rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade de Variância (ANOVA) 1/24

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1 ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 07: Análise de Variância (ANOVA) 1/24

2 Definição A análise de variância (ANOVA) é um método para testar a igualdade de mais de duas médias populacionais, baseado na análise de variâncias amostrais. 2/24

3 Por que não usar teste-t? Por que não fazer múltiplas m comparações usando o teste-t? Chance de incorretamente identificar a diferença a das médias m (erro tipo I) é aumentada para 1-(11 (1-α) n Por exemplo: para 4 sistemas (n=6 [12,13,14,23,24,34], α=0.05), a probabilidade de falsa rejeição é de 26% 3/24

4 ANOVA As hipóteses da ANOVA são as seguintes: H H : μ = μ =... = μa : μ μ, para pelo menos um par ( i, j) i j 4/24

5 Tratamento (nível) Notações n y y = y, y = ii i = 1,2,..., a n ii ij ii j= 1 a n y y = yij, y = ii ii ii, N = an N i= 1 j= 1 Observações Total Média 1 y y... 1n y y1 i y1 i 2 y 21 y y 2n y2 i y2 i a y a1 a2 y... an Total y i 1 y i 2 n y ya i ya i y 5/24 i y ii y ii

6 ANOVA O nome Análise de Variância é devido ao fato de que nós n s decompomos a variância total (SS T ) em 2 partes. SS = ( y y ) i= 1 j= 1 Pode ser mostrado que: T a n a n a a n T = ( ij ) = ( i ) + ii i ii ( ij ii) i= 1 j= 1 i= 1 i= 1 j= 1 SS y y n y y y y ij ii 2 SS Tratamentos entre média dos tratamentos e média geral SS Erro entre obs dentro 6/24 dos tratamentos e a média tratamentos

7 SS Erro ANOVA Variância devido ao acaso ou fatores desconhecidos SS Tratamentos Variância devido à fonte explicada ou fatores conhecidos a n a a n T = ( ij ) = ( i ) + ii i ii ( ij ii) i= 1 j= 1 i= 1 i= 1 j= 1 SS y y n y y y y SS Tratamentos entre média dos tratamentos e média geral SS Erro entre obs dentro 7/24 dos tratamentos e a média tratamentos

8 Média Quadrada dos Erros MS Erros a n a n a ( yij y ) i y i y ij i SSErros i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 n i i= 1 = = = N a N a N a 1 Substituindo o modelo yij = μ + ti + eij na equação acima temos: 2 1 a n a 2 1 n E( MSErros ) = E ( μ+ ti + eij ) μ+ ti + eij N a i= 1 j= 1 n i= 1 j= 1 Que após s desenvolvimentos nos mostra 2 que: EMS ( Erros ) = σ 8/24

9 Média Quadrática dos Tratamentos Através s de uma abordagem similar à anterior, podemos mostrar que: MS Tratamentos = EMS ( ) Tratamentos a n ( y y ) i= 1 ii a 1 = σ + n ii a 2 i= 1 t 2 i a 1 9/24

10 Média Quadrática dos Tratamentos Logo, se a hipótese nula for verdadeira, tanto a Média M Quadrática dos Erros quanto a Média M Quadrática dos Tratamentos irão ser estimadores não tendenciosos da variância. EMS ( ) Tratamentos a n t = σ + = a 1 σ + = a 1 σ i 2 i= /24

11 Estatística stica F Caso a hipótese nula seja verdadeira, a razão: MS F Tratamentos 0 = MS terá uma distribuição F. Erros Se: F > F α 0, a 1, N a Deveremos rejeitar H 0 11/24

12 Distribuição F Uma distribuição F surge em conexão com uma razão em que existe um número de graus de liberdade associado ao numerador (ν 1 ) e outro número de graus de liberdade com o denominador (ν 2 ). Ambos ν 1 e ν 2 são inteiros. A Tabela A.9 traz os valores críticos α = 0,10; 0,05; 0,01 e 0, /24

13 Efeitos da Variabilidade 13/24

14 Efeitos da Variabilidade 14/24

15 Suposições Valem as seguintes suposições quando testamos a hipótese de que três ou mais amostras provêm de populações com a mesma média: m 1) as populações têm distribuições normais 2) as populações têm o mesmo desvio-padrão 3) as amostras são aleatórias e mutuamente independentes 4) as diferentes amostras provêm de populações classificadas em apenas uma característica 15/24

16 Exemplo Os resultados a seguir são de um experimento com quatro tipos diferentes de caixas ( containers )) em que foram comparadas suas resistências à compressão (em lb): J: quantidade de medidas I: fatores (ou tratamentos) tipo de caixa força de compressão (lb) média da amostra desvio-padrão da amostra 1 655,5 788,3 734,3 721,4 679,1 699,4 713,00 46, ,3 772,5 786,9 686,1 732,1 774,8 756,78 40, ,3 639,0 696,3 671,7 717,2 727,1 697,60 36, ,4 628,7 542,4 559,0 586,9 520,0 593,07 73,27 grande média 690,11 16/24

17 Variação entre amostras (MS( Variação dentro das amostras (MS( MS Tratamentos ) MS Erros ) 17/24

18 ANOVA do Exemplo 18/24

19 ANOVA A característica que diferencia as populações umas das outras é chamada fator (ou tratamento). 19/24

20 Exemplos de experimentos um estudo dos efeitos de 5 diferentes tipos de gasolina na eficiência (km/l) do motor de um automóvel para estudar os efeitos da presença de quatro diferentes tipos de açúcar (glicose, sacarose, frutose e uma mistura dos três) ) no crescimento de bactérias 20/24

21 Single-factor ANOVA I = o número de populações ou tratamentos sendo comparados μ 1 = a média da população 1 ou a verdadeira resposta média quando o tratamento 1 é aplicado... μ I = a média da população I ou a verdadeira resposta média quando o tratamento I é aplicado 21/24

22 Single-factor ANOVA Portanto,, as hipóteses de interesse são: H 0 : μ 1 = μ 2 =... = μ I versus H 1 : pelo menos dois dos μ são diferentes 22/24

23 Exercício cio 43 A luminosidade de 3 tipos diferentes de lâmpadas de 60 watts foi determinada a partir de amostras de 8 lâmpadas.. As somas dos quadrados foi computada como SSE = 4.773,3 e SSTr = 591,2. Proponha a hipótese de interesse e use ANOVA (α( = 0,05) para decidir se existe diferença na média verdadeira das três marcas de lâmpadas. 23/24

24 Exercício cio 44 Num experimento para investigar a performance de 4 diferentes tipos de velas para motocicletas de 125cc, 5 velas de cada marca foram testadas. Complete a tabela ANOVA a seguir e conclua o teste: Source Brand df Sum of Squares Mean Square F Error ,69 Total ,76 24/24