Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2017/2

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1 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2017/2 Aula #01 de Probabilidade: 27/09/2017 1

2 Probabilidade: incerteza? como medir e gerenciar a Introdução Os jornais informaram que há uma chance de 60% de chover no próximo fim de semana no Rio. Talvez seja melhor programar um cinema em vez de programar uma ida à praia. O noticiário da TV informou que a partir do início de setembro haverá uma mudança no trânsito do Rio devido às obras do novo acesso ao Centro. Como eu passo pelo local da obra diariamente, talvez seja melhor sair de casa um pouco mais cedo para evitar grandes engarrafamentos decorrentes da nova mudança acarretando em atraso. 2

3 A nossa vida é cercada de incerteza: uma pequena chance disso, uma grande chance daquilo, etc. Os conceitos de probabilidade, esperança (valor esperado), retorno e possibilidade não são apenas para jogadores, são ferramentas práticas que podemos usar para avaliar riscos, determinar opções preferidas e avaliar potenciais impactos de certas decisões. 3

4 PROBABILIDADE Já vimos como analisar um conjunto de dados por meio de técnicas gráficas e numéricas. O resultado da análise nos permite ter uma boa ideia da distribuição desse conjunto de dados, em outras palavras, de propriedades estruturais de comportamento desses dados. Em particular, a distribuição de frequências é um instrumento importante para avaliar a variabilidade das observações de um fenômeno aleatório. As frequências relativas observadas podem ser olhadas como estimativas de probabilidades. 4

5 Com suposições adequadas e a partir da observação do fenômeno aleatório de interesse, podemos propor um modelo teórico que reproduza de maneira razoável a distribuição de frequências. Modelos Probabiĺısticos Tais modelos devem 1. identificar o conjunto de resultados possíveis do fenômeno aleatório, que costumamos chamar de espaço amostral, em geral denotado por Ω e 2. designar chances de ocorrrência - probabilidades - aos resultados possíveis. 5

6 O conceito de probabilidade nos auxilia na quantificação da incerteza associada aos fenômenos aleatórios, ou seja aos fenômenos cujos resultados não são conhecidos previamente a sua realização. Na aula de hoje - discutiremos conceitos relacionados à incerteza, - apresentaremos uma definição matemática de probabilidade e, - estudaremos algumas propriedades fundamentais no cálculo de probabilidades, por exemplo, como calcular probabilidades de eventos compostos: eventos que resultam da operação entre eventos (união, interseção, etc.) 6

7 Chamamos evento a qualquer subconjunto do espaço amostral (Ω - conjunto que compreende todos os resultados possíveis). Os eventos são geralmente denotados por letras maiúsculas A, B, etc. Escrevemos A Ω para dizer que o evento A é um subconjunto do espaço amostral Ω. Evento impossível: é o conjunto vazio ( ). Esse evento nunca ocorrerá. Evento certo: é o espaço amostral (Ω). Esse evento sempre ocorre. Para o evento impossível designamos uma probabilidade nula e para o evento certo designamos uma probabilidade igual a 1. Vamos começar a discussão com um exemplo clássico: o lançamento de uma moeda. Tem-se dois resultados possíveis: cara ou coroa. Mas, não sabemos qual deles irá ocorrer. 7

8 A probabilidade, de obter cara pode ser pensada como a mesma de obter coroa, se a moeda for balanceada e, desse modo podemos atribuir probabilidades iguais a 1 2 (= 0, 5) a cada resultado possível. Interpretação clássica da probabilidade. Por outro lado podemos desconfiar da honestidade da moeda. Uma maneira de designar a probabilidade de cara é, por exemplo, realizar um grande número de repetições do lançamento da moeda e ir atualizando a frequência relativa de ocorrência do número de caras. Depois de muitas realizações, podemos atribuir a probabilidade de ocorrer cara à frequência relativa final. Interpretação frequentista da probabilidade. Veja nos gráficos a seguir simulações desse experimento com 100 lançamentos e 10 mil lançamentos da moeda. O gráfico vai atualizando a frequência relativa da ocorrência de cara a medida que a moeda é lançada. 8

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11 Interpretações da probabilidade 1) Clássica. Baseia-se em espaços amostrais finitos e equiprováveis. Problemas com esta interpretação: Nem todos os espaços amostrais são finitos. Há espaços amostrais finitos que não são equiprováveis. Baseia-se na ideia de probabilidade (equiprovável) para definir probabilidade. Essa interpretação no entanto é muito útil em determinados experimentos aleatórios tais como lançamentos de moedas equilibradas, lançamento de dados equilibrados, o sorteio de uma carta de baralho, etc. 11

12 Exemplo: Você está pensando em apostar no número 13 no próximo giro de roleta. Qual é a probabilidade de que você perca? Solução: Uma roleta tem 38 fendas, das quais somente uma tem o número 13. A roleta é construída de tal modo que as 38 fendas sejam igualmente prováveis. Dentre as 38 fendas, há 37 que resultam em uma perda. Logo, a probabilidade de perder nesse caso é, sendo A o evento perder P (A) =

13 2) Frequentista Para avaliar a probabilidade de um determinado evento de interesse, o experimento é realizado um grande número de vezes, sob as mesmas condições. A cada realização vamos calculando a frequência relativa de ocorrência do evento A em relação ao número de repetições, como fizemos no exemplo anterior Cara ou Coroa?. Associamos como a probabilidade do evento A, a frequência relativa de ocorrência do evento A após muitas repetições. No exemplo Cara ou Coroa?, o gráfico com as frequências relativas ao longo das repetições indica que a frequência relativa de ocorrência de cara tende para o valor 0,5, de modo que a probabilidade de ocorrer cara, sob essa interpretação, será 0,5. 13

14 Problemas com a interpretação frequentista: Não define com clareza o que é um grande número de vezes, nem o que significa sob as mesmas condições. Nem todo fenômeno aleatório pode ser observado mais de uma vez. Exemplo: Calcule a probabilidade de que uma pessoa adulta escolhida ao acaso tenha voado em um avião comercial. Uma solução: O espaço amostral, considerando a observação de cada adulto, pode ser olhado como binário com os resultados sucesso e fracasso em que sucesso representa que a pessoa voou em avião comercial e fracasso que não voou. Observe que esses eventos não são necessariamente igualmente prováveis. 14

15 Aqui podemos usar a interpretação frequentista baseando-nos em alguma pesquisa. Suponha que uma pesquisa observou que entre 900 adultos escolhidos ao acaso, 750 confirmaram ter voado em avião comercial. Nesse caso, nossa resposta, baseada na frequência relativa, para o evento A: ter voado em avião comercial é , 833. Assim, atribuímos 0,833 como a probabilidade de que uma pessoa adulta escolhida ao acaso tenha voado em um avião comercial. A interpretação frequentista de probabilidade é usada na Inferência Estatística Clássica cujas conclusões são baseadas a partir dos dados observados.

16 3) Subjetiva. O indivíduo, baseado na sua experiência e outras informações a respeito do evento em questão, faz uma designação para a probabilidade desse evento. O ingrediente básico quando se designam probabilidades é coerência. Se um indivíduo julgar que um evento A é mais provável que o seu complementar, então ele deverá designar a esse evento uma probabilidade maior do que 50% ao evento A. Problemas com essa interpretação: Pesquisadores diferentes podem designar probabilidades diferentes para um mesmo evento. 15

17 A Inferência Bayesiana toma como uma de suas bases o fato de que todas as probabilidades são subjetivas. Exemplo: Qual é a probabilidade de que seu carro seja atingido por um meteorito em outubro de 2017? Uma solução: Na ausência de dados históricos sobre meteoritos colidindo com carros, não podemos usar a interpretação frequentista. Observe que há dois resultados possíveis nesse problema: {colidir, não colidir}, mas eles não são igualmente prováveis de modo que não podemos usar a interpretação clássica de probabilidade. 16

18 Observe que nesse exemplo podemos fazer uso da interpretação subjetiva. Sabemos que a probabilidade em questão é muito pequena. Vamos então estimá-la em = 10 5 equivalente a 1 em 100 mil. Esta estimativa subjetiva está baseada em nosso conhecimento sobre esse evento: acreditamos que esse evento é altamente improvável. 17

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20 Definição Axiomática da Probabilidade A Axiomatização da Probabilidade é devida ao matemático russo Kolmogorov e ocorreu no início do Século XX. Independentemente da interpretação de probabilidade adotada, a probabilidade é uma função P (.) que mede chances de eventos. A função probabilidade está definida na coleção de eventos e assume valores entre 0 e 1, satisfazendo os seguintes axiomas: A1 : P (A) 0 para todo evento A na coleção de eventos. A probabilidade de um evento qualquer é sempre um número não-negativo. A2 : P (Ω) = 1. certo é igual a 1. A probabilidade do evento A3 : Se A B =, então P (A B) = P (A) + P (B). Se os eventos A e B são disjuntos, então a probabilidade da união dos dois (de pelo menos um deles ocorrer) é a soma de suas probabilidades. 19

21 Propriedades da probabilidade A partir dos axiomas, diversas propriedades da probabilidade podem ser deduzidas. P 1 : P ( ) = 0 P 2 : Se A B, então P (A) P (B). P 3 : 0 P (A) 1, para todo evento A. P 4 : Propriedade do evento complementar de A: A c A c = Ω \ A = {ω Ω ω A} P (A c ) = 1 P (A) 20

22 Eventos União e Interseção de dois eventos Considere um experimento aleatório e sejam A e B dois eventos associados a esse experimento. O evento união de A e B, denotado por A B, corresponde ao evento ocorrência de pelo menos um dos dois A ou B O evento interseção de A e B, denotado por A B, corresponde ao evento ocorrência simultânea de A e B. 21

23 Esses dois eventos, chamados de eventos compostos, pois são obtidos por meio de operações entre dois ou mais eventos, são diferentes. Enquanto o evento união de A e B representa a ocorrência de pelo menos um, o que significa que poderá ter ocorrido somente A, somente B ou os dois simultaneamente; o evento interseção corresponde a ocorrência dos dois simultaneamente. Observe que como A B A B segue que P (A B) P (A B). A igualdade é possível? Sob que condição? 22

24 Veremos a seguir uma propriedade útil para calcular a probabilidade da união de dois eventos. P 5 : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Um caso particular ocorre quando A B =, pois nesse caso P (A B) = 0 e P (A B) = P (A) + P (B) Axioma 3 Mas lembre-se que essa última equação só vale se a interseção entre os eventos A e B for vazia. 23

25 Exercícios recomendados até agora do Capítulo 5: 1 ao