no ambulatório assumir o exato valor de 1,00312m? A resposta é zero. A pergunta correta poderia ser: Qual a probabilidade da criança atendida no ambulatório ter entre 1m e 1,10m de altura?

31 Distribuições de probabilidade contínuas A curva que representa a densidade de probabilidade de uma VA contínua X, denotada por f(x), deve satisfazer as condições: Deve ser positiva: f(x) > 0 para todo o x. A área total sob a curva deve ser igual a 1. Uma curva ou função que atenda os critérios acima é conhecida como distribuição de probabilidade função de probabilidade função de densidade de probabilidade (fdp) curva de densidade

32 Distribuições de probabilidade contínuas Existem diversas fdp teóricas usadas frequentemente para modelar estatísticamente variáveis contínuas Uniforme Exponencial Gaussiana ou Normal

33 Distribuições de probabilidade contínuas Para quaisquer números reais a e b, P(a X b) é dada pela área sob a curva de densidade entre os pontos a e b. Utiliza-se tabelas de probabilidades Para o caso da distribuição normal: 0,045 0,040 0,035 0,030 f(x) 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0, x

34 Distribuição Normal Distribuição contínua mais importante Forma de sino Simétrica em torno da média Média = Mediana = Moda = μ Desvio padrão (σ) distância horizontal entre a média e o ponto de inflexão da curva, onde ela muda de convexa para côncava. Área sob a curva = 1

35 Distribuição Normal x

36 Distribuição Normal Qual a probabilidade de: X estar acima de 1σ Abaixo de 1σ Acima de 2σ Abaixo de 2σ Entre 1σ e +1σ Entre 2σ e +2σ

37 Distribuição Normal Padrão Possui média=0 e desvio-padrão=1 N(0,1) Uma VA que segue distribuição normal padrão é denotada por Z Z ~ N(0,1) O cálculo das áreas abaixo da curva gaussiana é complicado. 0, x Tabelas com as áreas abaixo da curva de densidade de probabilidade normal padrão são utilizadas. f(x) 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005

38 Distribuição Normal Padrão Tabela A.3, página 473 Áreas na cauda superior da distribuição normal padrão Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,0 0,500 0,496 0,492 0,488 0,1 0,460 0,456 0,452 0,448 0,2 0,421 0,417 0,413 0,409 1,0 0,159 0,156 0,154 0,152 P(Z 1)= P(Z < 1)= P(- 0,5 < Z 1)= P(Z < 2,85)= 0, x f(x) 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005

39 Distribuição Normal Padrão A maioria das variáveis biológicas não seguem distribuição normal padrão. A glicemia de pessoas adultas pode ser considerada normalmente distribuída com média 100mg/100ml e desvio padrão de 10mg/100ml. Qual a probabilidade de um adulto escolhido ao acaso ser diabético (glicemia 120mg/100ml)? Como calcular a área sob a curva?

40 Padronização de variáveis normais Permite utilizar a tabela de probabilidades da normal padrão para qualquer distribuição normal. X ~ N(μ,σ) X Z ~ N(0,1) Z= X A glicemia de pessoas adultas pode ser considerada normalmente distribuída com média 100mg/100ml e desvio padrão de 10 mg/ 100ml. Qual a probabilidade de um adulto escolhido ao acaso ser diabético (glicemia 120mg/100ml)?

41 Padronização de variáveis normais X ~ N(100,10) μ=100, σ=10 P(X 120) =? Z = X ~N 0,1 Normal Padrão Para X = 120: z= P(X 120) = P(Z 2) = =2 Pela tabela A.3, P(Z 2) = 0,023 P(X 120) = 0,023 = 2,3% f(x) 0,045 Distribuição Normal Padrão 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0,977 0,023 0, x

42 Padronização de variáveis normais A pressão sistólica de indivíduos normais adultos pode ser considerada normalmente distribuída com média 120mmHg e desvio padrão de 10 mmhg. Qual a probabilidade de alguém possuir pressão sistólica acima de 140mmHg? Abaixo de 80mmHg? Entre 100 e 140mmHg? Abaixo de 80mmHg ou acima de 140mmHg? Quais valores de pressão sistólica limitam o intervalo dos 90% mais frequentes? Qual valor de pressão sistólica divide a área sob a curva em 95% inferior 5% superior?

43 Resumindo Discretas Contínuas Variáveis Distribuição Equação Número x de sucessos em n tentativas, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. Número x de ocorrências de um evento raro em determinado intervalo, onde a média de ocorrência é λ por intervalo. Maioria das variáveis biológicas mensuráveis onde se espera uma variabilidade simétrica em torno da média. Outras variáveis contínuas Binomial Poisson Normal, média: μ, desviopadrão: σ Exponencial Uniforme P X =x = n! x! n x! p x 1 p n x P X =x = e x x! P(X a) = área sob a curva da fdp para x a. z= a P(X a) = P(Z z)