TESTES DE HIPÓTESES PARA DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS

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1 TESTES DE HIPÓTESES PARA DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina 23 de outubro de 2017

2 Introdução Tipos de Hipóteses Há muitos problemas em que devemos decidir se uma diferença observada entre duas médias amostrais pode ser atribuída ao acaso, ou se é uma indicação do fato de que as duas amostras provêm de populações com médias distintas.

3 Tipos de Hipóteses Tipos de Hipóteses A hipótes nula é expressa sempre pela igualdade. Assim, as possíveis hipóteses são: a) H 0 : µ X µ Y = µ 0 vs H 1 : µ X µ Y µ 0 (para testes bilaterais); b) H 0 : µ X µ Y = µ 0 vs H 1 : µ X µ Y > µ 0 (para testes unilaterais à direita); c) H 0 : µ X µ Y = µ 0 vs H 1 : µ X µ Y < µ 0 (para testes unilaterais à esquerda).

4 Exemplos Introdução Tipos de Hipóteses a) Há realmente diferença no consumo médio de combustível de duas marcas de automóveis? b) Mulheres podem executar certa tarefa mais rapidamente que os homens? c) A técnica de venda A é mais eficaz que a B? d) O tempo médio de vida de um produto do fornecedor A supera em mais de 300 horas o B?

5 Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Um dos testes mais frequentes em estatística consiste na avaliação da diferença entre duas amostras independentes; Nesses casos, os dados de uma das amostras não estão relacionados com os valores da outra.

6 Variâncias conhecidas Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Consideremos duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho n 1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, ambas com distribuição normal, médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas, respectivamente. Assim, a estatística do teste é dada por: Z = (X Y ) µ D N(0, 1). σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2

7 Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Exemplo 1 Duas marcas de veículos pretendem comparar o desempenho de seus modelos populares em relação ao consumo de combustível (km/l). Para isso, a marca A selecionou n = 12 veículos de sua produção e fez um teste de consumo. A marca B também retirou uma amostra com n = 12 veículos e realizou o mesmo teste. As empresas afirmam que ambas têm a mesma variabilidade, σ 2 = 0, 81. Marca A 13,5 12,8 11,4 10,9 11,9 12,3 10,7 11,9 10,9 11,5 11,8 12,1 Marca B 12,8 12,8 13,6 13,8 10,1 11,1 11,9 11,4 10,8 12,2 12,4 12,5 Supondo que o desempenho em km/l tem distribuição Normal, pode-se dizer que as marcas de veículos têm desempenho médio igual a 5% de significância?

8 Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Exemplo 2 Uma indústria compra componentes eletrônicos dos fornecedores A e B, mas o fornecedor A garante que o tempo médio de vida (em horas) do seu produto supera o da marca B em mais de 300 horas. Sabe-se que as variâncias dos tempos de vida, em horas, dos produtos dos fornecedores A e B são de 400 e 1600, respectivamente. Para testar a afirmação do fornecedor A, foram selecionadas duas amostras de componentes, uma de cada fornecedor, e obteve-se os seguintes tempos de vida: Marca A Marca B Teste a afirmação do fornecedor A ao nível de significância 5%, supondo que o tempo de vida em horas tem distribuição normal.

9 Variâncias desconhecidas Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Consideremos agora duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho n 1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, com as variâncias desconhecidas, porém iguais, isto é, σ 2 X = σ2 Y = σ2. Temos que a estatística do teste é dada por: T = ( X Ȳ ) µ D s p 1 n n 2 t (α;n1 +n 2 2) em que s p = (n 1 1)sX 2 + (n 2 1)sY 2. n 1 + n 2 2

10 Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Exemplo 1 Um grupo de planejamento urbano está interessado em estimar a diferença entre a média de rendimentos familiares para dois bairros em uma grande área metropolitana. Amostras aleatórias independentes de famílias nos bairros forneceram os seguintes resultados: Bairro 1: n 1 = 8; Ȳ 1 = R$1570, 00; s 1 = R$70, 00 Bairro 2: n 2 = 12; Ȳ 2 = R$1450, 00; s 2 = R$85, 00 Supondo que o rendimento familiar, em reais, tem distribuição normal, pode-se concluir, ao nível de significância de 5%, que as rendas familiares sejam diferentes nos dois bairros?

11 Variâncias conhecidas Variâncias desconhecidas Exemplo 2 Uma empresa deseja estudar a eventual eficácia da aplicação dos programas de treinamento ministrados pela sua área de recursos humanos. Para isso analisou duas amostras de desempenhos de seus funcionários: Grupo A, treinamento de 20 horas/aula e o Grupo B com 40 horas/aula. Os desempenhos dos funcionários foram Grupo A Grupo B Verifique se os treinamentos podem ser considerados equivalentes, ao nível de 1%, supondo que o desempenho têm distribuição normal.

12 É utilizado quando o mesmo grupo de elementos é submetido a algum tipo de tratamento em duas situações distintas (ou dois tempos distintos). O objetivo seria saber se um determinado tratamento realizado faz com que o resultado final se altere.

13 Consideremos duas amostras dependentes X 1,..., X n e Y 1,..., Y n. Neste caso consideraremos observações pareadas, isto é, podemos considerar que temos na realidade uma amostra de pares (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ). Vamos definir D i = X i Y i, para i = 1, 2,..., n. Assim obteremos a amostra D 1,..., D n, resultante das diferenças entre os valores de cada par. Assim, tem-se que D i N(µ D, σ 2 D ).

14 Assim, temos que a estatística do teste é T = D µ D s D n t (α,n 1) em que D = 1 n n D i = 1 n i=1 n (x i y i ), i = 1, 2,..., n. i=1 [ n ] sd 2 = 1 Di 2 ( n i=1 D i) 2, i = 1, 2,..., n. n 1 n i=1

15 Exemplo 1 Existindo reclamações por parte das associações de pais das escolas de Londrina, relativamente ao tempo que os filhos demoram a fazer os trajetos casa-escola utilizando os transportes públicos, a CMTU resolveu estudar a situação e propor itinerários alternativos. Os tempos, em minutos, que 12 ônibus demoraram a fazer os respectivos percursos, antes e depois da implementação dos novos itinerários, são dados por: Antes Depois Supondo que a diferença entre os tempos acima referidos se comportam de forma aproximadamente normal, diga se os novos itinerários resolveram o problema apresentado pelas associações de pais. Use α = 0, 05.

16 Exemplo 2 Certo distribuidor ao comercializar um novo aditivo assegura que este faz reduzir substancialmente o consumo de combustível. Uma organização de automobilistas resolveu comprovar tal afirmação, para o que selecionou 10 carros todos de modelos diferentes, que percorreram determinado trecho nas mesmas condições, primeiro sem aditivo e depois com aditivo. Os consumos em litros foram os seguintes: Sem aditivo 8,08 6,85 8,46 7,80 7,06 10,53 8,47 6,79 7,11 9,30 Com aditivo 7,71 6,72 8,42 7,76 6,70 10,34 8,42 6,21 6,83 9,29 O novo aditivo reduz o consumo? (α = 2, 5%).