Análise da Variância (ANOVA)

Transcrição

1 Análise da Variância (ANOVA) A Análise da Variância (ANalysis Of VAriance) é procedimento para testar a hipótese de que três ou mais médias populacionais são iguais de modo que: H 0 : µ 1 = µ = µ 3 H 1 : pelo menos uma das médias é diferente das outras. O teste é feito com base na análise das variâncias amostrais. Utiliza-se a distribuição F.

2 ANOVA de um fator Um tratamento (ou fator) é uma propriedade, ou característica, que nos permite distinguir as diferentes populações umas das outras. Estatística teste: F teste = variância entre amostras variância dentro das amostras

3 ANOVA de um fator Cálculos com tamanhos amostrais iguais F = teste n s s p s s p é a variância das médias amostrais é a média das variâncias amostrais Graus de liberdade: Numerador: gl 1 = k -1 Denominador: gl = k (n -1) k = número de amostras n = tamanho amostral

4 F ANOVA de um fator Cálculos com tamanhos amostrais diferentes teste i = k = 1 k n i= 1 k i= 1 i ( ) ( n 1) i i k 1 ( ) n 1 i s i Componentes-chave: é a média de todos os valores amostrais combinados Grau de Liberdade Numerador: gl 1 = k -1 Denominador: gl = N - k N = n i SQ(tratamento) Soma de quadrados SQ(erro) Representa a variação MQ(...) = SQ(...)/número: Média Quadrática

5 ANOVA de um fator Eemplo com tamanhos amostrais diferentes Níveis de álcool no sangue após o consumo de cinco doses da bebida. Grupos de homens A B C 0,11 0,08 0,04 0,10 0,09 0,04 0,09 0,07 0,05 0,09 0,07 0,05 0,10 0,06 0,06 0,04 0,05 Os integrantes do grupo A foram testados uma hora depois; do grupo B, duas horas depois e do grupo C quatro horas depois n i i s i N k

6 ANOVA de dois fatores Cálculos individuais em categorias de acordo com dois fatores. Em outras palavras: os valores amostrais são categorizados de duas maneiras. E. Na corrida de NY: Fatores: idade e seo. Seo Masculino Feminino Tempo (s) para corredores da Maratona NY Idade ou mais

7 ANOVA de dois fatores Cálculos individuais em categorias de acordo com dois fatores. Em outras palavras, os valores amostrais são categorizados de duas maneiras. E. Na corrida de NY: Fatores: idade e seo. Subcategorias (células), neste caso seis células Seo Masculino Feminino Tempo (s) para corredores da Maratona NY Idade ou mais

8 Procedimento para o cálculo: ANOVA de dois fatores Passo 1. Efeito da interação: Teste H 0, de que não há interação entre os dois fatores. Um procedimento é o gráfico de interação de médias de células. Verifique a estatística teste Tempo Médio (s) Milhares Idade Masculino Feminino F =MQ(interação) MQ(Erro) Se rejeitar H 0, para por aqui.

9 ANOVA de dois fatores =. j. L C n i= 1 j= 1 k = 1 = L LCn n i= 1 k = 1 Ln ijk ijk Média global n = número de repetições em uma célula i.. = C n j= 1 k = 1 Cn ijk Média do fator j (fatores em colunas) Média do fator i (fatores em linhas) ij. = n k =1 n ijk Média da célula i,j

10 Variação Total Variação Fator B ANOVA de dois fatores SQ( Total) = L C n ( ) ijk i= 1 j= 1 k = 1 Variação Fator A C SQ( C) = Ln Variação Decorrente da Interação SQ j= 1 ( ). j. L SQ( L) = Cn i= 1 ( ) i L C ( ) ( Interação) = n ij. i... j. + i= 1 j= 1 ( ) Erro SQ( Erro) = ijk ij. L C n i= 1 j= 1 k= 1..

11 Anova: fator duplo com repetição RESUMO ou mais Total Masculino ANOVA de dois fatores Contagem Soma Média 1397,4 1644, 1677, ,1 Variância , , , ,8 Feminino Contagem Soma Média 14678,4 1619,4 0456, Variância 76103, , , ,6 Seo Masculino Feminino Tempo (s) para corredores da Maratona NY Idade ou mais Total Contagem Soma Média 1430,9 1631, Variância 54370, , ,1 MQ(seo) MQ(idade) MQ(interação) MQ(erro) ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Amostra , ,6 1,69 0,1 4,6 Colunas , ,4 5,10 0,01 3,40 Interações , ,4 1,17 0,33 3,40 Dentro , ,3 Total ,4 9 Ecel: Ferramenta > Análise de dados > ANOVA Fator Duplo com repetição

12 ANOVA de dois fatores Procedimento para o cálculo (continuação) Passo. Efeitos de Linha/Coluna Linha: Teste H 0, Não há qualquer efeito do fator linha (As médias das linhas são iguais) F = MQ(seo) / MQ(erro) ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Seo Amostra , ,6 1,69 0,1 4,6 Idade Colunas , ,4 5,10 0,01 3,40 Interação Interações , ,4 1,17 0,33 3,40 Erro Dentro , ,3 Total ,4 9

13 ANOVA de dois fatores Procedimento para o cálculo (continuação) Passo. Efeitos de Linha/Coluna Linha: Teste H 0, Não há qualquer efeito do fator coluna (As médias das colunas são iguais) F = MQ(idade) / MQ(erro) ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Seo Amostra , ,6 1,69 0,1 4,6 Idade Colunas , ,4 5,10 0,01 3,40 Interação Interações , ,4 1,17 0,33 3,40 Erro Dentro , ,3 Total ,4 9

14 Conclusão do eemplo: ANOVA de dois fatores Com base nos dados amostrais, concluímos que os tempos parecem ter médias desiguais para diferentes categorias de idade, mas os tempos parecem ter médias iguais para ambos os seos.