Unidade IV Inferência estatística

Transcrição

1 Unidade IV Inferência estatística 4.. Introdução e histórico 4.. Conceitos fundamentais 4.3. Distribuições amostrais e Teorema central do limite 4.4. Estimação de parâmetros 4.5. Testes de hipóteses 4.6. Quebras das pressuposições no processo de inferência 4.7. Testes de qui-quadrado Teoria dos testes de hipóteses

2 Testes de hipóteses Outro problema a ser resolvido pela Inferência Estatística é o de testar uma hipótese. Feita uma afirmação a respeito de uma população (parâmetro) desejamos saber se os resultados experimentais (amostra) contrariam tal afirmação. Muitas vezes, essa afirmação sobre a população é derivada de teorias desenvolvidas no campo do conhecimento por meio da observação e do raciocínio. A adequação dessa teoria ao universo real pode ser verificada ou refutada pela amostra. O objetivo do teste estatístico de hipótese é então fornecer uma metodologia que permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiam ou não a hipótese (estatística) formulada. Teste de hipóteses Procedimento estatístico onde se busca verificar uma hipótese a respeito da população, no sentido de aceitá-la ou rejeitá-la, a partir de dados amostrais, tendo por base a teoria das probabilidades. Profa. Clause Piana 4

3 Algoritmo para construção de um teste de hipóteses. Definir as hipóteses estatísticas.. Fixar a taxa de erro aceitável. 3. Escolher a estatística para testar a hipótese e verificar as pressuposições para o seu uso. 4. Usar as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste. 5. Decidir sobre a hipótese testada e concluir. Profa. Clause Piana 5. Hipóteses estatísticas 3

4 Hipóteses estatísticas A hipótese estatística é uma suposição feita a respeito de um ou mais parâmetros (µ, σ,π, etc.). Problema científico Pergunta Hipótese de trabalho Resposta provisória Hipótese estatística Profa. Clause Piana 7 Existem dois tipos básicos de hipóteses estatísticas: Hipótese de nulidade (H ): é a hipótese que está sob verificação. Esta hipótese supõe a igualdade dos parâmetros que estão sendo comparados. Hipótese alternativa (H A ): é a hipótese que será considerada caso a hipótese de nulidade seja rejeitada. Esta hipótese supõe que os parâmetros comparados são diferentes. Situações comuns em testes de hipóteses a respeito de µ Comparação de uma média (µ) com um valor padrão (µ ) Comparação entre duas médias (µ e µ ) Profa. Clause Piana 8 4

5 Comparação de uma média (µ) com um valor padrão (µ ) Uma população Uma amostra Uma estimativa do parâmetro de interesse (µ) Um valor conhecido e comprovado (valor padrão) Exemplo : Para verificar se uma nova droga é eficaz no tratamento da pressão alta, a pressão média de um grupo de pacientes submetidos a esta droga (amostra) é comparada com um valor que é considerado normal (valor padrão). Profa. Clause Piana 9 Exemplo : Um engenheiro de desenvolvimento de um fabricante de pneus está investigando a vida do pneu em relação a um novo componente de borracha. Ele fabricou 4 pneus e testou-os até o fim da vida em um teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra são 6.49 e 6.85 km, respectivamente. O engenheiro acredita que a vida média desse novo pneu supera 6. km. Teste a hipótese de que a verdadeira vida média do pneu não difere de 6. km e conclua a respeito da suposição do engenheiro. Profa. Clause Piana 5

6 Comparação de uma média (µ) com um valor padrão (µ ) H : µ = µ ou µ µ = H : µ µ ou µ µ A µ > µ ou µ µ > µ < µ µ µ ou < Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Escolher uma das três Profa. Clause Piana Comparação entre duas médias (µ e µ ) População População Amostra Amostra Estimativa de µ Estimativa de µ Comparação das estimativas Exemplo : Para verificar, entre dois métodos de ensino, qual é o mais eficiente, comparamos os desempenhos médios de dois grupos de alunos (duas amostras), cada um submetido a um método diferente. Profa. Clause Piana 6

7 Exemplo : Um pesquisador da área de computação está investigando a utilidade de duas diferentes linguagens de programação (A e B) na melhoria das tarefas computacionais. Trinta programadores experientes, familiarizados com ambas as linguagens, foram divididos aletoriamente em dois grupos. Cada grupo codificou uma função padrão em uma das linguagens e os tempos de codificação da função (em minutos) foram registrados. As medidas de cada grupo são apresentadas no quadro abaixo. n Média Variância Linguagem A 5 7,5,3 Linguagem B 5,5 3, Utilizando um teste de hipótese, verifique se, em média, o tempo de codificação da função padrão difere entre as linguagens. Profa. Clause Piana 3 Comparação entre duas médias (µ e µ ) H : µ = µ µ µ HA : µ µ µ µ µ > µ µ µ µ < µ µ µ ou = ou ou > ou < Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Escolher uma das três Profa. Clause Piana 4 7

8 Exemplo : Problema científico: Ração a base de soja promove maior ganho de peso em bovinos do que ração a base de milho? População bovinos tratados com farelo de soja População bovinos tratados farelo de milho Variável em estudo: X medida do ganho de peso (kg) E(X ) = µ = ganho de peso médio com farelo de soja E(X ) = µ = ganho de peso médio com farelo de milho Hipótese de trabalho: As duas rações têm efeitos diferentes sobre o ganho de peso de bovinos. Profa. Clause Piana 5 Hipóteses estatísticas: Hipótese de nulidade: o ganho de peso médio de bovinos tratados com farelo de soja não difere do ganho de peso médio de bovinos tratados com farelo de milho Hipótese de alternativa: o ganho de peso médio de bovinos tratados farelo de soja difere do ganho de peso médio de bovinos tratados com farelo de milho H : µ = µ µ µ HA : µ µ µ µ ou = ou Bilateral Quando não temos motivos suficientes para supor que uma das médias será maior que a outra, formulamos uma hipótese alternativa bilateral (mais genérica). Quando a hipótese alternativa é bilateral, dizemos que o teste de hipóteses é bilateral. 8

9 Exemplo : Problema científico: Um novo inseticida é eficaz no combate à lagarta da soja? População lavouras de soja com aplicação do inseticida População lavouras de soja sem aplicação do inseticida Variável em estudo: X número de insetos mortos E(X ) = µ = número médio de insetos da população (Com) E(X ) = µ = número médio de insetos da população (Sem) Hipótese de trabalho: O novo inseticida é eficaz no combate à lagarta da soja Profa. Clause Piana 7 Hipóteses estatísticas: Hipótese de nulidade: a média de insetos mortos na lavoura com inseticida não difere da média de insetos mortos na lavoura sem inseticida Hipótese alternativa: a média de insetos mortos na lavoura com inseticida é maior que a média de insetos mortos na lavoura sem inseticida H : µ = µ µ µ H : µ > µ µ µ A ou = ou > Unilateral direita Quando temos motivos suficientes para supor que uma das médias será maior que a outra, podemos formular uma hipótese alternativa unilateral (mais específica). Quando a hipótese alternativa é unilateral, dizemos que o teste de hipóteses é unilateral. 9

10 Objetivo: verificar a hipótese Podemos verificar a hipótese de duas formas: avaliar as populações inteiras (todos os bovinos tratados com as duas rações ou todas as lavouras de soja) e comparar suas médias avaliar amostras retiradas das populações e utilizar um teste estatístico que compare as médias das amostras Devemos considerar: seria impossível avaliar todos os bovinos tratados com as duas rações ou todas as lavouras de soja o processo de amostragem pode fornecer precisão suficiente Será muito mais econômico e menos trabalhoso utilizar amostras das populações. Profa. Clause Piana 9 Pressuposições: A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias das populações são iguais As amostras retiradas das populações são independentes População σ População µ µ Amostra [X, X,..., X n ] Amostra [X, X,..., X n ] Para determinar (dimensionar) o tamanho da amostra, devemos definir: o tamanho do erro que estamos dispostos a admitir a variabilidade aproximada das populações (σ ) a magnitude da diferença a ser detectada

11 . Erros de conclusão Erros de conclusão Como a hipótese sob verificação é H, dois tipos de erro estão associados à decisão a respeito dela: Erro Tipo I: rejeitar H quando esta é verdadeira α=p(erro tipo I) probabilidade de cometer o erro tipo I Erro Tipo II: não rejeitar H quando esta é falsa β=p(erro tipo II) probabilidade de cometer o erro tipo II Como conseqüência: -α é a probabilidade de não cometer o erro tipo I (probabilidade de não rejeitar H verdadeira) -β é a probabilidade de não cometer o erro tipo II (probabilidade de rejeitar H falsa) A probabilidade -β é denominada poder do teste.

12 Réu Não condenar Decisão do juiz Condenar Inocente Culpado Acerto Erro Erro Acerto H Não rejeitar Decisão Rejeitar Verdadeira Falsa Acerto Erro Tipo II Erro Tipo I Acerto Erro Tipo I: Declarar diferença quando ela não existe Erro Tipo II: Não declarar diferença quando ela existe Importante!!! As duas taxas de erroαeβestão relacionadas negativamente, de modo que a redução deαimplica no aumento deβevice-versa. Para que os testes de hipótese tenham validade, é necessário que sejam delineados de modo a minimizar os erros de conclusão. O único meio de reduzir ambos os tipos de erro é aumentando o tamanho da amostra, o que nem sempre é viável. Em geral, a preocupação está voltada para o erro tipo I, pois na maioria dos casos ele é considerado o mais grave. A probabilidade de ocorrência do erro tipo I (α) é chamada de nível de significância do teste.

13 3. Estatística do teste Estatística do teste Para testar hipóteses a respeito do parâmetroµ, utilizamos a variável aleatória T que tem distribuição t de Student. onde: θ θˆ S(ˆ θ) ν ˆθ θ T = t( ν) S( ˆθ ) é o parâmetro estimado é estimador do parâmetro é o estimador do erro padrão do θˆ é o número de graus de liberdade 3

14 .Comparação de uma média (µ) com um valor padrão (µ ) Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal Hipótese sob verificação: H : µ = µ onde: Estatística do teste: ˆθ θ T= ~ t (ν) S (θ) ˆ θ=µ=µ ˆθ=X θˆ S( ) = S(X) = ν=n S n X µ = S T n Estatística do teste Valor que deve ser calculado na amostra Pressuposições para o uso da estatística T: A variável em estudo tem distribuição normal. As variâncias das populações são iguais. As amostras retiradas das populações são independentes. σ População População µ µ [X, X,..., X n ] [X, X,..., X n ] Amostra Amostra X S X S 4

15 . Comparação entre duas médias (µ e µ ) Pressuposições: A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias das populações são iguais As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação: : µ µ Estatística do teste: onde: θ = µ µ = θˆ = X X S( ) S(X θˆ = ν = (n ) + (n ) ˆθ θ T= S (θ) ˆ X ) = + S n n H = ~ t (ν) Valor que deve ser calculado na amostra θˆ ˆ (θ) ˆ θˆ T= = S (θ) S X X T = S + n n Estatística do teste.comparação de uma média (µ) com um valor padrão (µ ) Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal Hipótese sob verificação: Estatística do teste: X µ = S T H : µ = µ n. Comparação entre duas médias (µ e µ ) Pressuposições: A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias das populações são iguais As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação: : µ µ Estatística do teste: T = H = X X + S n n ~ t (ν) ~ t (ν) Profa. Clause Piana 3 5

16 4. Critério de decisão Comparação de duas médias H : µ µ = HA : µ µ Possíveis conclusões para H. H é falsa: temos duas populações com médias diferentes σ População População µ µ [X, X,..., X n ] [X, X,..., X n ] Amostra Amostra X S X S 6

17 . H é verdadeira: as médias das duas populações não diferem H : µ = µ = µ Portanto, em vez de duas populações, temos apenas uma População População µ µ µ [X, X,..., X n ] [X, X,..., X n ] Amostra Amostra X S X S. H é verdadeira: as médias das duas populações não diferem H : µ = µ = µ Portanto, em vez de duas populações, temos apenas uma População única σ µ [X, X,..., X n ] [X, X,..., X n ] Amostra Amostra X S X S 7

18 Critério de decisão Teste bilateral Comparação de médias H : µ µ = HA : µ µ Se H é verdadeira, devemos esperar que o valor da estatística T seja próximo de zero. T = X X + S n n Mas quanto o valor da estatística T pode se afastar de zero? valores da estatística T Comparação de médias H : µ µ = HA : µ µ Se H é verdadeira, devemos esperar que o valor da estatística T seja próximo de zero. Mas quanto o valor da estatística T pode se afastar de zero? T = X X + S n n Este limite é dado pelos valores críticos, que são estabelecidos com base no α. α/ α/ -t α/ t α/ valores críticos Profa. Clause Piana 36 8

19 H A bilateral Mas quanto o valor da estatística T pode se afastar de zero? Este limite é dado pelos valores críticos, que são estabelecidos com base no α. α/ α/ Rejeição de H -t α/ Não rejeição de H t α/ Rejeição de H Se o valor t (calculado na amostra) estiver entre -t α/ e t α/, não temos motivos para rejeitar H Se o valor t (calculado na amostra) for menor que -t α/ ou maior que t α/, rejeitamos H Como tomar a decisão a respeito de H? Para decidir comparamos o valor da estatística T (calculado) com o valor crítico (tabelado): Rejeitamos H, ao nível α, se o valor da estatística, em módulo, for maior que o valor crítico: t > t α/ t é atípico Não temos motivos suficientes para rejeitar H, ao nível α, se o valor da estatística, em módulo, for menor que o valor crítico: t t α/ t é típico Profa. Clause Piana 38 9

20 Critério de decisão Teste unilateral Comparação de médias µ µ H : = HA : µ µ < T = X X + S n n H A unilateral esquerda supõe que a diferença entre os parâmetros é um valor negativo, deste modo supomos também que a estatística T só assume valores negativos. valores da estatística T H A unilateral esquerda α Rejeição de H -t α Não rejeição de H Se o valor t (calculado na amostra) for maior que -t α, não temos motivos para rejeitar H Se o valor t (calculado) for menor que -t α, rejeitamos H Profa. Clause Piana 4

21 Critério de decisão Teste unilateral Comparação de médias H : µ µ = H : µ µ > A T = X X + S n n H A unilateral direita supõe que a diferença entre os parâmetros é um valor positivo, deste modo supomos também que a estatística T só assume valores positivos. valores da estatística T Profa. Clause Piana 4 H A unilateral direita α t α Não rejeição de H Rejeição de H Se o valor t (calculado na amostra) for menor que t α, não temos motivos para rejeitar H Se o valor t (calculado) for maior que t α, rejeitamos H Profa. Clause Piana 4

22 Como tomar a decisão a respeito de H? Para decidir comparamos o valor da estatística T (calculado) com o valor crítico (tabelado): Rejeitamos H, ao nível α, se o valor da estatística, em módulo, for maior que o valor crítico: t > t α t é atípico Não temos motivos suficientes para rejeitar H, ao nível α, se o valor da estatística, em módulo, for menor que o valor crítico: t t α t é típico Profa. Clause Piana 43 Graus de Liberdade (ν) Limites bilaterais: P( t > tα/) Nível de Significância (α),5,,,5,5,,,5, 3,78 6,34,76 5,54 3,8 63,657 7,3,86,886,9 4,33 6,5 6,965 9,95 4,89 3,75,638,353 3,83 4,77 4,54 5,84 7,453 4,74,533,3,776 3,495 3,747 4,64 5,598 5,77,476,5,57 3,63 3,365 4,3 4,773 6,78,44,943,447,969 3,43 3,77 4,37 7,7,45,895,365,84,998 3,5 4,9 8,76,397,86,36,75,896 3,355 3,833 9,73,383,833,6,685,8 3,5 3,69,7,37,83,8,634,764 3,69 3,58,697,363,796,,53,78 3,6 3,497,695,356,78,79,56,68 3,55 3,48 3,694,35,77,6,533,65 3, 3,373 4,69,345,76,45,5,64,977 3,36 5,69,34,753,3,49,6,947 3,86 6,69,337,746,,473,583,9 3,5 7,689,333,74,,458,567,898 3,3 8,688,33,734,,445,55,878 3,97 9,688,38,79,93,433,539,86 3,74,687,35,75,86,43,58,845 3,53,686,33,7,8,44,58,83 3,35,686,3,77,74,46,58,89 3,9 3,685,39,74,69,398,5,87 3,4 4,685,38,7,64,39,49,797 3,9 5,684,36,78,6,385,485,787 3,78 6,684,35,76,56,379,479,779 3,67 7,684,34,73,5,373,473,77 3,57 8,683,33,7,48,369,467,763 3,47 9,683,3,699,45,364,46,756 3,38 3,683,3,697,4,36,457,75 3,3 4,68,33,684,,39,43,75,97 6,679,96,67,,99,39,66,95,677,89,658,98,7,358,67,86...,674,8,645,96,4,36,576,87 Graus de Liberdade (ν),5,,5,5,5,,5,5 Nível de Significância (α) Limites unilaterais: P( t > tα)

23 Critério de decisão A regra de decisão a respeito de H pode ser estabelecida com base num valor crítico: Se o teste for bilateral (hipótese alternativa bilateral), o valor crítico será: t α/(ν) : valor da estatística T que delimita a área α/, para ν graus de liberdade (Tabela: limites bilaterais) Se o teste for unilateral (hipótese alternativa unilateral), o valor crítico será: t α(ν) : valor da estatística T que delimita a área α, para ν graus de liberdade (Tabela: limites unilaterais) Profa. Clause Piana 45 Nível de significância do teste A probabilidade α de se cometer um erro tipo I é um valor arbitrário e recebe o nome de nível de significância do teste O resultado da amostra é tanto mais significante para rejeitar H quanto menor for esse nível α. Ou seja, quanto menor for α, menor é a probabilidade de se obter uma amostra com estatística pertencente a região crítica, sendo pouco verossímel a obtenção de uma amostra da população para a qual H seja verdadeira. A probabilidade do erro tipo II, por outro lado, na maioria dos casos, não pode ser calculada, pois a hipótese alternativa usualmente especifica um conjunto de valores para o parâmetro. Esta probabilidade β só pode ser calculada se for especificado um valor alternativo paraµ. Usualmente, o valor α é fixado em 5%, % e,%. A fixação do valor de α envolve uma questionável arbitrariedade. Neste sentido, há um modo alternativo de se proceder, que será exposto a seguir. 3

24 Outro critério de decisão Valor p: probabilidade de que seja obtido um valor t maior que aquele calculado na amostra, dado que H é verdadeira Outro critério de decisão Valor p: probabilidade de que seja obtido um valor de T maior do que aquele calculado na amostra, dado que H é verdadeira Como tomar a decisão a respeito de H? Se o valor p for maior que α: não rejeitamos a hipótese nula pois t é típico ou está em uma região de alta probabilidade Se o valor p for menor que α: rejeitamos a hipótese nula pois t é atípico ou está em uma região de baixa probabilidade Profa. Clause Piana 48 4

25 Se p > α t é típico Não rejeitamos a hipótese de nulidade Profa. Clause Piana 49 Se p < α t é atípico Rejeitamos a hipótese de nulidade Profa. Clause Piana 5 5

26 Poder do teste Vimos que -β é a probabilidade de não cometer o erro tipo II, ou seja, é a probabilidade de rejeitar H quando ela é falsa. Esta probabilidade -β é denominada poder do teste. Assim, quanto maior a probabilidade de um teste rejeitar H mais poderoso ele é, pois tem maior probabilidade de detectar a diferença entre as médias. Qual dos testes é mais poderoso: unilateral ou bilateral? O mais poderoso é aquele que, para um mesmo valor α, tem maior probabilidade rejeitar H. Profa. Clause Piana 5 6

27 α =,5 teste unilateral No teste unilateral o valor t crítico é sempre menor do que o crítico no teste bilateral, porque a área a sua direita deve corresponder a todo α. Esta área é o dobro da área à direita do valor t crítico do teste bilateral. teste bilateral O teste unilateral é mais poderoso! - Se o t calculado for menor do que o t,5, H não será rejeitada em nenhum dos testes. - Se o t calculado for maior do que o t,5, H será rejeitada em ambos os testes. - Se o t calculado estiver entre de t,5 e t,5, H será rejeitada no teste unilateral, mas não será rejeitada no teste bilateral. Considerações finais Os intervalos de confiança e os testes de hipóteses bilaterais são procedimentos estatísticos relacionados. Se forem utilizados para analisar os mesmos dados, ao mesmo nível de significância, devem conduzir aos mesmos resultados. O intervalo de confiança para uma média está relacionado com o teste de hipóteses que compara uma média com um padrão. H não rejeitada valor padrão está coberto pelo intervalo O intervalo de confiança para a diferença entre duas médias está relacionado com o teste de hipóteses que compara duas médias. H não rejeitada zero está coberto pelo intervalo 7

28 Intervalo de confiança para uma média (µ) S IC (µ; α): X± t α/ n Estatística T para comparação de média (µ) com valor padrão (µ ) X µ = S T n Valor crítico: t α/ Se no teste de hipóteses, ao nível de % de significância, rejeitamos H, significa que a diferença entre a média e o valor padrão não é zero, ou seja, média e valor padrão são diferentes. Construindo o intervalo de confiança para µ, ao nível de 99%, devemos esperar que o valor padrão (µ ) esteja fora do intervalo. Caso contrário, os resultados seriam contraditórios. Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias (µ µ ) µ IC ( ; α): X ± t α/ µ X Estatística T para a comparação entre duas médias (µ eµ ) T= X n X + n S Valor crítico: t α/ Se no teste de hipóteses, ao nível de 5% de significância, não rejeitamos H, significa que a diferença entre as duas médias é zero, ou seja, as médias são iguais. Construindo o intervalo de confiança, ao nível de 95%, para a diferença entre as médias (µ µ ), devemos esperar que o valor zero seja coberto pelo intervalo. n + n S 8

29 Exemplos resolvidos Exemplo. O fabricante de uma certa marca de aparelhos eletrônicos informou que a potência média dos seus aparelhos é de 7 microwatts. O gerente de uma loja que vende os aparelhos utiliza uma amostra de 5 aparelhos para checar se a informação do fabricante é verdadeira. Os valores (em microwatts) obtidos para a amostra foram os seguintes: 6,7; 5,8; 4,; 4,9; 6,4; 5,9; 4,4;,7; 4,; 5,9; 7,3; 6,9; 7,3; 4,8 e 3,6. Utilize um teste de hipótese, ao nível de 5% de significância, e verifique qual foi a conclusão do gerente. Resolução: Variável em estudo: X = potência de aparelhos eletrônicos (microwatts) Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal. Hipóteses H H A : : µ µ = µ µ = 7 = 7 Taxa de erro tipo I: α=,5 Cálculo da estatística do teste X µ 5,3 7 x =5,3 n=5 T = t= = 4, S,589 s=,589 n 5 Decisão: t = -4, > t α/(4) =,45 Rejeitamos H Conclusão: Concluímos, ao nível de 5% de significância, que a verdadeira potência média de aparelhos eletrônicos desta marca difere de 7 microwatts. Portanto, a informação do fabricante não é verdadeira. 9

30 Exemplo. Um pesquisador da área de computação está investigando a utilidade de duas diferentes linguagens de programação (A e B) na melhoria das tarefas computacionais. Trinta programadores experientes, familiarizados com ambas as linguagens, foram divididos aletoriamente em dois grupos. Cada grupo codificou uma função padrão em uma das linguagens e os tempos de codificação da função (em minutos) foram registrados. As medidas de cada grupo são apresentadas no quadro abaixo. n Média Variância Linguagem A 5 7,5,3 Linguagem B 5,5 3, Utilizando um teste de hipótese, verifique se, em média, o tempo de codificação da função padrão difere entre as linguagens. Profa. Clause Piana 59 Resolução: Variável em estudo: X = tempo de codificação da função (minutos). Pressuposições:. A variável em estudo tem distribuição normal.. Hipóteses estatísticas: 3. Taxa de erro tipo I: 4. Estatística do teste: 5. Decisão e conclusão: α=,5. As variâncias das populações são homogêneas. 3. As amostras retiradas das populações são independentes. H H A α=,5 t= ν=(5 ) + (5 ) = 8 t α/(8) =,48 : µ =µ : µ µ 7,5,5 3 = = 5,8,5967 +, ,8 > tα (8 ) / =,48 Sendo o t calculado maior que o crítico, rejeitamos H Concluímos, ao nível de 5% de significância, que o tempo médio de programadores que usam a linguagem A difere do tempo médio de programadores que usam a linguagem B. Portanto, a linguagem A, em média, é mais eficiente que a linguagem B na execução das tarefas computacionais. 3

31 Bibliografia BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva p. FERREIRA, D.F. Estatística Básica. Lavras: Editora UFLA, 5, 664p. MLODINOW, L. O andar do bêbado. Como o acaso determina nossas vidas. Rio de Janeiro: Editora Zahar, 9, 64p. SILVEIRA JÚNIOR, P., MACHADO, A.A., ZONTA, E.P., SILVA, J.B. da Curso de Estatística v., Pelotas: Universidade Federal de Pelotas, p. Sistema Galileu de Educação Estatística. Disponível em: Profa. Clause Piana 6 3