Métodos Quantitativos em Medicina

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1 Métodos Quantitativos em Medicina Comparação de Duas Médias Terceira Aula 009

2 Teste de Hipóteses - Estatística do teste A estatística do teste de hipótese depende da distribuição da variável na população e das informações disponíveis. Sim Dist. Normal (População) Não Sim Amostra Grande Não Sim σ conhecido? Não Testes nãoparamétricos Teste z Teste t

3 Inferência quando σ é desconhecido Na maioria das situações reais, σ é desconhecido. Neste caso, podemos substituir σ pelo desvio-padrão amostral, S. Estaremos introduzindo mais um erro no processo de inferência, o erro de estimação de σ. Este novo intervalo será mais largo do que o considerado com a estatística z; Surge uma nova distribuição t

4 Distribuição t de Student William Gosset ( ) O parâmetro usado para descrever a distribuição t é o número de graus de liberdade, gl, (d.f. degrees of freedom), que é o tamanho da amostra (n) menos 1. gl = n 1

5 f x = Distribuição t de Student Γ υ 1 Γ υ πυ 1 1 υ u υ 1 Γ x = e u u x 1 du 0 Função Gama Graus de liberdade

6 Distribuição t de Student Curva de densidade de Probabilidade Normal T1gl T5gl T30gl Simétrica em relação à média; Depende do grau de liberdade, gl; Quanto mais gl aumenta, mais a distribuição t tende à Normal padrão

7

8

9

10 Densidade 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 Hipo_Na Normo_Na Hiper_Na Média DP N 131,5 3, ,7, , 6, ,04 0,0 0,00 10,0 17,5 135,0 14,5 150,0 Natremia (meq/ L) 157,5 165,0

11 Graus de Liberdade 0,07 Hiponatremia Hipernatremia 0,05 Hiponatremia Hipernatremia 0,06 0,05 Média DP N 15,9 6, , ,04 Média DP N 14,5 9, ,5 1,71 4 Densidade 0,04 0,03 Densidade 0,03 0,0 0,0 0,01 0,01 0, Natremia (meq/ L) , Natremia (meq/ L) Quanto menor a amostra, maior o desvio padrão e o erro padrão da média, e também menos graus de liberdade: consequentemente maior interpenetração das curvas de distribuição e mais difícil de mostrar a diferença entre grupos.

12 Teste de Hipótese para uma Amostra σ conhecido z X = σ µ n Teste z σ desconhecido t X µ = S n Teste t Precisamos de uma tabela t!

13 0,00 t ,150 t ,100 t ,050 t ,05 t ,00 t ,015 t ,010 t0.990 Tabela t 0,005 d.f.1 1, ,9661 3, , , , , , , , ,3861 1,8856, ,3066 4, ,6480 6, , , ,4978 1,63775, ,1845 3, , , , , , ,5331,13185,77645, ,9763 3, , , , ,47588,01505,57058, ,0088 3, , , , , ,94318,44691,614,8893 3,1467 3, , , ,4149 1,89458,3646,51675,71457, , , , ,3968 1,85955,30601,44899,63381, , , ,0997 1, ,83311,616,39844,57381,8143 3, , , ,3718 1,8146,814,35931,5749, , , , , ,79588,0099,3814,49067, , ,8761 1,0831 1,356 1,789,17881,307,46070, , , , , ,77093,16037,8160,43585, , , ,0768 1, ,76131,14479,6378,41490,6449, ,8664 1, , ,75305,13145,4854,39701,6048, , , , ,74588,11990,3536,38155,58349, ,8638 1, , ,73961,1098,384,36805,56694, ,8605 1, , ,73406,1009,1370,35618,5538, , , ,3773 1,7913,0930,0470,34565,53948, , ,0640 1,3534 1,747,08596,19666,3365,5798, , ,0667 1,3319 1,7074,07961,18943,3779,51765, ,8587 1, ,314 1,71714,07388,1889,3016,5083,81876 Infinitos graus de liberdade (df) Tabela z t , , , ,71387,06865,17696,3133,49987,8 4 0, ,0593 1, ,71088,06390,17155,3069,4916,7 5 0,8564 1, , ,70814,05954,16659,30113,48510,7 6 0, ,0575 1, ,7056,05553,1603,9581,47863,7 7 0, , , ,7039,05183,1578,909,4766,7 8 0, , ,3153 1,70113,04841,15394,8638,46714,7 9 0, , , ,69913,0453,15033,818,460,7 30 0, , ,3104 1,6976,047,14697,787,4576,7 35 0,8501 1,050 1,3061 1,68957,03011,13316,619,4377,7 40 0, , , ,68385,0107,191,507,436,7 45 0, ,0485 1, ,67943,01410,11500,4109,411,6 50 0, ,0479 1,9871 1,67591,00856,1087,3378,4037,6 60 0, , ,958 1,67065,00030,09936,9,3901,6 70 0, , ,9376 1,6669 1,99444,0973,153,38080,6 80 0, , ,9 1, ,99007,08778,0949,37387,6 90 0, ,0444 1,9103 1, ,98667,08394,0504,36850, ,8453 1, ,9008 1,6603 1,98397,08088,0150,3641, , , ,8930 1,6588 1,98177,07839,19860,3607,6 10 0, , ,8865 1, ,97993,07631,1960,35783, ,8440 1,0409 1,8763 1, ,97706,07306,1944,3538, , , ,8686 1, ,97490,07063,1896,34988, ,8436 1, ,867 1, ,9733,06874,18743,3474,6 00 0,8434 1, ,8580 1,6551 1,97189,0673,18569,34513,6 0, , ,840 1, ,9634,05643,17319,33008,5 0,00 t ,150 t ,100 t ,050 t ,05 t ,00 t ,015 t ,010 t t

14 Teste de Hipóteses para Duas Amostras σ A e σ B desconhecidos É possível comparar duas médias amostrais, quando os desvios-padrão das populações são desconhecidos, através da estatística t abaixo: t = X A EPM Assim como no caso do teste z, o EPM D pode ser calculado de maneiras diferentes, dependendo se as variâncias nas populações A e B são iguais ou não. X D B

15 Erro Padrão das Diferenças entre Médias σ, σ A B (desconhecidos) σ σ A A σ = σ B B EPM D = S a EPM D= S o n a S b n b 1 1 n a n b Variância conjugada Para decidir se as variâncias são iguais ou diferentes, um outro teste estatístico, que será apresentado adiante, é necessário (Teste F).

16 Erro Padrão das Diferenças entre Médias A variância conjugada representa a média ponderada das variâncias amostrais dos dois grupos, dada por: S 0 = ( 1) + ( 1) ( n 1) + ( n 1) n S n S A A B B A B Se n A = n B : S 0 = S + S A B Note que, se os tamanhos dos grupos são iguais, a expressão para calcular o EPM D para variâncias iguais é idêntica à usada, quando as variâncias são diferentes!

17 Teste t-student para Duas Amostras Situação 1: Em um ensaio clínico, comparou-se dois anorexígenos e as perdas de peso foram registradas. Desejase testar se a diferença observada nas duas amostras é estatisticamente significante, assumindo-se α de 1%. Grupo A Grupo B Paciente Perda (kg) Paciente Perda (kg) 1 0,9 7 3,8 1,3 8 4,9 3 1,5 9 5,9 4,4 10 6,6 5,9 11 6,7 6 3,0 1 7,1 13 7,0 Não há informações sobre a população Teste t-student.

18 0,6 0,5 Perda_A Perda_B Média DP N 0, ,4 Densidade 0,3 0, 0,1 0, Perda de Peso ( kg ) 6 7

19 0,5 0,4 Perda_A Perda_B Média DP N 0, ,33 7 Densidade 0,3 0, 0,1 0, Perda de Peso ( kg ) 8

20 Teste t-student para Duas Amostras Média Variância n Grupo A Grupo B H o : X 1 = X H A : X 1 X As variâncias são estatisticamente similares? H 0 : S a = S b Teste para comparar as Variâncias de Perda_ A e Perda_ B Perda_A Perda_B 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 Desvio-padrão para cada grupo com Intervalo de Confiança de 95% Perda_A Perda_B Perda de Peso (kg) 5 6 7

21 Teste t-student para Duas Amostras As variâncias são iguais! t= X a X b EPM D onde EPM D= S o 1 1 n a n b S o = n a 1 S a n b 1 S b = 5 0, ,5 =1,185 n b 1 n b 1 5 6

22 Teste t-student para Duas Amostras EPM D= S o 1 n a 1 n b = 1, =0,606 6 t = = 6,603 0,606 gl = n + n = = 11 A B Regra de Decisão Se t c < t < t c Aceita-se H 0 Procurar o valor de t crítico, t c, para gl igual a 11 e α de 0,005 (bicaudal). Tabela t Caso contrário, Rejeita-se H 0.

23 0,4 T; df=11 0,3 Density 0, 0,1 0,0 0,005-3,11 0 X 3,11 0,005

24 grau de liberdade tc Distribuição t de Student Tabela t 0,005 = 3,106 Área da cauda superior 0,10 0,05 0,05 0,010 0, ,078 6,314 1,706 31,81 63,656 1,886,90 4,303 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4, ,476,015,571 3,365 4,03 6 1,440 1,943,447 3,143 3, ,415 1,895,365,998 3, ,397 1,860,306,896 3, ,383 1,833,6,81 3, ,37 1,81,8,764 3, ,363 1,796,01,718 3, ,356 1,78,179,681 3, ,350 1,771,160,650 3, ,345 1,761,145,64,977 α = 0,005 n A +n B - = 11 gl = 11 t = 6,603 Como t > t c, rejeita-se H 0 e aceita-se que as diferenças são reais.

25 Boxplot de Perda_ A e Perda_ B 7 6 Perda de Peso ( kg ) Perda_A Perda_B

26 Teste t-student para Duas Amostras Situação : Um estudo compara as alturas de crianças de 4 anos de duas populações diferentes. Deseja-se testar se as alturas médias observadas nas duas amostras são estatisticamente diferentes, assumindo-se α de 5%. Os resultados obtidos estão resumidos na tabela abaixo: Média Variância n Grupo A Grupo B Como n A = n B a expressão para o cálculo de EPM D independe da relação entre as variâncias populacionais. EPM D = S a S b = 4 5 n a n b 10 =1,7 t= ,7 =1,76

27 α = tc 0,05 n A +n B - = 18 gl = 18 t = 1,76 Como t < t c, aceita-se H 0 e conclui-se que as alturas são iguais. Distribuição t de Student Tabela t 0,05 =,101 grau de Área da cauda superior liberdade 0,10 0,05 0,05 0,010 0, ,078 6,314 1,706 31,81 63,656 1,886,90 4,303 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4, ,476,015,571 3,365 4,03 6 1,440 1,943,447 3,143 3, ,415 1,895,365,998 3, ,397 1,860,306,896 3, ,383 1,833,6,81 3, ,37 1,81,8,764 3, ,363 1,796,01,718 3, ,356 1,78,179,681 3, ,350 1,771,160,650 3, ,345 1,761,145,64, ,341 1,753,131,60, ,337 1,746,10,583, ,333 1,740,110,567, ,330 1,734,101,55,878

28 Teste de Hipótese Estatística F

29 Comparando Variâncias Teste F Sir Ronald A. Fisher ( ) Mesma idéia dos testes para médias, teste z e t, porém usa-se a razão das variâncias, e não a sua diferença, como no caso dos testes para médias. Estatística F: F = S S A B

30 Comparando Variâncias Teste F Se supomos que os dados têm Distribuição Normal, então é possível comparar as variâncias de duas populações através da estatística F dada abaixo, cujos valores descritivos dependem de dois graus de liberdade: F = S S A B onde: S A S B = variância da amostra A = variância da amostra B S A S B F 1 gl 1 = n A 1 (numerador) gl = n B 1 (denominador)

31 Teste de Hipótese para Variâncias Pode-se recorrer a um teste bicaudal ou monocaudal. Em geral, estamos interessados em testar a diferença. H o : A = B e H A : A B A distribuição F não é simétrica e, portanto, não possui a área da cauda superior, F S, igual a área da cauda inferior, F I. Neste caso, a regra de decisão é: Se F > F Sc ou F < F Ic, para gl 1 e gl, então rejeita-se H 0. Caso contrário, aceita-se H 0. Na prática colocamos no numerador a variância de maior valor e concentramos a decisão na cauda superior.

32 Tabela F v 1 graus de liberdade do numerador v graus de liberdade do denominador

33 Teste de Hipótese para Variâncias Situação 3: Deseja-se comparar a variância da creatinina de dois grupos de pacientes. Particularmente, testar se eles são estatisticamente diferentes, assumindo-se α de 5%. As variâncias observadas são apresentadas na tabela abaixo: gl gl Variância n A B Grupo A Grupo B 0, = 6 1 = 5 (denominador) = 7 1 = 6 (numerador) 1,50 F = = 1,939 0,784 Tabela F F Sc(6,7) = 4,95. Como F < F Sc, não rejeitamos H 0. As variâncias são consideradas iguais.

34 Teste t-student para Duas Amostras Situação 4: Em um estudo, avaliou-se a eficácia de dois hipnóticos, comparando as horas de sono frente às duas terapias. Deseja-se testar se as médias observadas nas duas amostras são estatisticamente diferentes, assumindo-se α de 5%. Os resultados obtidos estão resumidos na tabela abaixo: Média Variância n Droga A Droga B 9,35 8,85 0,89 0, Verificando se as variâncias são diferentes - H 0 : σ A = σ B. 0,89 F = = 1,14 0,78 gl gl A B = 8 1 = 7 (numerador) = 10 1 = 9 (denominador) Tabela F F Sc(7,9) = 3,9. Como F < F Sc, não rejeitamos a H 0. As variâncias são consideradas iguais.

35 Teste t-student para Duas Amostras Calculamos o valor de EPM D para variâncias iguais: X onde EPM D= S 1 o 1 t= a X b EPM D n a n b S o = n 1 S a a n b 1 S b = 7 0,89 9 0,78 =0,88 n b 1 n b EPM D= S o 1 1 n a n = 0,88 1 b =0,43 t= 9,35 8,85 =1,157 0,43 gl=n a n b =16 Tabela t t c,5% =,1. Como t < t c,5%, não rejeitamos a H 0.

36 Teste de Hipótese Para Dados Pareados

37 Teste t para Dados Pareados Dados pareados são aqueles registrados em pares (o indivíduo é controle de si mesmo). A mesma variável é medida em dois tempos distintos ( antes-e-depois ) ou em topografias diferentes no mesmo indivíduo. Exemplo 1: Um estudo compara o efeito de uma pomada oftálmica com o de simplesmente higienizar o olho. Um grupo de pacientes usa, durante um período, a pomada no olho direito, enquanto o olho esquerdo recebe apenas o anti-séptico. Exemplo : Deseja-se verificar o desempenho de um tratamento. Um grupo de pacientes é examinado antes do início do tratamento. Após a conclusão do mesmo, são novamente examinados.

38 Estatística do Teste t Pareado Como as observações estão relacionadas, construímos o teste sobre as diferenças observadas em cada par. Seja D i a diferença (no mesmo indivíduo) entre as observações registradas, para n pares. A média das diferenças de todos os indivíduos chamamos D, e o desvio-padrão das diferenças de S D. H O : D =0 H A : D 0 D t = e gl = n 1 EPM D D onde é a média populacional, sobre a qual desejamos inferir. Tabela t-student

39 Teste t Pareado Situação 5: Um hipnótico foi aplicado em um grupo de pacientes que tinham se submetido anteriormente a um tratamento padrão. Foi observado o número de horas de sono de cada paciente nos dois momentos. Deseja-se testar se a diferença média observada é não nula, considerando-se um nível de significância de 5%. Paciente Droga Trat. Padrão Di MÉDIA H O : D =0 e D=0,433, S D =0,7 EPM D = 0,7 9 =0,09 H A : D 0 t= 0,433 =4,81 e gl=8 0,09 t c,5% =,30 Rejeita H O

40 Frequência das Diferenças 3,0,5,0 Frequência 1,5 1,0 0,5 0,0 _ X -0,5 Ho 0,0 0, 0,4 Diferenças 0,6 0,8

41 Boxplot das Diferenças _ X Ho 0,0 0, 0,4 Diferenças 0,6 0,8