Distribuição Gaussiana

Transcrição

1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Distribuição Gaussiana Introdução à Bioestatística Turma Nutrição Aula 7: Distribuição Normal (Gaussiana)

2 Distribuição de frequência dos valores de peso de ao nascer de 100 bebês

3 Distribuição de frequência dos valores de peso de ao nascer de 500 bebês Para amostra com tamanho n = 500

4 Distribuição de frequência dos valores de peso de todos os bebês de toda a população Distribuição de Probabilidade do peso de recém-nascidos

5 Distribuição de Frequências do Peso (gramas) de recém-nascidos densidade = frequência relativa tamanho da classe

6 Densidade 4e-04 6e-04 8e-0 Histograma de Densidade área da barra =densidade x largura da barra área da barra =probabilidade de X estar entre os limites da barra 0e+00 2e Peso ao nascer P[2500 < X < 3500] = soma das áreas das barras entre 2500 e 3500 g.

7 Densidade 4e-04 6e-04 8e-0 Histograma de Densidade àrea da barra =probabilidade de X estar entre os limites da barra 0e+00 2e P[X < 2125] = Peso ao nascer soma das àreas das barras entre 1000 e 2125

8 Muitas vezes, as barras do histograma podem ser aproximadas por uma curva mais suave mais classes

9 Essa curva suave é chamada função de densidade de X, ou f(x) f(x)

10 Como calcular probabilidades usando f(x)? P[a < X < b ] P[a < X < b ] é a área abaixo da curva f(x) entre a e b a b

11 Propriedades de f(x) 1) f(x) 0 2) A área abaixo de toda a curva f(x) é igual a 1. Como X é uma variável aleatória contínua, então P[X=b] = 0 P[X < b] = P[X b]

12 Modelo Probabilístico Normal (ou Gaussiano) Algumas variáveis contínuas exibem um comportamento muito particular quando visualizamos a distribuição de frequências de seus valores. Frequ uência Valores Concentração de valores em torno de um valor central; Simetria em torno do valor central; Frequência pequena de valores muito extremos.

13 O Modelo Probabilístico Gaussiano O matemático alemão Karl Gauss popularizou um modelo proposto para a distribuição de probabilidades de variáveis do tipo descrito anteriormente. A curva descrita por este modelo é A curva descrita por este modelo é conhecida como Curva de Gauss (ou também como Curva Normal)

14 O Modelo Probabilístico Gaussiano 1 x µ 1 f ( x) 2 σ e =, < x < 2πσ 2 A função de densidade de X só depende de dois valores: a média µ e o desvio-padrão σ π e e são constantes conhecidas (π 3,14159 e e )

15 O Modelo Probabilístico Gaussiano A média µ de uma variável aleatória X que siga o modelo Gaussiano pode assumir qualquer valor na reta real O desvio-padrão σ < µ < de qualquer variável aleatória X só pode assumir valores maiores do que zero σ > 0 µ e σ são os parâmetros do Modelo Gaussiano Dizemos que X ~ Normal (µ,σ)

16 O Modelo Probabilístico Gaussiano A curva gaussiana (ou curva Normal) é definida pela média µ e pelo desvio-padrão σ.

17 O parâmetro µ informa onde está centrada a curva gaussiana

18 A forma do sino (mais achatado ou mais alongado ) é dada pelo valor do desvio-padrão σ

19 Para cada combinação de µ e σ, existe uma curva gaussiana diferente

20 A curva gaussiana tem a forma de um sino e é simétrica em torno da média µ; a a a a P(X < 3000-a ) = P(X > 3000+a ) Simetria

21 Propriedades da Distribuição Normal Área fixa entre intervalos simétricos

22 Cálculo de Probabilidade na Curva Normal Considere uma variável aleatória X com distribuição Normal (µ,σ). Ou seja, X ~ Normal(µ,σ) Probabilidade de X estar entre x 1 e x 2 : P( x 1 < X < x 2 ) P( x 1 < X < x 2 ) Área sob a curva Normal entre x 1 e x 2.

23 Cálculo de Probabilidade na Curva Normal curvas Normais diferentes áreas diferentes P( x 1 < X < x 2 )

24 Exemplo: Suponha que X é o peso de bebês ao nascer e que, em certa população, X tem distribuição de probabilidade que pode ser aproximada pela Normal com µ = 3000g e σ = 1000g.

25 Qual é a porcentagem de bebês que nascem com peso abaixo de 1500g?

26 Se existisse uma tabela da N(3000,1000) com as probabilidades abaixo de muitos valores, tipo: x P(X < x) o problema estaria resolvido.

27 A Distribuição Normal Padrão As probabilidades na curva Normal são calculadas com o auxílio de uma tabela. Como existem infinitas combinações dos valores para µ e σ, seria inviável tabelar as probabilidades de todas as distribuições Normais possíveis. Uma única variável Normal possui suas probabilidades tabeladas: a variável Z com média igual a 0 e desviopadrão igual a 1. Z ~ Normal (µ=0 ; σ=1)

28 Variável Normal Padrão a variável aleatória Z Z ~ N(0,1) tem distribuição de probabilidade Normal com média=0 e d.p.=1 P( Z < z )

29 Exemplo: Seja Z uma v.a. normal padronizada. Calcule: P( Z < -1.97) =? P( Z > 1.84) =? P( Z < ) = , obtida direto da tabela. P( Z >1.84) = P( Z < -1.84) = , obtida direto da tabela e por simetria.

30 P( < Z < 0.86 ) = P( Z < 0.86 ) - P( Z < ) = = = -

31 Cálculo de percentis na curva Normal Percentil de ordem 2.5 Que valor de Z na tabela Normal Padrão deixa uma área de abaixo dele? Ou seja, quem é a tal que P[Z < a ]=0.0250? a é o percentil 2.5 da curva Normal Padrão a=-1.96

32 Cálculo de percentis na curva Normal Percentil de ordem 97.5 Que valor de Z na tabela Normal Padrão deixa uma área de abaixo dele? Ou seja, quem é b tal que P[Z < b ]=0.9750? b é o percentil 97.5 da curva Normal Padrão b é o simétrico de a em relação à média da curva Normal b=1.96

33 Cálculo de percentis na curva Normal Percentil de ordem 95 P[Z < b ]= b é o percentil 95 da curva Normal Padrão b=1.645 Na tabela Z: z = 1.65 área abaixo = z = 1.64 área abaixo = Escolher o valor mais próximo da probabilidade desejada.

34 Cálculo de percentis na curva Normal Percentil de ordem 1 P[Z < b ]= b é o percentil 1 da curva Normal Padrão P[-b < Z < b ]= P[Z< -b ] = b =? -b=2.33 b=2.33 Na tabela Z: z = área abaixo = z = área abaixo = Usar o valor de z que forneça a área mais próxima do desejada (-2.33)

35 Como usar a tabela Normal Padrão para calcular probabilidades em uma curva Normal qualquer? Distribuição de Z ~ Normal (0,1) Distribuição de X ~ Normal (µ=10 ; σ=2)

36 Padronização de uma variável aleatória Normal Podemos transformar uma variável aleatória X ~ Normal ( µ, σ ) em uma variável aleatória Z ~ Normal ( 0, 1) usando a expressão: Z = X σ µ

37 X ~ Normal(µ,σ) Z ~ Normal(0,1) z 1 = x µ σ 1 z 2 = x 2 µ σ

38 Calculando probabilidades de X~N(µ=10; σ=2) na tabela Z P[ X < 9] = P X < 2 2 = P[ Z < 0.5] = X P[ X > 13] = P[ > ] = P[ Z > 1.5] 2 2 = P[ Z < 1.5] =

39 Exemplo 1: Se X tem distribuição Normal com µ = 40 e σ = 6, encontre o valor de x tal que P[X < x] =0.45. Se P[X < x] =0.45. então P( Z < (x-40)/6 ) = Mas P( Z < ) = 0.45 (da tabela); Logo (x-40)/6 = x = 40 + (-0.13)6 = = Ou seja, é o percentil 45 da distribuição de X.

40 Exemplo 2: Se X tem distribuição Normal com µ = 40 e σ = 6, encontre o valor de x tal que P[X > x] =0.14. Se P[X < x] = 0.86 então P( Z < (x-40)/6 ) = Mas P( Z < 1.08) = 0.86 (da tabela); Logo (x-40)/6 = 1.08 x = 40 + (1.08)6 = Ou seja, é o percentil 86 da distribuição de X.

41 Exemplo Inicial: Suponha que X é o peso de bebês ao nascer e que, em certa população, X tem distribuição que pode ser aproximada pela Normal com µ = 3000g e σ = 1000g.

42 Qual é a porcentagem de bebês que nascem com peso abaixo de 1500g? 6.68% dos bebês têm peso inferior a 1500g.

43 Qual é a porcentagem de bebês que nascem com peso acima de 4000g? P[ X > 4000] = P Z > 1000 [ ] P[ Z ] = P Z > 1.0 = < 1.0 =

44 Qual é a porcentagem de bebês que nascem com peso entre 2500 e 3500g? 38.30% dos bebês P[2500 < X < 3500] = P[ X < 3500] P[ X < 2500] = P Z < P Z < = P Z < 0.5 P Z < 0.5 [ ] [ ] = =

45 Qual valor de peso dos bebês separa os 10% mais leves? 0.10 x 3000 z 0 X Z Achar x tal que P(X < x) = Na tabela Z, tem-se P(Z < -1.28) = z = (x 3000)/1000 = x = (1000) = Assim, 1720 gramas é o percentil de ordem 10 dos pesos.

46 Qual valor de peso dos bebês separa os 10% mais pesados? x 0 z X Z Achar x tal que P(X > x) = 0.10 P(X < x) = Na tabela Z, tem-se P(Z < 1.28) z = (x 3000)/1000 = 1.28 x = (1000) = Assim, 4280 gramas é o percentil de ordem 90 dos pesos.

47 Construa uma Faixa de Referência de 90% para o peso dos bebês. Queremos um intervalo de valores [ x 1 ; x 2 ] (simétrico em torno da média 3000) tal que 90% dos bebês tenham peso dentro deste intervalo.

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