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1 Prof. Lorí Viali, Dr. :// mat.ufrgs..ufrgs.br br/~viali/ mat.ufrgs..ufrgs.br

2 Média Uma amostra Proporção Variância Dependentes Diferença de médias m Duas amostras Independentes Diferença a de médias m Diferença a de proporções Igualdade de variâncias

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4 Média ( µ ) Proporção ( π ) Variância ( σ 2 )

5 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) µ < µ 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) µ µ 0 (teste bilateral/bicaudal).

6 Neste caso a variável vel teste é: Z X µ σ X X X σ µ n

7 Z > z c (teste unilateral/unicaudal à direita) Z < z c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z c (teste bilateral/bicaudal).

8 Onde z é tal que: c Φ(z c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/2 ou Φ(z c ) 1 α/2 (teste bilateral/bicaudal).

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10 A experiência passada mostrou que as notas de Probabilidade e Estatística, estão normalmente distribuídas com média µ 5,5 e desvio padrão σ 2,0. Uma turma de n 64 alunos deste semestre apresentou uma média de 5,9. Teste a hipótese de este resultado mostra uma melhora de rendimento a uma significância de 5%.

11 Hipóteses: H 0 : µ 5,5 H 1 : µ > 5,5 Dados: σ 2,0 n 64 X 5,9 α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita com σ conhecido.

12 A variável vel teste é: Z X µ σ X X X σ µ n Então: Z X σ µ n 5,9 2,0 5,5 64 0,4 2,0 8 3,2 2,0 1,60

13 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) 1- α 1 0,05 95%. Então z c Φ 1 (0,95) 1,645. Assim RC [1,645; ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z 1,60 RC ou 1,60 < 1,645, Aceito H 0, isto não, isto é,, a 5% de significância não se pode afirmar que os resultados desta turma são melhores.

14 α 5% Região de Não Rejeição 1,60 RC [ 1, 645; )

15 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (1,60), isto é,, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z > 1,60), isto é,, p P(Z > 1,60) 1 Φ(1,60) Φ(-1,60) 5,48%. Como a significância do resultado (5,48% 5,48%) é maior que a significância do teste (5% 5%) ) não é possível rejeitar a hipótese nula.

16 Neste caso a variável vel teste é: t n 1 X µ σˆ X X X s µ n

17 t n-1 > t c (teste unilateral/unicaudal à direita) t n-1 < t c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) t n-1 > t c (teste bilateral/bicaudal).

18 Onde t é tal que: c P(t < t c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) P(t < t c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(t < t c ) α/2 ou P(t > t c ) α/2 (teste bilateral/bicaudal).

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20 Suponha que a sua empresa comprou um lote de lâmpadas. Você precisa testar, a 5% de significância, a afirmação do fabricante de que a duração média das lâmpadas é maior que 800 horas. Para isto você usa uma amostra de 36 lâmpadas e encontra uma média 820 horas com desvio de 70 horas. Isto confirma a afirmação do fabricante?

21 Dados: Hipóteses: H 0 : µ 800 horas H 1 : µ > 800 horas n 36 X 820 horas s 70 horas α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita com σ desconhecido.

22 A variável vel teste é: t n 1 X µ ˆσ X X X s µ n Então: X µ t35 s n , 714

23 O valor crítico t c é tal que: P(T > t c ) 1- α Então t c 1,690. Assim RC [1,690; ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t 1,714 RC ou 1,714 > 1,690, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância, pode-se afirmar que a duração média m das lâmpadas é superior a 800 horas.

24 α 5% Região de Não Rejeição 1,714 RC [ 1, 690; )

25 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (1,714), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(T 35 > 1,714). Utilizando o Excel, tem-se:

26 Como a significância do resultado (4,77% 4,77%) é menor que a significância do teste (5% 5%) é possível rejeitar a hipótese nula.

27 H 0 : π π 0 H 1 : π > π 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) π < π 0 (teste unilateral/unicaudal teste unilateral/unicaudal à esquerda) π π 0 (teste bilateral/bicaudal teste bilateral/bicaudal) ).

28 Neste caso a variável vel teste é: Z P µ P P π σ P π( 1 π ) n

29 Z > z 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) Z < z 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z 0 (teste bilateral/bicaudal).

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31 Afirma-se que 40% dos alunos de uma universidade são fumantes. Uma amostra de 225 estudantes selecionados ao acaso mostrou que apenas 72 eram fumantes. Teste a 1% a hipótese de que a afirmação foi exagerada.

32 Dados: Hipóteses: H 0 : π 40% H 1 : π < 40% f 72 n 225 p 72/22532% α 1% Trata-se de um teste unilateral à esquerda para a proporção. A variável teste é:

33 Z P µ P P π σ P π( 1 π) n Então: Z P µ σ P P 0,32 0,40 0,40( 1 0,40 ) 225 0,08 0,0326 2,45

34 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) α 0,01 1%. Então z c Φ 1 (0,01) -2,33. Assim RC (- ;-2,33] DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z -2,45 RC ou -2,45 < -2,33. Rejeito H 0, isto é, a 1% de significância posso posso afirmar que a afirmação é exagerada.

35 α 1% RC ( ; 2,33] Região de Não Rejeição 2,45

36 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (-2,45), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z < -2,45), isto é, p P(Z < -2,45) Φ(-2,45) 0,71%. Como a significância do resultado (0,71%) é menor que a significância do teste (1%) é possível rejeitar a hipótese nula.

37 H 0 : σ 2 H 1 : σ 2 > σ 2 0 σ 2 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) σ 2 < σ 2 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) σ 2 σ 2 0 (teste bilateral/bicaudal).

38 Neste caso a variável vel teste é: ( n 1 ) χ2 n 1 2 σ s 2

39 2 χ > 2 χ n 1 c (teste unilateral/unicaudal à direita) 2 χ < 2 χ n 1 c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) χ 2 n 1 > χ 2 c ou 2 2 χ < χ n 1 (teste bilateral/bicaudal). c

40 Onde é tal que: P ( χ 2 > χ 2 n χ 2 c 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) c ) P ( χ 2 n 1 < χ 2 c ) 1 - α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) 2 P( χ < χ2 ) α/ 2 ou P ( χ > χ2 n 1 c 2 n 1 c ) α/ 2 (teste bilateral/bicaudal).

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42 O fabricante de uma certa marca de surdina de carro divulga que as suas peças tem uma variância de 0,8 anos. Uma amostra aleatória de 16 peças mostrou uma variância de um ano. Utilizando uma significância de 5%, teste se a variância de todas as peças é superior a 0,8 anos.

43 Dados: Hipóteses: H 0 : σ 2 0,8 anos H 1 : σ 2 > 0,8 anos n 16 s 1 ano α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita para a variância.

44 Então: A variável vel teste é: ( n 1 ) s 2 n 1 σ χ 2 2 ( n 1) s ( 16 1).1 15 χ2 15 σ2 0,8 0,8 2 18, 75

45 O valor crítico χ 2 é tal que: c P(χ 2 > χ 2 ) α 5%. Então: c χ 2 c 24,996. Assim: RC [24,996; ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como χ ,75 RC ou 18,75 < 24,996, Aceito H 0, isto é, a 5% de significância, não se pode afirmar que a variância é maior que 0,80 anos.

46 α 5% Região de Não Rejeição 18,75 RC [24,996; )

47 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (18,75), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(χ 2 15 > 18,75). Utilizando o Excel, tem-se:

48 Como a significância do resultado obtido (22,59%) é maior que a significância do teste (5%) não é possível rejeitar a hipótese nula.