Inferência a partir de duas amostras

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1 Inferência a partir de duas amostras Inferência a partir de duas amostras. Inferência sobre duas médias: amostras dependentes. Inferência sobre duas médias: amostras grandes e independêntes 3. Comparação entre duas variâncias 4. Inferência sobre duas médias: amostras pequenas e independentes 5. Inferência sobre duas proporções

2 Inferência sobre duas médias: amostras dependentes 3 Inferência sobre duas médias: amostras dependentes Duas amostras são independentes se a amostra extraída de uma das populações não tem qualquer relação com a amostra extraída da outra população Se uma das amostras tem relação com a outra, as amostras dizem-se dependentes. Também chamadas de amostras emparelhadas ou amostras ligadas. 4

3 Exemplo de amostra dependente: Amostras dos pesos de atletas antes e depois do treinamento. Os dados são emparelhados pois temos dois valores da característica para cada indivíduo Indivíduo A B C D E F Peso antes do treinamento (Kg) Peso depois do treinamento (Kg) Exemplo de amostra independente: amostras contendo pesos de homens e mulheres. Neste caso os dados nem são emparelhados Peso de mulheres (Kg) Peso de homens (Kg) Suposições. As amostras dependentes são amostras aleatórias simples.. Ambas as populações devem ter distribuição normal. Se elas se afastam muito da distribuição normal não devemos utilizar os métodos desta sessão. 6

4 Duas amostras dependentes: os cálculos serão baseados na diferença (d) entre pares de dados. Exemplo: Indivíduo A B C D E F x: Peso antes do treinamento (Kg) y: Peso depois do treinamento (Kg) d = x-y Notação para duas amostras dependentes µ d = média das diferenças (d) para a população de dados emparelhados d = valor médio das diferenças (d) para os dados amostrais emparelhados (igual a média dos valores de x - y ) s d = desvio-padrão das diferenças d para os dados amostrais emparelhados n = número de pares de dados 8

5 TESTE DE HIPÓTESE: afirmação sobre médias de duas populações com distribuições normais no caso de duas amostras dependentes. Estatística de teste : t d μ sd n d Onde t tem distribuição de student com gl = n- graus de liberdade Se o número de pares é grande (n>30) os valores críticos podem ser obtidos da distribuição de Z. 9 Intervalo de confiança: a estimativa intervalar de confiança da diferença da média µ d é: d E μd d E E t α s d n gl n 0

6 Possibilidades Amostras emparelhadas Unilateral a esquerda: H 0 : μ d = 0 H : μ d < 0 Unilateral a direita: H 0 : μ d = 0 H : μ d > 0 Bilateral: H 0 : μ d = 0 H : μ d 0 / / -t t -t / t / Rejeite H 0 se t < -t Rejeite H 0 se t > t a Rejeite H 0 se t < -t / ou t > t / onde t tem gl= n - graus de liberdade...vamos ao exemplo... Afirmação de pesquisa: há diferença no peso médio de atletas após treinamento. Teste essa afirmação com nível de significância de 0,05 a partir dos dados amostrais da tabela abaixo: Dados amostrais: Indivíduo A B C D E F x: Peso antes do treinamento (Kg) y: Peso depois do treinamento (Kg) d = x-y

7 Vamos ao teste... Passo : afirmação original µ d 0 Passo : oposto da afirmação original: µ d = 0 Passo 3: a hipótese nula deve conter a igualdade, portanto: H o : µ d = 0 H : µ d 0 Passo 4: teste bilateral com nível de significância α=0,05. Estamos testando uma afirmação sobre dados dependenes emparelhados. Aplicamos a distribuição t de student. Para um teste bilateral temos 3 Passo 5: calcular a estatística de teste: d μ t s d n d d n d ( 3) 6 6 s d (d d) n (5 /6)... ( 3 / 6) 6 4

8 INFERÊNCIA SOBRE MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES: AMOSTRAS GRANDES E INDEPENDENTES Suposições:. As duas amostras são independentes.. As duas amostras são grandes: n > 30 e n > 30. ou ambas amostras provem de populações com distrinuição normal. 3. Ambas são amostras aleatórias simples. Estatística de teste para diferença de duas médias: Distribuição de Z: tabela da distribuição normal z = (x - x ) - (µ - µ ). s s n + n 5 s e s quando ambas as amostras são grandes es e s não são conhecidos, use s e s. Valor-P: Use o valor calculado da estatística deteste Z e encontre o valor P usando a tabela. Compare o valor-p com o nível de significância Valores críticos (tradicional): Encontre o (os) valor (valores) crítico Zc associados a. Compare a estatística de teste Z com o valor (s) crítico (s) Zc. Intervalo de confiança: (x - x ) - E < (µ - µ ) < (x - x ) + E s s n + onde E = Z n 6

9 Possibilidades Média de duas populações:amostras grandes e independentes Unilateral a esquerda: H 0 : μ μ = 0 H : μ μ < 0 Unilateral a direita: H 0 : μ μ = 0 H : μ μ > 0 Bilateral: H 0 : μ μ = 0 H : μ μ 0 / / -z z -z / z / Reject H 0 se Z < -Z Rejeite H 0 if Z > Z Rejeite H 0 se Z < -Z / ou Z > Z / 7 Exemplo Alunos de uma faculdade selecionaram aleatoriamente 7 carros de estudantes e constataram que a média de suas idades era de 7,89 anos, com desvio padrão de 3,67 anos. Selecionaram também, aleatoriamente, 5 carros do corpo docentes e do pessoal da administração, constatando uma média de 5,99 anos e um desvio padrão de 3,65 anos. No nível de significância de 0,05 teste a afirmação de que os carros dos estudantes são mais velhos do que os dos professores e demais funcionários. 8

10 amostra Número de elementos da amostra : alunos n = 7 > 30 (amostra grande) : professores e funcionários n = 5 > 30 (amostra grande) Média de idade amostral Desvio populacional x = 7,89 s s = 3,67 (amostra grande) x = 5,99 s s = 3,65 (amostra grande) Vamos ao teste... Passo : afirmação original: os carros dos estudantes são mais velhos: m > m (ou m m > 0) Passo : oposto da afirmação original: m m (ou m m 0) Passo 3: a hipótese nula deve conter a igualdade, portanto: Ho: m = m H : m > m 9 Inferência sobre duas médias: amostras pequenas e independentes Considerações:. As amostras são independentes. As amostras são amostras aleatórias simples de populações normalmente distribuídas. 3. Ao menos uma das duas amostras é pequena (n 30). 0

11 Teste de afirmação sobre as médias. Temos três possibilidades. As variâncias de ambas as populações são conhecidas (Este caso raramente ocorre e já vimos o que fazer).. As duas populações parecem ter mesma variância ( s = s ). 3. As duas populações parecem ter variâncias diferentes ( s s ).. As variâncias de ambas as populações são conhecidas Estatística de teste para diferença de duas médias: Distribuição de Z: tabela da distribuição normal z = (x - x ) - (µ - µ ). s s n + n Este caso raramente ocorre!!!

12 Há evidências de que as variâncias são iguais ( s = s ) Estatística de teste: Onde: t = (x - x ) - (µ - µ ) sp n + sp n s sp = (n - ) + (n - ) s (n - ) + (n - ) Estimativa conjunta das variâncias Distribuição de student com gl = n + n graus de liberdade 3 3. Há evidências de que as variâncias são diferentes Não é possível exibir esta imagem no momento. Estatística de teste: (aproximado) ( s s ) t = (x - x ) - (µ - µ ) s s n + n Distribuição de student. Graus de liberdade (gl): o menor dos valores entre (n -) e (n -) Mais exato (ainda aproximado): S S n n gl S S n n n n 4

13 Teste de diferença entre duas proporções Considerações: - temos duas proporções de duas amostras independentes selecionadas aleatoriamente - Para ambas a proporções as condições np 5 e nq 5 são satisfeitas. 5 Notação: Para a população : p = proporção populacional n = tamanho da amostra x = número de sucessos na amostra ^ p = x (proporção amostral) n q^ = ^p Atribue-se significados análogos a p, n, x, p e ^ q, correspondentes ^ a população. 6

14 Estimativa combinada de p e p p = x + x n + n q = p Estatística de teste: z = ( p ^ ^ p ) ( p p ) pq n + pq n Possibilidades: H 0 : p = p, H 0 : p p, H 0 : p p H : p p, H : p < p, H : p > p 7 Comparação de duas variâncias 8

15 Teste para afirmação sobre a igualdade de variâncias populacionais: σ = σ Suposições:. as duas populações são independentes uma da outra.. A duas populações são ambas distribuídas normalmente. (importante, pois a estatística de teste é muito sensível a desvios de normalidade) Notação: s = a maior das duas variâncias amostrais n = tamanho da amostra com maior variância s = variância da amostra da qual se extrai a amostra com maior variância Os simbolos s, n, and s são usados para a outra amostra e a outra população 9 Estatística de teste : s F s 30

16 distribuição-f Não simétrica (assimétrica pra a direita) valor F = s s Somente valores não negativos Nosso caso: σ = σ Existe uma distribuição-f diferente para cada par de graus de liberdade para o numerador (g = n -) e denominador (g = n -) 3 H 0 : σ = σ H : σ < σ H 0 : σ = σ H : σ σ 0 Rejeite H 0 0 F E Não rejeite H 0 Rejeite H 0 se F < F E Não rejeite H 0 F D Rejeite H 0 Rejeite H 0 se F > F D H 0 : σ = σ H : σ > σ F F / / 0 Rejeite H 0 Não rejeite H 0 Rejeite H 0 F E F D Rejeite Ho se: S F S S F S F D F E 3

17 Com a escolha s = maior variância amostral, então todos os testes unilaterais serão unilaterais a direita, encontramos F d (g,g ) Teste bilateral: basta encontrar o valor crítico a direita. O valor crítico a esquerda = o inverso do valor a direita com graus de liberdade trocados, ou seja, Fe(g,g )=/Fd(g,g ) Exemplo: considere =0,05 bilateral e n=5, n=3. Temos: g =n-=4, g =n-=. Corresponde a olhar 0,05 a direita na tabela: F d (4,)= 39,48 F e (,)= /F d (,4)=/0,649 = 0, Exemplo: considere =0,05 bilateral e n=5, n=3. Temos: g=n-=4, g=n-=. Corresponde a olhar 0,05 a direita na tabela: Fd(4,)= 39,48 Fe(,)= /Fd(,4)=/0,649 = 0,0939 Rejeite H 0 0 / Não rejeite H 0 / Rejeite H 0 F E= 0,0939 F D =39,48 34