Testes de Hipóteses I

Transcrição

1 Testes de Hipóteses I Capítulo 12, Estatística Básica (Bussab&Morettin, 8a Edição) 5a AULA 23/04/2015 MAE229 - Ano letivo 2015 Lígia Henriques-Rodrigues

2 1. Introdução Neste capítulo pretendemos resolver a seguinte questão: Feita uma determinada afirmação sobre um parâmetro de uma população, desejamos saber se os resultados experimentais provenientes de uma amostra contrariam ou não tal afirmação. Objetivo do teste estatístico de hipóteses: Fornecer uma metodologia que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiem ou não uma hipótese (estatística) formulada. A ideia central deste procedimento é supor verdadeira a hipótese em questão e verificar se a amostra observada é "verossímel" nessas condições.

3 Tentaremos, assim neste capítulo, verificar se um conjunto de dados amostrais dá suporte ou não às afirmações sobre os seguintes parâmetros da população: o valor médio de uma população µ; a variância de uma população σ 2 ; a proporção populacional de uma característica de interesse p. Exemplo: Uma empresa de prestação de serviços manteve 28% do mercado nos últimos três anos. Este ano, uma amostra de 50 cidades revelou que esta empresa só detinha uma percentagem de 25% nas vendas do setor. Será que este resultado representa a nova quota de mercado da empresa?

4 Hipóteses Definição Uma hipótese estatística é uma afirmação acerca de um parâmetro de uma população. Hipótese Nula: afirmação sobre o parâmetro contra a qual estaremos buscando evidência nos dados amostrais. Exemplo: H 0 : p = 0, 28 Hipótese Alternativa: afirmação sobre o parâmetro que esperamos ser verdadeira. Exemplo: H 1 : p = 0, 25

5 No caso mais geral, pretende-se testar contra as alternativas H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 ou H 1 : θ < θ 0 ou H 1 : θ = θ 1 (θ 1 < θ 0 ) ou H 1 : θ > θ 0 ou H 1 : θ = θ 1 (θ 1 > θ 0 ) dependendo da informação que o problema traz.

6 Decisão O objetivo do teste de hipóteses é dizer, usando uma estatística ˆθ, se a hipótese H 0 é ou não aceitável. Esta decisão é tomada através da consideração de uma região crítica ou de rejeição, RC. Seja ˆθ obs, o valor observado da estatística Se ˆθ obs RC Rejeitamos H 0 Se ˆθ obs / RC Não rejeitamos H 0 Ao decidir pela rejeição ou não da hipótese nula H 0, podemos cometer dois tipos de erro:

7 Erros Erro de tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando esta é verdadeira α = α(θ 0 ) = P(erro tipo I) = P(rejeitar H 0 H 0 é verdadeira); α nível de significância do teste Exemplo: Afirmar que a percentagem de vendas da empresa é de 25%, quando na realidade é de 28%.

8 Erro de tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa β = β(θ 1 ) = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H 0 H 0 é falsa) 1 β poder do teste Exemplo: Afirmar que a percentagem de vendas da empresa é de 28%, quando na realidade é de 25%.

9 A importância dos erros de tipo I e tipo II Nas aplicações práticas, o erro tipo I é socialmente mais importante que o erro tipo II. Assim, devemos tomar como H 0 aquela hipótese, que, rejeitada, conduza a um erro de tipo I mais importante de evitar. Exemplo: Suponha um experimento para se determinar se determinado produto é cancerígeno. Após realizado o teste, podemos concluir: (i) A é cancerígeno ou (ii) A não é cancerígeno. A hipótese a ser testada deve ser: H 0 : A é cancerígeno, pois a probabilidade de erro na rejeição dessa hipótese, se ela for verdadeira, deve ser um valor muito pequeno. Assim, na realização dos testes, controlaremos o erro tipo I, procurando diminuir a probabilidade de sua ocorrência.

10 Num teste de hipóteses é desejável que α e β sejam os menores possíveis, uma vez que representam as probabilidades de tomar decisões incorretas. No entanto, dada uma dimensão da amostra, n, não é possível minimizar simultaneamente α e β. Assim: Se α diminui = β aumenta; Se β diminui= α aumenta. A minimização simultaneamente de α e β pode ser obtida aumentando o tamanho da amostra, isto é, recolhendo mais informação.

11 Região Crítica ou de Rejeição RC A RC é construída sob a validade da hipótese nula e é constituída por todos os valores da estatística, ˆθ, desfavoráveis a H 0, com α fixado a priori. P(ˆθ RC H 0 é verdadeira) = α, Exemplo: No nosso caso RC={ˆp : ˆp k}, sendo o valor de k determinado da seguinte forma: k : P(ˆp k p 0 = 0.28) = α.

12 Relação entre a Hipótese alternativa e a RC Se H 1 : θ θ 0 teste bilateral RC é uma reunião de caudas; Se H 1 : θ < θ 0 ou H 1 : θ = θ 1 (θ 1 < θ 0 ) teste unilateral à esquerda RC é uma cauda à esquerda; Se H 1 : θ > θ 0 ou H 1 : θ = θ 1 (θ 1 > θ 0 ) teste unilateral à direita RC é uma cauda à direita.

13 Procedimento geral para a construção de um teste de hipóteses Passo 1: Definir as hipóteses H 0 e H 1 a serem testadas; Passo 2: Escolher a estatística que será utilizada para testar H 0 ; Passo 3: Fixe a probabilidade α de erro de tipo I e construa a RC; Passo 4: Use as observações da amostra para calcular o valor observado da estatística do teste; Passo 5: Tome uma decisão: se o valor observado da estatística de teste não pertencer à região crítica, não rejeite H 0 ; caso contrário, rejeite H 0.

14 1. Teste de hipóteses exato para a proporção populacional p Passo 1: H 0 : p = p 0 contra (i) H 1 : p p 0 ; (ii) H 1 : p > p 0 ou H 1 : p = p 1 (p 1 > p 0 ); (iii) H 1 : p < p 0 ou H 1 : p = p 1 (p 1 < p 0 ). Passo 2: Sendo X a v.a. que representa o número de sucesso em n provas de Bernoulli, X Bin (n, p), e sob a validade de H 0 X H0 Bin (n, p 0 ).

15 Passo 3: Dado α (i) RC = {x : x d x k} = {0, 1,..., d} {k, k + 1,..., n}; (ii) RC = {x : x k} = {k, k , n}; (iii) RC = {x : x d} = {0, 1,..., d}.

16 Exemplo: Suponha que um medicamento existente no mercado produza o efeito desejado em 60% dos casos nos quais é aplicado. Um laboratório produz um novo medicamento e afirma que ele é melhor do que o existente. Para verificar estatisticamente se é verdadeira a afirmação do laboratório, aplicou-se o medicamento em n = 10 pacientes tendo-se verificado o efeito desejado em 8 pacientes (considere α = 5%).

17 1. Teste de hipóteses assintótico para a proporção populacional p Passo 1: H 0 : p = p 0 contra (i) H 1 : p p 0 ; (ii) H 1 : p > p 0 ou H 1 : p = p 1 (p 1 > p 0 ); (iii) H 1 : p < p 0 ou H 1 : p = p 1 (p 1 < p 0 ). Passo 2: A estatística a ser usada é ( ˆp N p, que sob a validade de H 0 é ˆp H0 N p(1 p) n ), ( p 0, p ) 0(1 p 0 ). n

18 Passo 3: Dado α p (i) RC = {ˆp : ˆp c ˆp d}, com c = p 0 z(1 α/2) 0 (1 p 0 ) n d = p 0 + z(1 α/2) p (ii) RC = {ˆp : ˆp d}, com d = p 0 + z(1 α) 0 (1 p 0 ) n ; p (iii) RC = {ˆp : ˆp c}, com c = p 0 z(1 α) 0 (1 p 0 ) n, p 0 (1 p 0 ) n ; e com z(p) o p-quantil da normal padrão.

19 Exemplo: Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados no programa especial de domingo. Uma rede concorrente deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Destas, 104, confirmaram ter assistido a programa. Teste a veracidade da afirmação da estação, considerando α = 5%.