Teste de Hipóteses Paramétricos

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1 Teste de Hipóteses Paramétricos Fundamentos de um teste de hipóteses Como construir testes de hipóteses para uma média. Como construir testes de hipóteses para uma proporção. Como construir testes de hipóteses para uma variância ou um desvio padrão.

2 Motivação Um fabricante alega a vida média das pilhas AA é de 300 minutos. Se você suspeita-se que essa alegação não é válida, como poderia mostrar que ela é falsa? Mesmo que estivesse seguro de que a vida média de uma pilha não é 300, a vida média real pode ser muito próximo desse valor e a diferença não é importante.

3 Fundamentos de testes de hipóteses Um teste de hipótese é um procedimento da estatística amostral para testar uma alegação sobre um valor de um parâmetro populacional. Uma alegação sobre um parâmetro populacional é chamada de hipótese estatística. Um par de hipóteses deve ser estabelecido: Uma hipótese nula H 0 que contém uma afirmativa de igualdade, tal como =. Uma hipótese alternativa H á que é o complemento da hipótese nula.

4 Estabelecendo as hipóteses 1. Uma universidade alega que a proporção de seus alunos formados em quatro anos é de 82% H 0 : p=82% H á : p 82% 2. Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio de um determinado tipo é inferior ou igual a 2,5 galões por minuto H 0 : μ 2,5 H á : μ > 2,5

5 Estabelecendo hipóteses 3. Em um estudo para avaliar um novo motor instalado em automóveis, um grupo de pesquisa está buscando evidências para concluir que o novo motor aumenta a média de quilômetros por litro H 0 : μ 24 H á : μ > 24 Neste caso, a hipótese aternativa é a hipótese de pesquisa. Em tal caso as hipóteses nula e alternativa devem ser formuladas de modo que a rejeição de H 0 suporte a conclusão e ação que estão sendo procuradas.

6 Tipos de erros Suponha que alguém afirma que determinada moeda não é viciada. Então, você joga a moeda 100 vezes e obtém 49 caras e 51 coroas. Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação. Qual seria a sua conclusão se o resultado fosse 21 caras e 79 coroas? É possível que a moeda não é viciada e você tenha extraído uma amostra incomum. Uma maneira de ter certeza é testar toda a população. Uma vez que o resultado é baseado em uma amostra, deve-se aceitar o fato que sua decisão pode estar incorreta.

7 Tipos de erros Em todo teste de hipótese é assumido que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Então deve-se tomar duas decisões: Rejeitar a hipótese nula Não rejeitar a hipótese nula decisão H 0 é verdadeira H 0 éfalsa não rejeitar H 0 rejeitar H 0 Decisão Correta erro tipo I erro tipo II Decisão Correta

8 Tipos de erros Um erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando ela for realmente verdadeira. Um erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada quando ela for realmente falsa. Considere um sistema judicial. É escrita uma acusação. H 0 : o réu é inocente H á : o réu é culpado decisão O réu é inocente H 0 éfalsa não rejeitar H 0 rejeitar H 0 Justiça erro tipo I erro tipo II Justiça

9 Tipos de erros Na prática é especificado a probabilidade máxima permissível de se cometer o erro tipo I, chamado nível de significância. Ele é denotado por α. Escolhas comuns para o nível de significância são: 0,05 (5%) e 0,01 (1%) Assim, se a probabilidade de se cometer um erro Tipo I é controlada por selecionar um pequeno valor para o nível de significância, temos um alto grau de confiança que a conclusão para rejeitar H 0 está correta. Como na prática não se atenta para a probabilidade de se cometer o erro tipo II, se decidimos aceitar H 0 não podemos determinar quão confiantes podemos estar com aquela decisão. Assim recomenda-se que seja usado a declaração não rejeitar H 0 em vez de aceitar H 0.

10 Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido Suposições Amostra aleatória Pelo menos uma das condições é satisfeita: a população é normal ou n>30 Testes Unilaterais H 0 : μ μ 0 H 0 : μ μ 0 H a : μ < μ 0 H a : μ > μ 0 Testes Bilateral H 0 : μ = μ 0 H a : μ μ 0

11 Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido Unilateral a esquerda Exemplo: seja: H 0 : μ 3 H a : μ< 3 X d σ 2 = N( μ, n ) σ n σ n 3 Região Crítica α = 0,05 (1- α) = 0,95 1,64 3 σ n Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0

12 P(Z z)=0,05 Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido α = 0,05 Unilateral a esquerda Convertendo X para normal padrão (1- α) = 0,95 z Estatística do teste = ( x 3) σ / n -1,64 0 Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 ( x 3) Rejeitar H 0 se z = 1, 64 σ / n

13 Teste de hipóteses para Exemplo: seja: H 0 : μ 3 H a : μ> 3 uma média σ é conhecido Unilateral a direita (1- α) = 0,95 α = 005 Não rejeitar H 0 3 1,64 σ n Rejeitar H 0

14 Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido Unilateral a direita Convertendo para normal padrão X P(Z z)=0,05 (1- α) = 0,95 α = 0,05 z Estatística do teste = ( x 3) σ / n 0 Não rejeitar H 0 ( x 3) Rejeitar H 0 se z = 1, 64 σ / n 1,64 Rejeitar H 0

15 Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido Bilateral Exemplo: seja: H 0 : μ = 3 H a : μ 3 1- α = 0,95 0,452 α /2 = 0,025 α/2 = 0,0,25 3 1,96 σ n 1,96 σ n Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0

16 Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido Bilateral Convertendo X para normal padrão 0,452 1-α = 0,95 α /2 = 0,025 α /2 = 0,0,25 z = Estatística do teste ( x 3) σ / n 0 1,96 1,96 Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 ( x 3) Rejeitar H 0 se 1,96 ou σ / n Rejeitar H 0 ( x 3) σ / n 1,96

17 Procedimentos 1. Identifique o parâmetro de interesse no problema. Neste caso é μ. 2. Formule a hipótese nula (H 0 ) 3. Formule uma hipótese alternativa apropriada (H a ) 4. Defina o nível de significância 5. Estabeleça a estatística usada usando a distribuição normal 6. Estabeleça a região de rejeição usando o nível de significância 7. Coletar os dados amostrais e calcular a estatística do teste 8. Decida se H 0 deve ou não ser rejeitada e transponha esta conclusão para o contexto do problema

18 Teste de hipóteses para uma média σ é desconhecido Usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Suposições: Amostra aleatória Valor do desvio padrão desconhecido Pelo menos uma das condições seguintes satisfeitas: população normal ou n>30. Testes Unilaterais H 0 : μ μ 0 H 0 : μ μ 0 H a : μ < μ 0 H a : μ > μ 0 Testes Bilateral H 0 : μ = μ 0 H : μ μ 0

19 Teste de hipóteses para uma média σ é desconhecido Estatística do teste x μ0 Média amostral x μ s n t 0 Exemplo:Um vendedor de carros de carros usados afirma que o preço médio de carro Ford F-150 (1999) é de pelo menos US$ Você suspeita da alegação e determina que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem preço médio de US$15700 e desvio padrão amostral de US$ Existe evidência suficiente para rejeitar a alegação do vendedor a um nível de significância de 0,05? = Valor da média populacional usada no hipótese nula

20 Solução H 0 : μ H a : μ <16500 t = x μ s n = 1250 / 14 2,39 Valor crítico t 0 na tabela da t com 13 graus de liberdade é t 0 =-1,771. A região de rejeição é t < -1,771.O Assim temos t = -2,39 < -1,771 e existe uma evidência para rejeitar H 0 ao nível de significância de 5%.

21 Teste de hipóteses para uma proporção Usar a distribuição normal. Suposições: Amostra aleatória Condições satisfeitas para distribuição binomial Condições satisfeitas para usar aproximação normal. Testes Unilaterais H 0 :p p 0 H 0 :p p 0 H a : p < p 0 H a : p > p 0 Testes Bilateral H 0 :p=p 0 H a : p p 0

22 Teste de hipóteses para uma proporção Estatística do teste pˆ p p z = ˆ proporção amostral p pq n proporção populacional usada na hipótese nula Exemplo: Uma pesquisa alega que 23% dos norte-americanos são favoráveis à proibição do cigarro. Você decide testar essa alegação e extrai uma amostra aleatória de 200 pessoas nos Estados Unidos. Das 200 pessoas, 27% são favoráveis. A um nível de significância de 0,05, há evidência suficiente para rejeitar a alegação?

23 Solução H 0 : p = 0,23 H a : p 0,23 z = pˆ p p0q n 0 0,27 0,23 0 = 0,23 0, ,34 Os valores críticos na tabela da normal são z 0 =-1,96 e z 0 =-1,96. A região de rejeição é t < -1,96 e t > 1,96 Como t = 1,34 está fora da região de rejeição, existe evidência para não rejeitar H 0 ao nível de significância de 5%.

24 Teste de hipóteses para uma variância ou desvio padrão Usar a distribuição qui-quadrado χ 2 com n-1 graus de liberdade Suposições: Amostra aleatória População normal Testes Unilaterais H 0 : σ 2 σ 2 0 H 0 : σ 2 σ 2 0 H a : σ 2 < σ 2 0 H a : σ 2 > σ 2 0 Testes Bilateral H 0 : σ 2 = σ 2 0 H a : σ 2 σ 2 0

25 Teste de hipóteses para uma variância ou desvio padrão Estatística do teste 2 s σ ( n 1) = 2 σ 0 Exemplo: Um laticínio alega que a variância na quantidade de gordura no total do leite processado pela companhia não é mais do que 0,25. Você desconfia dessa alegação e descobre que uma amostra de 41 recipientes com leite tem uma variância de 0,27. Sendo α=0,05, há evidência suficiente para rejeitar a alegação da companhia?. χ variância amostral variância populacional usada na hipótese nula s 2

26 Solução H 0 : σ 2 0,25 2 χ = (41 1)0,27 0,25 = 43,2 H a : σ 2 >0,25 O valor crítico χ 2 0 na tabela da qui-quadrado com 40 graus de liberdade é χ 2 0 = 55,758. A região de rejeição é χ2 > 55,758. Assim temos χ 2 = 43,2 < 55,758 e existe uma evidência para não rejeitar H 0 ao nível de significância de 5%.