PODER DO TESTE. Poder do Teste e Tamanho de Amostra para Testes de Hipóteses

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1 PODER DO TESTE Poder do Teste e Tamanho de Amostra para Testes de Hipóteses 1

2 Tipos de erro num teste estatístico Realidade (desconhecida) Decisão do teste aceita H rejeita H H verdadeira decisão correta (probab = 1 ) erro tipo I (probab = ) H falsa erro tipo II (probab = ) decisão correta (probab = 1 ) P(erro tipo I) = P(rejeitar H H é verdadeira) = P(erro tipo II) = P(aceitar H H é falsa) =

3 Poder do teste Definimos poder de um teste estatístico como a probabilidade do teste rejeitar H quando H é realmente falsa, ou seja, o poder de um teste é igual a 1. O poder do teste dependerá de alguns fatores: Do nível de significância adotado; Da distância entre o valor real do parâmetro e o considerado verdadeiro em H. Da variabilidade da população. Do tamanho da amostra retirada. 3

4 Questões Para o mesmo tamanho de amostra n Se o valor considerado como real for muito próximo daquele adotado em H : o teste terá maior dificuldade para detectar a diferença: menor poder, menor 1-, maior, mas, menor gravidade do erro. Se o valor considerado como real for muito distante daquele adotado em H : o teste terá maior facilidade para detectar a diferença: maior poder, maior 1-, menor, mas, maior gravidade do erro. 4

5 Exercício 18 Capítulo 8 Num certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é aproximadamente normal com média 53 s e desvio padrão 14 s. Modificou-se o sistema para reduzir o tempo. Foram contados os tempos para 3 buscas. Admita que as 3 observações possam ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use = 1%. Calcule o poder do teste se a verdadeira média de tempo fosse de: 4s, 41s, 4s, 43s, 44s, 45s, 46s, 47s, 48s, 49s, 5s, 51s, 5s. 5

6 Resolução 1ª parte H: = 53 s H1: < 53 s =,1, n = 3, = 14 s Z,36 c X c Z c n 53, ,5 6

7 Resolução ª parte Média real = 45 s Z 47, / 3,8 =,18 Poder =,789 7

8 Resolução 3ª parte H Média Desvio padrão n alfa,1,1,1 Zc -, , , xbar c 47, , , H1 Média Desvio padrão n Zb, , , ,89319, , Poder, , ,

9 Poder do teste de 1 média σ desconhecida Variável de teste: t de Student com n 1 graus de liberdade. Calcular a probabilidade de aceitar H quando H é falsa (probabilidade de erro tipo II - ), ou o complementar, o poder do teste. Quando o verdadeiro valor da média é μ = μ + (H falsa) a distribuição passa a ser a t não central, com n-1 graus de liberdade e parâmetro de não centralidade ( n) / s Se, a distribuição t não central passa a ser a distribuição t usual. 9

10 Distribuição t não central Dois parâmetros: graus de liberdade (>), e não centralidade ( ). 1

11 Cálculo do poder do teste 1 média σ desconhecida Supondo que a média real seja μ, a média testada em H μ, e s como estimativa confiável de σ: Usar curvas características de operação para obter o poder do teste para um determinado nível de significância. Abscissa: fator de não centralidade H 1 : μ μ d = μ μ /s H 1 : μ > μ d = (μ μ )/s H 1 : μ < μ d = (μ μ)/s Ordenada, poder do teste. Curvas para diferentes tamanhos de amostra. 11

12 Cálculo do poder do teste 1 média σ desconhecida Supondo que a média real seja μ, a média testada em H μ, e s como estimativa confiável de σ: Usar aplicativos computacionais. R: Hipóteses (<, >, ); Nível de significância; Estimativa de σ; Desvio (diferença entre μ e μ ); Outros: Minitab, PopTools 1

13 Cálculo do poder do teste 1 Solução alternativa: média σ desconhecida Realizar cálculos aproximados do poder do teste através da distribuição t de Student. Encontrar valor crítico da média amostral em H. X c t Calcular valor de t, em H 1 (supondo média = μ, e desvio padrão igual a s). Obter o valor de ou 1- (poder do teste). c s n (Xc ) t s n 13

14 Exercício 19 Capítulo 8 Um certo tipo de pneu dura, em média, 5. km. O fabricante investiu em uma nova composição de borracha para pneus, objetivando aumentar sua durabilidade. Vinte pneus, fabricados com esta nova composição, apresentaram desvio padrão de 4. km. Use = 1%. Calcule o poder do teste se a verdadeira média de durabilidade dos pneus fosse de: 55 km, 54 km, 53 km, 5 km, 51 km. 14

15 Resolução 1ª parte H: = 5 km H1: > 5 km =,1, n =, s = 4 km t c,5395 X c t c s n 5, ,38 15

16 Resolução ª parte H Média Desvio padrão n alfa,1,1,1 t c, , , xbar c 571, , ,388 H1 Média Desvio padrão n t -3, , ,41449,389453,16919, Poder, ,787388,

17 Definir: Tamanho de amostra para Testes distância entre valor testado e valor real em número de desvios padrões; valor de ou 1- ; valor de ou poder do teste (1-). 17

18 18 Testes de Média Média com conhecida: Teste bilateral: Teste unilateral: Z Z n Z Z n

19 Testes de Média Média com desconhecida amostra piloto n : Teste bilateral: n Teste unilateral: t n t 1, t n n t n 1, n 1, 1, s 19

20 Testes de proporção Teste bilateral: Teste unilateral: p p p) (1 p Z ) p (1 p Z n p p p) (1 p Z ) p (1 p Z n

21 Exercício 18 Capítulo 8 Num certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é aproximadamente normal com média 53 s e desvio padrão 14 s. Modificou-se o sistema para reduzir o tempo. Foram contados os tempos para 3 buscas. Admita que as 3 observações possam ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use = 1%. Qual deveria ser o tamanho mínimo de amostra para detectar, com 9% de probabilidade, que a média real vale 5s? 1

22 Resolução Teste unilateral: = 53 s, = 5 s, = 14 s = - / = 53 5 /14 =,14 =,1; Poder = 1- =,9; =,1 Z =,36; Z = 1,8 Resolvendo: n Z Z,36 1,8,14 83,48 84