Inferência para várias populações normais análise de variância (ANOVA)

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1 Inferência para várias populações normais análise de variância (ANOVA) Capítulo 15, Estatística Básica (Bussab&Morettin, 8a Edição) 9a AULA 11/05/2015 MAE229 - Ano letivo 2015 Lígia Henriques-Rodrigues 9a aula (11/05/2015) MAE229 1 / 24

2 Motivação Ideia chave: Construir um teste para comparar k (k > 2) populações normais com a mesma variância. Exemplos: Para curar uma certa doença existem quatro tratamentos possíveis: A, B, C e D. Pretende-se saber se existem diferenças significativas nos tratamentos no que diz respeito ao tempo necessário para eliminar a doença. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas a aula (11/05/2015) MAE229 2 / 24

3 Seja Y a v.a. de interesse de uma determinada população (indivíduos, animais, empresas...), e admita-se que os elementos da população podem ser classificados em níveis de um fator. Exemplo: Consideremos: Y altura dos indivíduos (variável de interesse) P população constituída por todos os indivíduos, fator: sexo (com dois níveis F e M) (i = 1, 2). Extraímos uma amostra de dimensão n 1 da população P 1 : pessoas do sexo masculino (y 11, y 12,..., y 1n1 ). Extraímos uma amostra de dimensão n 2 da população P 2 : pessoas do sexo feminino (y 21, y 22,..., y 2n2 ), e suporemos que as amostras recolhidas são independentes 9a aula (11/05/2015) MAE229 3 / 24

4 Seja: E(Y ) = µ a média global da v.a. Y para a população P (média das alturas de todos os indivíduos) E(Y P 1 ) = µ 1 a média da v.a. Y para a subpopulação P 1 (média das alturas do homens) E(Y P 2 ) = µ 2 a média da v.a. Y para subpopulação P 2 (média das alturas das mulheres) Neste exemplo, a hipótese a testar é, H 0 : µ 1 = µ 2 = µ versus H 1 : µ 1 µ 2 A questão é saber se o factor exerce alguma influência na variação da característica em estudo. 9a aula (11/05/2015) MAE229 4 / 24

5 No caso mais geral, admitimos que temos k amostras independentes, de k subpopulações (populações) P 1, P 2,..., P k, e onde k representa o número de níveis do fator, onde subpopulação P 1 = amostra y 11, y 12,..., y 1n1 subpopulação P 2 = amostra y 21, y 22,..., y 2n2 subpopulação P k = amostra y k1, y k2,..., y knk P 1 N(µ 1, σ 2 ) P 2 N(µ 2, σ 2 ) P k N(µ k, σ 2 ) 9a aula (11/05/2015) MAE229 5 / 24

6 Sejam: Y ij v.a. s que representam as observações (i = 1,..., k e j = 1,..., n i ) n i dimensão da subpopulação P i (i = 1,..., k) k número de níveis do fator µ i média da subpopulação P i (i = 1,..., k) µ média global (de todas as subpopulações) τ i = µ µ i o efeito do nível i ( k i=1 τ i = 0) e ij v.a s que representam o erro aleatório de cada observação e que supomos independentes entre si (E(e ij e im ) = 0 e E(e 1j e 2m ) = 0), e com variância σ 2. Modelo Y ij = µ i + e ij, i = 1,..., k j = 1,..., n i = µ + τ i + e ij, i = 1,..., k j = 1,..., n i 9a aula (11/05/2015) MAE229 6 / 24

7 Objetivo Admitindo que temos um fator com k níveis, o objetivo é estimar as médias de cada uma das subpopulações µ i (i = 1,..., k) e testar a hipótese ou { H0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k = µ H 1 : µ i µ j, para algum par (i, j) { H0 : τ 1 = τ 2 =... = τ k = 0 H 1 : τ i 0, para algum i Nota: O modelo anterior é designado de modelo de efeitos (níveis) fixos uma vez que as subpopulações, determinadas pelos níveis do fator, são pré-determinadas. 9a aula (11/05/2015) MAE229 7 / 24

8 Exemplo: Para curar uma certa doença existem quatro tratamentos possíveis: A, B, C e D. Pretende-se saber se existem diferenças significativas nos tratamentos no que diz respeito ao tempo necessário para eliminar a doença. Temos apenas um factor, Tratamento, que se apresenta em quatro níveis, A, B, C e D. Através da aplicação da análise de variância com um factor ou one-way ANOVA, podemos saber se os tratamentos produzem os mesmos resultados no que diz respeito à característica em estudo. 9a aula (11/05/2015) MAE229 8 / 24

9 Pressupostos: A aplicação da análise de variância pressupõe a verificação das seguintes condições: As amostras devem ser aleatórias e independentes. As amostras devem ser extraídas de populações normais. As populações devem ter variâncias iguais σ1 2 = σ2 2 =... = σ2 k, ou seja, o modelo é homocedástico. 9a aula (11/05/2015) MAE229 9 / 24

10 Temos então duas situações possíveis: H 0 é verdadeiro: As diferenças observadas entre as médias amostrais são devidas a flutuações amostrais e portanto todas as amostras provêm de populações com médias iguais. Como se supôs que todas as populações são normais e têm variâncias iguais, isto é o mesmo que extrair todas as amostras de uma única população. H 0 é falso: As diferenças observadas entre as médias amostrais são demasiado grandes para serem devidas unicamente a flutuações amostrais. As médias das populações não são iguais e as amostras recolhidas provêm de populações diferentes. 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

11 Análise Variância - ANOVA A análise de variância vai estimar a variância por dois métodos diferentes, um sob a validade da hipótese nula e o outro não. As duas estimativas obtidas são depois comparadas para tomarmos uma decisão: se os grupos tiverem todos a mesma média (isto é, se H 0 é verdadeiro), as duas estimativas devem estar próximas uma da outra, caso contrário (isto é, se H 1 é verdadeiro) devem diferir significativamente. 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

12 Decomposição da soma de quadrados Seja N = k n i, y i = i=1 k n i (y ij y) 2 = i=1 j=1 } {{ } SQTot ni j=1 y ij n i, y = k i=1 ni j=1 y ij N k n i (y i y) 2 + i=1 } {{ } SQEnt k i=1 = n iy i. N k n i (y ij y i ) 2 i=1 j=1 } {{ } SQDen SQTot = SQEnt + SQDen 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

13 SQTot > é a soma de quadrados total e mede a variação total nos dados; SQEnt > é a soma de quadrados entre os níveis, ou grupos, do factor e mede a variação entre grupos (populações); é por vezes designada por variação explicada, pois ela é explicada pelo facto de as amostras poderem provir de populações diferentes; SQDen > é a soma de quadrados dentro dos níveis, ou grupos, do factor e mede a variação dentro dos grupos (populações); é por vezes designada por variação não explicada ou residual, pois é atribuída a flutuações dentro do mesma população, portanto não pode ser explicada pelas possíveis diferenças entre os grupos (populações). 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

14 Estimativa entre da variância: Mostra-se que: k SQEnt i=1 σ 2 = n i(y i y) 2 σ 2 e que a estimativa da variância σ 2 é dada por: QMEnt = SQEnt k 1. H0 χ 2 (k 1) Estimativa dentro da variância: Mostra-se que: k ni SQDen i=1 j=1 σ 2 = (y ij y i ) 2 σ 2 e que a estimativa da variância σ 2 é dada por: QMDen = SQDen N k. H0 χ 2 (N k) 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

15 Estatística de Teste A estimativa dentro da variância, QMDen, não é afectada pela veracidade ou falsidade de H 0. Ao contrário, a estimativa entre da variância, QMEnt, já o é, sendo aproximadamente igual a QMDen quando H 0 é verdadeira e maior do que esta se H 0 é falsa. F = QMEnt QMDen H 0 F (k 1,N k) Se H 0 é verdadeira, σ 2 pode ser estimada pelos dois processos e como as duas estimativas serão aproximadamente iguais, a razão F será próxima de 1. Se H 0 for falsa, as diferenças nas médias populacionais vão provocar maior variabilidade nas médias amostrais e portanto QMEnt será também grande comparativamente com QMDen. A razão F tomará um valor maior que 1. Região Crítica RC=(c, + ), onde P(F (k 1,N k) > c) = α 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

16 Tabela de Análise de Variância Fonte da graus de SQ QM F Variação (F.V.) liberdade (g.l.) Entre k 1 SQEnt QMEnt= SQEnt QMEnt k 1 QMDen grupos Dentro N k SQDen dos grupos QMDen= SQDen N k Total N 1 SQTot QMTot 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

17 Fórmulas para cálculo das somas de quadrados SQTot = k ni i=1 j=1 y ij 2 Ny 2 ; SQDen = k i=1 (n i 1)S 2 i = k i=1 ( ni ) j=1 y ij 2 n i y 2 i SQEnt = k i=1 n i(y i y) 2 = k i=1 n iy 2 i Ny 2 Dados balanceados Se n 1 = n 2 =... = n k = n então N = nk. 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

18 Exemplo (pág. 431): Uma escola analisa seu curso por meio de um questionário com 50 questões sobre diversos aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta, numa escala de 1 a 5 (a v.a. Y ), em que a maior nota significa melhor desempenho. Na última avaliação, usou-se uma amostra de alunos de cada período, e os resultados estão na tabela abaixo. Existem as indicações estatísticas para dizer que o desempenho no curso tem uma influencia de período de aplicação do curso? Período Manhã Tarde Noite 4,2 2,7 4,6 4,0 2,4 3,9 3,1 2,4 3,8 2,7 2,2 3,7 2,3 1,9 3,6 3,3 1,8 3,5 4,1 3,4 2,8 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

19 Fator: período com 3 níveis i = 1 manhã (n 1 = 7) i = 2 tarde (n 2 = 6) i = 3 noite (n 2 = 8) N = = 21 Hipóteses: H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 versus H 1 : µ i µ j, para algum par (i, j) Estatística de Teste: F = QMEnt QMDen H 0 F (2,18) TABELA ANOVA 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

20 Teste de Homocedasticidade Uma das suposições para a aplicação da técnica da ANOVA é que a variância é igual em todos os níveis, mas nem sempre é possível garantir que este pressuposto é válido. Este teste tem como pressuposto que as populações tenham distribuição normal. Além disso, só é aplicável quando as diferentes amostras envolvidas têm dimensões n i 4 ( i). Teste de Bartlett Hipótese Nula: H 0 : σ 2 1 = σ2 2 =... = σ2 k Calcular a variância comum S 2 = k i=1 (n i 1)S 2 i N k = SQDen N k = QMDEn Calcular k M = (N k) ln S 2 (n i 1) ln Si 2 i=1 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

21 Calcular C = (k 1) [ k i=1 ( 1 ) ( 1 ) ] n i 1 N k Estatística de Teste (distribuição aproximada válida para amostras grandes): M C H 0 χ 2 (k 1) Região Crítica: RC=(c, + ), com α = P(χ 2 (k 1) > c). 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

22 Exemplo: Suponha que é director de marketing de uma empresa que pretende relançar um produto no mercado. Você estudou três campanhas de marketing diferentes, cada uma deles combina de modo diferente factores como o preço do produto, a apresentação do produto, promoções associadas, etc. Qualquer uma destas campanhas é levada a cabo no ponto de venda, não havendo qualquer publicidade nos meios de comunicação. Para saber se há diferença entre as três campanhas relativamente à sua eficácia, cada uma delas é feita num conjunto de lojas seleccionadas aleatoriamente, durante um período de duração limitada. Note que as lojas são seleccionadas de modo a que as três amostras sejam aleatórias e independentes entre si. As vendas (em unidades monetárias) registradas durante este período constam da tabela seguinte. 9a aula (11/05/2015) MAE / 24

23 Campanha 1 Campanha 2 Campanha Total Seja Y i a v.a. que representa o volume de vendas da loja sujeita à campanha i (i = 1, 2, 3). Estatísticas y 1 = 6.4; y 2 = ; y 3 = ; y = SQEnt = 44.04; QMEnt = ; SQDen = ; QMDen = a aula (11/05/2015) MAE / 24

24 H 0 : σ1 2 = σ2 2 = σ2 3 versus H 1 : σi 2 σj 2, para algum par (i, j) QMDen = M = C = M C H 0 χ 2 (2) RC = (9.21, + ) M/C = / RC Ao nível de significância de 0.01, não se pode rejeitar a hipótese de que as três variáveis populacionais tenham iguais variâncias. TABELA ANOVA 9a aula (11/05/2015) MAE / 24