1 Probabilidade - Modelos Probabilísticos

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1 1 Probabilidade - Modelos Probabilísticos Modelos probabilísticos devem, de alguma forma, 1. identificar o conjunto de resultados possíveis do fenômeno aleatório, que costumamos chamar de espaço amostral, em geral denotado por S e 2. designar chances (probabilidades) aos resultados ou conjuntos de resultados possíveis. Chamamos evento a qualquer subconjunto do espaço amostral (S). Os eventos são geralmente denotados por letras maiúsculas A, B, etc. Em particular chamamos o conjunto vazio ( ) de evento impossível, pois ele nunca ocorrerá e, o espaço amostral (S), de evento certo, pois sempre ocorrerá um dos resultados possíveis. Para o evento impossível designamos uma probabilidade nula e para o evento certo designamos uma probabilidade igual a 1 (ou 100%). 1.1 Definição Axiomática da Probabilidade Independentemente da interpretação de probabilidade adotada, a probabilidade é uma função P (.) que mede chances de eventos. A função probabilidade está definida na coleção de eventos e assume valores entre 0 e 1, satisfazendo os seguintes axiomas: A1 : P (A) 0 para todo evento A na coleção de eventos. A probabilidade de um evento qualquer é sempre um número não-negativo. A2 : P (S) = 1. A probabilidade do evento certo é igual a 1. A3 : Se A B =, então P (A B) = P (A) + P (B). Se os eventos A e B são disjuntos, então a probabilidade da união dos dois (de pelo menos um deles ocorrer) é a soma de suas probabilidades. 1.2 Probabilidade Condicional: Definição A probabilidade condicional de ocorrer um evento A, dado que sabemos que ocorreu um evento B, P (B) > 0 é definida por P (A B) P (A B) =. P (B) Eventos independentes Dizemos que os eventos A e B são independentes, se a ocorrência de um deles, por exemplo de B, não interfere no nosso conhecimento sobre a incerteza do outro A. A e B são eventos independentes se P (A B) = P (A). Nesse caso, observe que vale a seguinte propriedade para A e B eventos independentes. P (A B) = P (A) P (B), 1

2 1.3 Variáveis Aleatórias De modo bastante informal, uma variável aleatória é uma característica numérica do resultado de um experimento. Variáveis aleatórias contínuas: de modo informal as variáveis aleatórias são contínuas quando resultam de algum tipo de medição tal que seu campo de definição é um intervalo limitado da reta, uma semi-reta ou a reta. Por exemplo: o tempo de vida de uma lâmpada, a altura de uma pessoa, o peso de uma pessoa, o tempo de cura após iniciar um tratamento, etc. O modelo probabilístico usual para descrever o comportamento de variáveis aleatórias contínuas é a função de densidade de probabilidade ou simplesmente densidade de probabilidade. A função de distribuição F (x) = P (X x) também pode ser usada para descrever o comportamento de uma variável aleatória contínua. Uma densidade de probabilidade é uma função real, não-negativa e tal que a área delimitada sob o gráfico da densidade é igual a 1. Se X é uma variável aleatória contínua com densidade f(x), então a probabilidade de X cair num intervalo entre a e b será dada pela área delimitada pela densidade f(x) entre a e b como mostra a figura seguir. Se X é uma variável aleatória com densidade f(x) também é possível calcular o valor esperado (média) de X e sua respectiva variância. O valor esperado representa um centro de massa em relação à medida de probabilidade e a variância representa a dispersão dos valores no campo de definição em relação à média. 2

3 1.4 O modelo Normal (Gaussiano, Forma de Sino) O modelo normal é caracterizado por dois parâmetros: seu valor esperado (ou sua média), denotada pela letra grega µ e a sua variância, denotada por σ 2 ou, equivalentemente pelo seu desvio-padrão σ. Notação X N(µ, σ 2 ) para dizer que a variável aleatória X tem distribuição normal com média µ e variância σ Distribuição Normal Padrão Quando µ = 0 e σ 2 = 1 a distribuição é chamada normal padrão ou normal reduzida. Z N(0, 1) Usaremos a letra Z para denotar uma variável aleatória normal com distribuição normal padrão. Outra notação a ser adotada é φ(z) = P (Z z), para a função de distribuição da normal padrão. Como calcular probabilidades no modelo normal? Caso 1: Z N(0, 1), ou seja, se a distribuição considerada é uma normal padrão. Nesse caso usamos tabelas disponíveis da distribuição normal padrão para calcular probabilidades. Leia sempre o cabeçalho da tabela antes de usá-la. Lembre que a curva normal padrão é simétrica em torno de z = 0 e que a área sob a curva é 1. Caso 2: X N(µ, σ 2 ) Se X N(µ, σ 2 ), então Z = 2 Inferência Estatística 2.1 Conceitos Importantes Trasnformação de Padronização X µ N(0, 1) }{{ σ } transf. de padronização População: é o conjunto de todos os elementos sob investigação com pelo menos uma característica em comum. Amostra: é qualquer subconjunto não-vazio da população. Parâmetro: Característica numérica da população. Estatística: Característica numérica da amostra. 3

4 Amostra Aleatória Simples(AAS) Uma amostra aleatória simples ocorre quando atribuímos probabilidades de seleção na amostra iguais para todos os elementos da população. Distribuição Amostral Suponha o problema de estimar um parâmetro θ de certa população e que para isso dispomos de uma amostra de tamanho n dessa população: x 1, x 2,..., x n. Suponha também que usaremos uma estatística T função da amostra para estimar θ. T pode ser a soma ( T = t(x 1, x 2,..., x n ) n x i ), a média ( x), a mediana, a amplitude, o desvio padrão amostral, e sua escolha dependerá i=1 do parâmetro que queremos estimar. Para poder avaliar a qualidade de T como estimador de θ é fundamental conhecer o modelo probabilísitco que explica a variabilidadde de seus valores, ou seja, a distribuição amostral de T. 2.2 Aplicações do Teorema Central do Limite (TCL) Sejam X uma população com média µ e variância σ 2 ; X 1, X 2,..., X n uma amostra aleatória de tamanho n da população; n X = 1 n X i a média amostral. i=1 Então, o valor esperado, ou simplesmente a média, da distribuição de X é dado por E[ X] = µ e, a variância, por Var( X) = σ2 n. O erro-padrão (desvio padrão) de X: σ X = σ n Se a população for normal, para qualquer tamanho de amostra. Se a população não for normal, para n 30, X µ σ/ n X µ σ/ n N(0, 1), a N(0, 1). Para amostras grandes n 30, se σ 2 é desconhecido, usamos uma estimativa dada por s e aplicamos o TCL. X µ S/ n a N (0, 1). com S estimador de σ. Para amostras moderadas de uma população normal com média µ e desvio padrão σ desconhecidos. Se X 1, X 2,..., X n uma amostra da distribuição N(µ, σ 2 ). Então, tem uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. T = X µ S/ n 4

5 2.3 A distribuição t A distribuição t, como a normal padrão, também tem densidade simétrica em torno de zero, porém apresenta caudas mais pesadas do que a normal padrão. O único parâmetro que a define (ν) caracteriza a sua forma e é chamado número de graus de liberdade. Quanto maior for o valor do parâmetro ν, a distribuição t (ν) se aproximará da distribuição normal padrão. A distribuição t é caracterizada por um parâmetro ν, chamado número de graus de liberdade. 2.4 Intervalos de Confiança Notação: IC(µ, 0.95) : X ± 1, 96σ X com σ X = σ n. Resumindo: Se pudessemos construir uma quantidade grande de intervalos da forma X ± 1, 96σ X, todos baseados em amostras aleatórias de tamanho n da população, 95% deles conteriam o parâmetro µ. Podemos usar um nível de confiança qualquer. 1,96 é o quantil da distribuição normal padrão tal que P ( 1, 96 < Z < 1, 96) = 0, 95. Notação: seja z (γ) tal que P ( z (γ) < Z < z (γ) ) = γ, 0 < γ < 1. Observe que com essa notação z (0.95) = 1, 96. E também que um intervalo de nível de confiança γ para µ é dado por X ± z (γ) σ X. Intervalos de Confiança com nível de confiança γ para a média populacional 1. Amostras da distribuição normal ou amostras suficientemente grandes n 30 IC(µ, γ) : σ }{{} X ±z (γ) n média amostral }{{} erro padrão Observação: se o valor de σ não for conhecido substitua-o na expressão acima por uma estimativa. 2. Amostras da distribuição normal, σ desconhecido, n < 30 IC(µ, γ) : s }{{} X ±t (γ,n 1) n média amostral }{{} erro padrão de X Em (2) a notação t (γ,n 1) é similar à notação usada na distribuição normal, conforme a figura a seguir. A diferença é que agora usamos uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. Intervalos de Confiança para a proporção populacional Alternativa conservadora: Outra alternativa: IC(p, γ) : ˆp ± z (γ) 1 4n IC(p, γ) : ˆp ± z (γ) ˆp(1 ˆp) n 5

6 3 Testes de Hipóteses Em estatística, uma hipótese é uma afirmativa sobre um parâmetro, ou seja, sobre uma característica da população. Um teste de hipótese é um procedimento para testar uma hipótese baseado numa amostra da população. 3.1 Fundamentos do Teste de Hipótese 1. Hipóteses Nula (H 0 ) e Alternativa (H 1 ) A hipótese nula, denotada por H 0, é uma afirmativa sobre um parâmetro. A hipótese alternativa, denotada por H 1, é uma afirmativa complementar à hipótese nula tal que não exista interseção entre as duas hipóteses. Temos que decidir por uma das duas hipóteses baseando-nos numa amostra da população. Logo, estamos sujeitos a dois erros diferentes. Decisão H 0 é verdadeira H 0 não é verdadeira Rejeitar H 0 Erro tipo I sem erro Não rejeitar H 0 sem erro Erro tipo II 2. Estatística de Teste: é uma função que produz um valor real com base nos dados amostrais. Uma regra de decisão consiste em especificar um conjunto de valores da estatística de teste para os quais rejeitaremos a hipótese nula (H 0 ). Chamamos esse conjunto de valores, para os quais rejeitaremos H 0, de Região Crítica (RC) do teste. A escolha da estatística de teste dependerá das hipóteses que serão testadas. 4. Nível de Significância (α) do teste: é a probabilidade de se cometer o erro tipo I, ou seja, é a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira. No procedimento clássico de testes de hipóteses, fixa-se o valor do nível de significância, geralmente em 1%, 5% ou 10%, e, usando a distribuição amostral da estatística de teste, é possível determinar a Região Crítica (RC) do teste. Esse procedimento baseia-se na suposição de que o erro tipo I é o mais grave. 5. Erro tipo II: usamos a letra grega β para representar a probabilidade de cometer o erro tipo II: não rejeitar uma hipótese nula falsa. Para fins práticos, a hipótese nula a ser fixada aqui será sempre uma hipótese simples, isto é, admitirá um único valor para o parâmetro. Desse modo, calcular a probabilidade de se cometer o erro I, é trivial, pois se H 0 é verdadeira, o valor do parâmetro está determinado. 6. Testes Bilaterais e Unilaterais: estão associados à forma da hipótese alternativa e, consequentemente, da região crítica. Suponha um teste sobre a média populacional e que a média amostral é usada como estatística de teste. Suponha também que H 0 : µ = µ 0. Se a hipótese alternativa é do tipo µ µ 0, rejeitaremos H 0 para valores da média amostral significativamente afastados de µ 0, à esquerda ou à direita de µ 0. Nesse caso, temos um teste bicaudal/bilateral. Se a hipótese alternativa é do tipo µ > µ 0, rejeitaremos H 0 para valores da média amostral significativamente afastados de µ 0, à direita de µ 0. Nesse caso, temos um teste unicaudal/unilateral. Se a hipótese alternativa é do tipo µ < µ 0, rejeitaremos H 0 para valores da média amostral significativamente afastados de µ 0, à esquerda de µ 0. Nesse caso, temos um teste unicaudal/unilateral. 7. Procedimento Clássico de Testes de Hipóteses: Passo 1: Fixe a hpótese nula a ser testada e qual é a forma da hipótese alternativa. Passo 2: Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística será usada no teste. Obtenha a distribuição amostral da estatística de teste. 6

7 Passo 3: Fixe o nível de significância α do teste, isto é, a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira e determine a região crítica do teste. Passo 4: Use a amostra para calcular o valor amostral da estatística de teste. Passo 5: Se o valor amostral cair na região crítica, rejeite H 0, caso contrário, não rejeite H Valor-P ou p-valor ou Nível Descritivo ou Probabilidade de Significância De maneira informal, o p-valor caracteriza o grau de adesão dos dados amostrais à hipótese nula. É calculado usando-se uma probabilidade condicional, supondo que H 0 é verdadeira. Portanto, o p-valor está entre 0 e 1. Na prática, rejeitaremos H 0 para p-valores muito pequenos. Se o valor amostral da estatística de teste estiver muito na cauda da distribuição da estatística de teste sob a suposição de que H 0 é verdadeira, concluiremos que os dados não estão trazendo evidência a favor de H 0. Caso contrário, não teremos evidência contra H 0. O cálculo do p-valor dependerá se o teste é uni ou bilateral. O p-valor corresponde ao maior nível de significância para o qual aceitaremos H 0. Para qualquer nível de significância α p-valor, aceitamos H Testes sobre proporções populacionais (p) Hipótese nula H 0 : p = p 0, p 0 é uma proporção fixada. Nível de significância α (probabilidade de cometer o erro I). Em geral é fixado em 1%, 5% ou 10%. Estatística de teste: Z 0 = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) em que ˆp é a proporção amostral e n é o tamanho da amostra observada. A seguir, três formas possíveis para a hipótese alternativa e as respectivas regiões críticas em função do nível de significância são apresentadas. Lembre que a região crítica do teste é o conjunto de valores amostrais da estatística de teste para os quais rejeitaremos H 0. H 1 n Região Crítica, p p 0 Z 0 > z (1 α) p > p 0 Z 0 > z (1 2α) p < p 0 Z 0 < z (1 2α) 3.3 Teste sobre a média (µ) da população, quando o desvio-padrão populacional (σ) é conhecido H 0 : µ = µ 0, dispõe-se de amostras suficientemente grandes (n 30) e usamos uma estimativa s de σ. Estatística de teste: Z 0 = X µ 0 σ/ n Nível de significância: α H 1 região crítica µ µ 0 Z 0 > z (1 α) µ > µ 0 Z 0 > z (1 2α) µ < µ 0 Z 0 < z (1 2α) 7

8 3.4 Teste sobre a média, σ, o desvio padrão da população é desconhecido, a população é normal e a amostra tem menos de 30 observações Seja X 1, X 2,..., X n é uma amostra aleatória simples de uma população normal com média µ e variância σ 2 ambos desconhecidos. Esse caso é similar ao anterior com as seguintes substituições: Usa-se T 0 = X µ 0 S/ n no lugar de Z 0 = X µ 0 σ/ n e, os quantis da distribuição t com n 1 graus de liberdade em vez dos quantis da normal padrão. Se H 0 : µ = µ 0, α é o nível de significância e T 0 = X µ 0 S/ n, temos H 1 região crítica µ µ 0 T 0 > t (1 α,n 1) µ > µ 0 T 0 > t (1 2α,n 1) P ( t (1 α,n 1) < T < t (1 α,n 1) ) = 1 α, T t n 1. µ < µ 0 T 0 < t (1 2α,n 1) 4 Testes de hipóteses: duas amostras 4.1 Amostras independentes Sejam X 1, X 2,..., X n e Y 1, Y 2,..., Y m duas amostras independentes sorteadas de duas populações normais N(µ 1, σ 2 ) e N(µ 2, σ 2 ). O teste a seguir foi construído baseando-se nessas suposições. T = X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) S 1 n + 1 m tem uma distribuição t com n + m 2 graus de liberdade. Na expressão da estatística T, X1 representa a média amostral referente à amostra 1 e X 2 representa a média amostral referente à amostra 2. Além disso S 2 é uma estimativa combinada da variância populacional σ 2 que é suposta ser a mesma em ambas as populações, a saber, S 2 = (n 1)S2 1 + (m 1)S2 2 n + m 2 em que S1 2 é a variância amostral na amostra 1 e S2 2 é a variância amostral na amostra 2. Assim, se H 0 é verdadeira segue que tem uma distribuição t com n + m 2 graus de liberdade. T 0 = X 1 X 2 S 1 n + 1 m 8

9 Fixado um nível de significância α, basta obter a(s) cauda(s) correspondente(s) à região crítica do teste, usando a distribuição t com n + m 2 graus de liberdade. Quadro de procedimentos no caso de duas amostras independentes de populações normais com variâncias iguais. Sejam H 0 : µ 1 = µ 2 a hipótese nula, T 0 = X 1 X 2 a estatística de teste e S 1 n + 1 m α o nível de significância do teste. H 1 Região crítica µ 1 µ 2 T 0 > t (1 α,n+m 2) µ 1 > µ 2 T 0 > t (1 2α,n+m 2) µ 1 < µ 2 T 0 < t (1 2α,n+m 2) Intervalo de Confiança para a diferença entre as médias µ 1 e µ 2 : Suposição: populações normais com variâncias iguais. IC(µ 1 µ 2, γ) : X1 X 2 ± t (γ,n+m 2) S 1 n + 1 m em que t (γ,n+m 2) é um quantil da distribuição t com n+m 2 graus de liberdade tal que P ( ) t (γ,n+m 2) < T < t (γ,n+m 2) = γ, com T t (n+m 2). O teste de Wilcoxon, também conhecido como teste de Mann-Whitney, e que daqui em diante chamaremos de teste W MW, é um teste não paramétrico de comparação de duas populações que não requer a normalidade. Tem-se duas amostras independentes de duas populações P 1 e P 2. Queremos testar H 0 : P 1 = P 2 contra a hipótese alternativa de que as distribuições diferem em localização: estaremos interessados em saber se uma população tende a ter valores maiores que a outra; ou se elas têm a mesma mediana ou a mesma média. O teste de Wilcoxon-Mann-Whitney (W M W ) é baseado nos postos dos valores obtidos combinando-se as duas amostras. A estatística de teste é a soma dos postos associados aos valores amostrados de uma população, P 1, por exemplo. Se essa soma for grande, isso é uma indicação de que os valores dessa população tendem a ser maiores do que os valores da população P 2, e, então rejeitamos H 0. O teste t é mais poderoso do que os testes não-paramétricos. Desse modo, se a suposição de normalidade for adequada, recomenda-se usar o teste t. Use o teste W MW se a suposição de normalidade não for adequada. 4.2 Amostras relacionadas Suponha que (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ) seja uma amostra aleatória bivariada de tamanho n de uma população. Por exemplo, medidas antes e depois de um tratamento, contagens sob duas condições diferentes, etc. Defina as diferenças D i = X i Y i, i = 1, 2,..., n. Se a população das diferenças tiver uma distribuição normal, então é possível construir um teste t para a média das diferenças. Suponha que a distribuição de D seja N(µ D, σ 2 D ). Como estamos comparando o mesmo grupo sob diferentes condições, aqui a hipótese nula, será da forma µ D = 0, ou seja, não há efeito de tratamento. As hipóteses alternativas podem ser µ D 0 (bilateral), µ D > 0 (unilateral à direita) ou µ D < 0 (unilateral à esquerda). 9

10 Em geral o desvio padrão da população de diferenças é desconhecido e também deverá ser estimado por S D com n SD 2 = 1 (D i D) 2, com D a média amostral das diferenças D 1, D 2,..., D n. n 1 i=1 De fato, podemos notar que esse caso reduz-se ao teste t, com H 0 : µ D = 0 para uma amostra aleatória simples de uma população normal dada por D 1, D 2,..., D n. Observe que a suposição de normalidade das populações não é crucial. As diferenças é que devem ter um comportamento normal. D A estatística de teste a ser usada é T 0 = S D / n. Sob H 0, T 0 tem uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. Fixando α o nível de significância, basta identificar a(s) cauda(s) da distribuição t com n 1 graus de liberdade adequada(s) à hipótese alternativa sob consideração. Depois é só verificar se o valor amostral da estatística caiu ou não na região crítica para concluir o teste. Quadro de procedimentos no caso de duas amostras pareadas cujas diferenças são supostas normais. Sejam H 0 : µ D = 0 a hipótese nula, T 0 = D S D / a estatística de teste e n α o nível de significância do teste. H 1 Região crítica µ D 0 T 0 > t (1 α,n 1) µ D > 0 T 0 > t (1 2α,n 1) µ D < 0 T 0 < t (1 2α,n 1) Intervalo de Confiança para µ D = µ 1 µ 2 : Suposição: as diferenças D i s são normalmente distribuídas. em que D é a média amostral das diferenças n SD 2 = 1 (D i D) 2 n 1 i=1 IC(µ D, γ) : D S ± t D (γ,n 1) n n é o tamanho da amostra. Se as diferenças não forem normais, podemos usar um teste não paramétrico também baseado em postos. Para amostras emparelhadas, um teste apropriado é o teste de Wilcoxon dos postos sinalizados. Esse teste também atribui postos, agora, aos valores absolutos das diferenças D i s. O Bioestat tem esse procedimentos na opção de duas amostras relacionadas. 10