4. PLANEAMENTO EXPERIMENTAL

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1 4. PLANEAMENTO EXPERIMENTAL 4.. Razões para o planeamento de experiências Realizam-se experiências em quase todas as áreas do conhecimento, usualmente para descobrir algo acerca de determinado processo ou sistema. Por experiência entende-se uma investigação em que o sistema em estudo está sob controlo do investigador. Pelo contrário, em estudos observacionais, a variável resposta é medida sem que o responsável pelo estudo controle um ou mais dos aspectos do assunto. O formato dos dados poderá ser similar ou quase idêntico nos dois contextos. A diferença reside na "firmeza de interpretação" acerca das diferenças aparentes na variável-resposta resultantes dos diferentes factores. Contudo, na prática, é muitas vezes difícil distinguir os dois casos. Os principais elementos de uma experiência são as unidades experimentais (pessoas, animais, pacientes, matérias-primas, parcelas de terreno, etc.), os factores (que por vezes são subdivididos em níveis ou tratamentos) e a variável-resposta (que pode ser uma ou várias). Em esquema, pode-se imaginar uma experiência como um conjunto de diferentes tratamentos aplicados pelo investigador a cada unidade experimental do sistema em estudo, após o que se mede a resposta (Figura 4.). Figura 4. Modelo geral de um processo ou sistema. Recomenda-se que o planeamento e análise de experiências sigam alguns passos: ) antes do planeamento propriamente dito, deve-se identificar e definir o problema, escolher os factores e níveis e seleccionar a variável-resposta; ) escolher o plano experimental; 3) realizar a experiência; 4) analisar estatisticamente os resultados; e 5) elaborar conclusões ou recomendações. Os requisitos mais importantes para o planeamento duma experiência (ou desenho APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

2 experimental para autores anglófonos) podem resumir-se aos seguintes: evitar os erros sistemáticos ou enviesamentos; minimizar os erros aleatórios ou "erros naturais"; deve ser possível estimar a magnitude dos erros aleatórios; os resultados devem ser o mais preciso possível; por fim, deve aproveitar-se uma eventual estrutura especial dos dados através da combinação de factores. Em resumo, os três princípios básicos do desenho experimental são: a replicação (ou repetição da experiência básica, do ensaio, para estimação do erro aleatório), a aleatorização (da alocação de tratamentos, ou níveis de factores, às unidades experimentais para redução dos erros sistemáticos durante a experiência e para garantir a independência das observações e dos erros) e a utilização de blocos (técnica destinada a reduzir ou eliminar a variabilidade introduzida por factores nuisance, isto é, factores que podem influenciar a experiência mas que não interessam e/ou não foram explicitamente incluídos durante o planeamento). Existe uma relação estreita entre o plano (ou desenho) experimental e a posterior análise dos resultados da experiência, uma vez que o objectivo do desenho experimental é tornar a análise e interpretação dos resultados tão simples e clara quanto possível! Uma técnica estatística designada por Análise de Variância (ou ANOVA, do inglês "ANalysis Of VAriance") é vulgarmente utilizada para analisar os resultados de experiências. O planeamento de experiências com o objectivo de optimizar eficientemente a qualidade dum produto (alimentar) com o mínimo de custos possível pode ser visto como um processo em duas fases: ) determinação dos factores críticos dum conjunto alargado de variáveis (condições de operação e/ou ingredientes) que influenciam o produto (ou screening ). Nesta fase, os planos experimentais factoriais k (completos ou incompletos) são extremamente úteis e eficazes (secção 4.); e ) optimização dos factores de forma a atingir os objectivos pretendidos no que concerne o comportamento da variável-resposta (ou optimization ). Podem utilizar-se metodologias de superfície de resposta (RSM) para desenvolver esta fase (secção 4.3). 4.. Experiências factoriais Existem várias estratégias de experimentação para estudar a influência de tratamentos ou factores sobre determinado sistema (e consequentemente sobre uma dada variável-resposta). A mais correcta, nos casos que envolvem vários factores, é realizar uma experiência factorial, na qual se variam simultaneamente todos os (níveis dos) factores em estudo ao invés de ensaiar um factor de cada vez. Neste caso, estuda-se sucessivamente o efeito sobre a variável-resposta de cada um dos factores mantendo os restantes constantes. A maior desvantagem da estratégia um-factor-de-cada- APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

3 vez, que é muito comum na prática industrial, é não permitir estudar as possíveis interacções entre factores. Por outro lado, a estratégia de um-factor-de-cada-vez é sempre menos eficiente do que uma experiência factorial Experiências completas Considere-se, por exemplo, uma experiência em que se pretende estudar a influência de dois factores (cada um com dois níveis distintos) sobre determinada variável-resposta. A Figura 4. esquematiza essa experiência em que se repetiram duas vezes todas e cada uma das combinações de factores (isto é, existem duas repetições/réplicas por combinação). A experiência ilustrada na Figura 4. designa-se por experiência factorial completa (por vezes designada desenho factorial completo), uma vez que se "experimentaram" todas as combinações possíveis de níveis de factores. É possível estender a experiência a mais factores, contudo a partir de determinada dimensão do desenho experimental já não será possível ilustrar todas as combinações testadas. Figura 4. Resultados duma experiência realizada para estudar os efeitos destes factores sobre o "handicap" dum jogador de golfe e ilustração dos cálculos necessários para estimar os efeitos de dois dos factores: tipo de taco, O ou R; e tipo de bola, T ou B. Os resultados da experiência (nº de pancadas) estão resumidos em (a) e ilustram-se os cálculos para as comparações (b) entre tipos de tacos (efeito do taco), (c) entre tipos de bola (efeito da bola) e (d) para a interacção entre os tipos de taco e de bola (efeito interacção). APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

4 4... Experiências incompletas Noutros casos, por razões de tempo ou de financiamento, não é possível realizar todas as combinações de factores, por exemplo quando se pretendem estudar quatro, cinco ou mais factores. Neste contexto, apenas se executam ensaios para uma parte das combinações de factores, o que se designa por experiência factorial incompleta (ou desenho factorial incompleto) (Figura 4.3). Figura 4.3 Experiência factorial incompleta com quatro factores: tipo de taco; tipo de bola; tipo de bebida; e modo de deslocação no campo. Pretende-se estudar os efeitos destes factores sobre o "handicap" do jogador. Os vértices assinalados com um círculo indicam as combinações de factores que foram ensaiadas Experiências com um factor Considere-se o caso mais simples: uma experiência em que se pretende estudar a influência de determinado factor (com a níveis) sobre uma variável-resposta Y (Exemplo 4.). Exemplo 4. Considere-se o conjunto de resultados como os que se apresentam na Tabela 4.. Pretendeu-se estudar a influência da percentagem dum determinado conservante (% p/v) sobre o tempo de armazenagem (em dias) de um produto alimentar. Realizou-se uma experiência completamente aleatorizada com cinco observações (réplicas ou repetições) por nível do factor (5, 0, 5, 30 e 35% p/v). Níveis do factor (% p/v) y y y 3 y 4 y 5 Total Média , , , , , ,04 Tabela 4. Resultados duma experiência com um factor. Para cada um dos a = 5 níveis do factor em estudo (% conservante, %p/v), obtiveram-se cinco observações y i da variável-resposta (tempo de armazenagem, dias). APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

5 A informação contida na Tabela 4. pode ser resumida através de vários tipos de representações gráficas, nomeadamente através dum diagrama de caixas-de-bigodes ou de dispersão (Figura 4.4). Com base nessa representação, é possível descrever e examinar os resultados obtidos mas não é possível retirar conclusões. Figura 4.4 Diagramas de caixas-e-bigodes (painel da esquerda) e de dispersão (painel da direita) duma experiência para estudar a influência da percentagem de conservante, em cinco níveis de 5 a 35%, sobre o tempo de armazenagem, em dias (Exemplo 4.). No diagrama de caixas-e-bigodes ( Boxplot ) representa-se a mediana (traço horizontal), o º e 3º quartil (limites da caixa) e os extremos (pontos). No diagrama de dispersão, os resultados são representados pelos e as médias dos tratamentos/níveis por. Contudo, se se quiser ser mais objectivo pode-se recorrer a uma técnica estatística mais elaborada, e também mais apropriada, que permite comparar várias médias (neste caso dos diferentes níveis do factor em estudo) ANOVA. A Tabela 4. é uma generalização da Tabela 4.. Cada entrada na tabela, y ij (por exemplo y ), representa a j-ésima observação para o tratamento i, e existem n observações para um dado tratamento (ou nível) i do factor. Para descrever a situação resumida na Tabela 4., pode-se adoptar o modelo-tipo y ij = µ i + εij (4.) em que y ij é a ij-ésima observação (i=,,..., a e j=,,..., n), µ i designa a média (ou valor esperado) das observações para o nível i (i=,,..., a) e ε ij é o erro aleatório (que inclui todas as fontes de erro da experiência). É conveniente pensar que os erros possuem média igual a zero e que portanto E(y ij )=µ i. A equação (4.) é designada como "modelo das médias". Uma alternativa àquela formulação é definir α i, ou efeito do tratamento i, e então o modelo será y ij = µ + αi + εij (4.) APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

6 em que µ será um parâmetro global (alguns autores referem-se à "média geral"). O efeito de determinado factor corresponde à variação média na variável-resposta em função da variação entre níveis desse factor. Esta última equação é geralmente designada como "modelo dos efeitos" e é a mais frequente na bibliografia. As equações (4.) e (4.) são modelos estatísticos lineares (i.e. a variável-resposta é função linear dos parâmetros do modelo). Assume-se, ainda, que a experiência foi realizada de forma aleatória e com igual número de observações por tratamento, ou seja, constitui uma experiência completamente aleatorizada (ou casualizada) 7. Níveis i do factor Observações (réplicas) y i y y... y n y y i y y y... y n y y a y a y a... y an y a Tabela 4. Tabela de resultados duma experiência completamente aleatorizada com um factor (generalização da tabela anterior). Em que y.. e y são a soma e a média de todas as observações, respectivamente. y.. y a y Os objectivos da análise são testar hipóteses (apropriadas) acerca das médias dos tratamentos e estimar os seus efeitos utilizando como técnica de eleição a análise de variância (ANOVA). Para isso, assume-se que os erros são variáveis aleatórias independentes e com distribuição normal de média igual a zero e variância σ, ε ij ~ IN(0, σ ). Considera-se, também, que a variância σ é constante para todos os tratamentos, ou seja y ij ~ N(µ+a i, σ ) e que y ij são mutuamente independentes. A equação (4.) pode descrever dois tipos de situações. Uma situação em que os tratamentos (ou níveis) a foram escolhidos arbitrariamente pelo investigador pelo que as conclusões aplicam-se apenas aos tratamentos definidos. É possível estimar os parâmetros do modelo. Este caso designa-se como modelo de efeitos fixos. Outra situação, é considerar que os tratamentos a estudados são uma 7 A inexistência de alguns (poucos) resultados não coloca problemas de maior à validade das conclusões da ANOVA (simples). Contudo, no caso das experiências factoriais (vide adiante), se o nº de resultados por tratamento não é igual então a experiência diz-se não-ortogonal. Este facto, pode ser ultrapassado descartando, de forma aleatória, alguns resultados (dos factores com maior nº de ensaios) ou usando técnicas estatísticas específicas (Wuensch, Two Way Orthogonal Independent Samples ANOVA: Computations, disponível em docs30/factorial-computations.doc, consultado em 3/0/007). APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

7 amostra duma população mais vasta de tratamentos e, portanto, pretende-se estender as conclusões aos tratamentos (ou níveis) não considerados na experiência. Não faz sentido estimar os parâmetros do modelo mas sim estudar a sua variabilidade. Neste caso estamos a estudar um modelo de efeitos variáveis. Consideraremos para já um modelo de feitos fixos e o método dos mínimos quadrados como procedimento óptimo para estimar os parâmetros do modelo na análise de variância. Nestas condições, com a ANOVA pretende-se testar as seguintes hipóteses: H 0 : µ = µ =... = µ a (ou equivalentemente, os efeitos α = α =... = 0) H : Nem todos as µ i são iguais (ou equivalentemente, algum efeito α i 0). A designação ANOVA está relacionada com a subdivisão da variabilidade total (de determinado problema, conjunto de resultados, etc.) nos seus componentes. De modo similar à abordagem da ANOVA no contexto de regressão linear (ver secção.3.3.., pág. 9 e seg.), a variabilidade total dos resultados (medida pela soma dos quadrados total SQ T ) inclui uma parte devida, neste caso, às diferenças (à variação) entre tratamentos, medida pela SQ Tratamento, e uma outra relativa aos erros aleatórios (ou variação dentro dos tratamentos, medida pela SQ Erro ), o que se poderia escrever simbolicamente como SQTotal = SQTratamento + SQErro (4.3) Podem calcular-se estas medidas através de várias formulações. A SQ T obtém-se a partir de a n a n.. T = ( ij ) = ij i= j= i= j= N SQ y y y y (4.4) em que y é a média e y.. é a soma de todas as observações y ij, respectivamente. Considere-se, agora, a SQ Erro e a SQ Tratam como resultado de a n Erro = ( ij i ) (4.5) i= j= SQ y y SQ y y y a a.. Tratam = ( i ) = i i= n i= N y (4.6) em que y i é a média das observações no tratamento/nível i. Podemos refinar estas medidas da variabilidade de modo a obter duas estimativas, separadas, da variância (da variabilidade) da população. Sabendo que APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

8 gltotal = gltratam + glerro (4.7) isto é, se N = n for o número total de observações (ou N = n a se n for igual para os vários i tratamentos) então ( N ) = ( a ) + ( N a), é possível calcular as médias quadráticas : MQ Tratam SQTratam = a (4.8) MQ Erro SQErro = N a (4.9) que estimam, de forma independente e não-enviesada, a variância da população em estudo. Prova- se, ainda, que a melhor estimativa da variância, ˆ σ, é dada pela MQ Erro, isto é, E{MQ Erro }=σ (ver secção.3.). É possível testar as hipóteses avançadas inicialmente recorrendo à estatística de teste F 0, que no caso de H 0 ser verdadeira segue distribuição teórica de F com (a ) e (N a) graus de liberdade. A e.t. F 0 obtém-se da seguinte forma MQ F0 = MQ Tratam Erro (4.0) Se f 0 > f t = f α [a, N a], rejeita-se H 0 e, portanto, com 00( α)% de confiança existem diferenças entre tratamentos. Alternativamente, poderia utilizar-se o p-value para a tomada de decisão. Na Tabela 4.3 resume-se esta informação numa tabela de ANOVA. Fonte de variação SQ g.l. MQ F 0 Tratamentos Equação (4.6) a Equação (4.8) Equação (4.0) Erro Equação (4.5) N a Equação (4.9) Total Equação (4.4) N Tabela 4.3 Tabela da ANOVA para uma experiência completamente aleatorizada com um factor (de efeitos fixos). É possível estimar os parâmetros do modelo de efeitos fixos (equação 4.), bem como os respectivos intervalos de confiança, através de ˆ µ = y (4.) a = y y ˆi i (4.) para os tratamentos i =,,, a. Para o i-ésimo tratamento, o intervalo de 00( α)% de APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

9 confiança da média µ i é dado por ˆ σ σˆ yi tα µ i yi + tα (4.3) [ N a] n [ N a] i ni uma vez que yi ai T = (4.4) σˆ ni tem distribuição t de Student com (N a) graus de liberdade. Exemplo 4. (cont.) Considere-se o conjunto de resultados incluídos na Tabela 4.. Utilizando a ANOVA para testar as hipóteses H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 vs. H : Pelo menos uma µ i diferente, temos que (376) SQ T = (7) + (7) + (5) (5) + () = 636,96 5 (376) SQTratamentos = (49)... (54) 475, = e SQ Erro = 636, , 76 = 6, 0. 5 A partir destas quantidades é possível obter as MQ e a estatística de teste pretendida, F 0 (Tabela 4.4). Observe-se que a MQ Tratam é bastante superior à MQ Erro, o que indica que é pouco provável que os tratamentos sejam iguais, isto é, a variabilidade devida aos tratamentos é substancialmente superior aos erros aleatórios. De facto, f 0 = 4,76 > f T = f 0,05 [4,0] =,87, isto é, rejeita-se H 0 para um nível de significância de 0,05. Com ( α)00% de confiança existem diferenças entre os tratamentos! Alternativamente, poderia calcular-se um valor-p para a estatística de teste: neste caso, valor-p = 9, x 0-6. As estimativas dos parâmetros do modelo dos efeitos são ˆ µ = 5, 04 dias para o efeito global e ˆ α = 5,4, ˆ α = + 0, 36, ˆ α 3 =, 56, ˆ α 4 = + 6, 56 e ˆ α5 = 4, 4 dias, para os efeitos dos cinco níveis (tratamentos) analisados. O intervalo de 95% de confiança para a média do tratamento 4 (30% p/v), por exemplo, é dado por,60,086 8,06 5 y dias e que [ ], =,60 α 0 = ±, isto é, [8,95 dias; 4,5 dias], sabendo que t. Para que os resultados da ANOVA sejam válidos, considera-se que: os modelos (4.) ou (4.) se aplicam à experiência em questão; os erros são variáveis aleatórias independentes e com distribuição normal de média igual a zero e variância σ ; e, ainda, que a variância σ é constante para todos os tratamentos, ou seja y ij ~ N(µ+a i, σ ), e que y ij são mutuamente independentes. APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

10 Fonte de variação SQ g.l. MQ F 0 Tratamentos 475,76 4 8,94 4,76 Erro 6,0 0 8,06 Total 636,96 4 Tabela 4.4 Tabela da ANOVA para o Exemplo 4.. Na prática, estes pressupostos não se verificam exactamente. Portanto, não se devem utilizar os resultados da ANOVA até se confirmar a validade daqueles pressupostos. Podem investigar-se as possíveis violações dos pressupostos básicos analisando os resíduos. O resíduo da observação j do tratamento i é dado por e = y yˆ (4.5) ij ij ij sendo que através de ŷij é o valor estimado pelo modelo correspondente à observação y ij e que se obtém y ˆij = y (4.6) i isto é, o valor estimado duma qualquer observação do tratamento i não é mais do que a média desse tratamento. O exame dos resíduos deve fazer parte da ANOVA. Se o modelo for adequado, os resíduos não apresentarão nenhuma estrutura ou padrão! É possível, examinando graficamente os resíduos, identificar vários tipos de violações aos pressupostos iniciais (cf. secção.4.6.). A elaboração dum diagrama de dispersão dos valores ordenados dos resíduos (nos xx) contra a sua frequência relativa acumulada (nos yy), um "normal probability plot of residuals" para os autores anglófonos, permite avaliar visualmente o pressuposto de que y ij ~ N(µ+a i, σ ). Na Figura 4.5 apresenta-se esse diagrama dos resíduos da ANOVA do Exemplo 4.. Se a distribuição subjacente aos erros for normal, então a representação dos pontos nesse diagrama deverá corresponder, aproximadamente, a uma linha recta, aliás como acontece com os dados apresentados na Figura 4.5. A representação dos resíduos contra o tempo, isto é, ordenados conforme foram obtidos durante a experiência (pela ordem dos ensaios ou run order ) permite avaliar o pressuposto de independência das observações. Se se observar alguma tendência nesse gráfico então é provável que exista correlação entre resíduos e, logo, que aquele pressuposto foi violado. Os resultados do Exemplo 4. não parecem indicar nenhum problema com a independência entre observações (Figura 4.6). APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

11 Normal plot of residuals Normal % probability Studentized Residuals Figura 4.5. "Normal probability plot" dos resíduos ("Studentized Residuals") da ANOVA do Exemplo 4. conforme é desenhado pelo software Design-Expert 6. Residuals vs. Run Studentized Residuals Run Number Figura 4.6 Gráfico dos resíduos vs. tempo ("Run Number") para a ANOVA do Exemplo 4. [DX6]. Se se representarem os resíduos contra os valores esperados de y num diagrama de APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

12 dispersão, podemos verificar outro pressuposto da ANOVA, a homocedasticidade (ou homogeneidade de variâncias entre tratamentos). A Figura 4.7 ilustra os resultados da ANOVA relativa ao Exemplo 4.. Também neste aspecto não parece ocorrer violação do pressuposto inicial. Por outro lado, a forma da "nuvem de pontos" poderá dar informações acerca da adequação do modelo ajustado (cf. secção.4.6.). A utilização dos resíduos padronizados e ij (neste caso, usando ( ˆ n ) eij = eij σ i para obter os studentized residuals ) permite, ainda, identificar as observações demasiado extremas, os outliers. É possível analisar a homogeneidade das variâncias através de testes de hipóteses formais, por exemplo usando o teste de Bartlett 8 ou o teste (modificado) de Levene (que não será abordado em detalhe aqui). O primeiro recorre a uma estatística de teste, χ 0, derivada dos desvios-padrão dos tratamentos e dos graus de liberdade, com distribuição qui-quadrado. O segundo examina as médias dos desvios absolutos entre as observações usando uma ANOVA. yij e a mediana do tratamento i, d ~ ij = yij yi, Residuals vs. Predicted Studentized Residuals Predicted Figura 4.7 Gráfico dos resíduos versus valor esperado da variável-resposta ("Predicted"). 8 O teste de Bartlett é bastante sensível a violações do pressuposto de normalidade dos erros, pelo que se deve utilizar nos casos em que aquela condição não é duvidosa. APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

13 Depois de se verificar existirem diferenças entre as médias dos tratamentos (i.e. rejeitar a H 0 com determinada confiança) será útil comparar as várias médias com o objectivo de identificar qual (ou quais) são diferentes. Existem vários métodos para realizar estas comparações múltiplas de médias. Suponha-se que estamos interessados em comparar as médias dos níveis i e j, ou seja, testar as hipóteses H 0 : µ i = µ j vs. H : µ i µ j para qualquer i j. Para as médias y i e y j, calcule-se o erropadrão da diferença entre as médias, em que n i e n j são o número de observações para os tratamentos i e j: se Então, a estatística de teste é dada por: ( ni n ) y y j = ˆ + j i σ (4.7). T d y y i j = (4.8) se yi y j Região de rejeição será: td > t α [ N a] Como anteriormente, o valor da prova (ou p-value) ou nível de significância associado ao valor da estatística de teste constitui uma medida do grau em que os dados amostrais contradizem a hipótese nula. Se p-value<α (pré-estabelecido) então a H 0 deve ser rejeitada. Uma vez conhecido o p-value, o investigador pode decidir acerca da significância dos dados sem ter predefinido α: a quantidade α pode ser interpretada como a confiança para rejeitar H 0. Os resultados dos (múltiplos) testes de comparação entre médias exemplificam-se na Figura 4.8 e ilustram-se na Figura 4.9 (página seguinte), em que se incluem as observações, as médias e os respectivos limites dos intervalos de confiança. Estes intervalos obtêm-se através da equação (4.3). Se os intervalos de confiança se sobrepuserem, relativamente ao eixo das ordenadas, então não será possível distinguir as médias Experiências factoriais k completas Muitas experiências envolvem o estudo dos efeitos de dois ou mais factores. Geralmente, os planos experimentais factoriais são os mais eficientes para estudar este tipo de experiências. Consideraremos agora os casos que envolvem k factores cada um com dois níveis (ou tratamentos) daí a designação desenhos factoriais k por serem os mais utilizados e por constituírem a base de outros planos experimentais mais complexos. Neste capítulo, assumiremos que: os efeitos são APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

14 fixos; os planos experimentais são completamente aleatorizados; e que as observações são independentes e normalmente distribuídas. (...) Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error T T T T T Mean Standard t for H0 Treatment Difference DF Error Coeff=0 Prob> t vs vs vs <0.000 vs vs vs vs vs vs vs < (...) Figura 4.8 Excerto da análise dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.. Observese a última coluna "Prob > t " do grupo de resultados inferior. Para casos em que esse valor < α, a diferença entre as médias dos tratamentos indicadas é significativa. Response vs. Treatment Tempo (d) Percentagem Figura 4.9 Gráfico-resumo dos resultados da variável-resposta vs. tratamentos ( a 5). Apresentam-se as observações ( ), as médias e os intervalos de 95% de confiança das médias. É possível verificar as conclusões da análise estatística apresentada na figura anterior. APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

15 Experiências com dois factores O caso mais simples de experiências factoriais k envolve apenas dois factores, cada um com dois níveis, um "baixo" e um "alto" experiência factorial. O Exemplo 4. descreve e a Figura 4.9 ilustra uma investigação deste tipo com três (observações) réplicas por combinação de níveis de factores. Consideraremos, no texto que se segue, experiências factoriais com réplicas. Exemplo 4. Numa determinada indústria química pretende-se estudar a influência da concentração dum composto químico (A) e da quantidade de catalisador (B) sobre a taxa de conversão (Y, %) dum processo químico. Decidiu realizar-se uma experiência factorial, em que se consideraram dois níveis do factor A (5 e 5%) e do factor B ( e g) e se obtiveram três resultados (observações, ou réplicas) por combinação de tratamentos. Os resultados estão incluídos na Figura 4.0. Na Figura 4.0, utiliza-se uma das notações possíveis para descrever uma experiência factorial (Tabela 4.5, página seguinte). A notação adoptada, nomeadamente para o cálculo dos efeitos, será a de atribuir "rótulos" (notação 3 na Tabela 4.5) às combinações possíveis. Figura 4.0 Combinações possíveis numa experiência factorial, e respectivos resultados, que envolveu os factores: concentração dum composto (A); e quantidade de catalisador (B). tipo: Os resultados duma experiência factorial podem ser descritos por um modelo dos efeitos do y = µ + α + β + ( αβ ) + ε (4.9) ijk i j ij ijk APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

16 em que y ijk indica cada uma das observações (i=, ; j=, ; k=,,..., n), µ é o efeito médio global, α i é o efeito do i-ésimo nível do factor A (i=, ), β j é o efeito do j-ésimo nível do factor B (j=, ), (αβ) ij é o efeito da interacção entre os factores (i=, ; j=, ), e ε ijk é a componente do erro aleatório. Notação Notação Notação 3 Notação 4 Unidade experimental A B A B Rótulos A B - - () a b ab Tabela 4.5 Possibilidades de notação utilizadas para indicar os diversos níveis duma experiência factorial (neste caso com dois factores A e B). Pode usar-se " " ou "-" para nível "baixo" e "+" ou "+" para o nível "alto" (primeiras colunas). Ou, então, rótulos em que se utiliza uma letra minúscula para indicar a presença do nível "alto" numa dada combinação e () para a combinação que incui os níveis "baixo" dos factores. Ou, finalmente, a indicação através de "0" ou "" que se referem à ausência ou presença do factor, respectivamente. Estamos interessados em testar, através duma ANOVA, as seguintes hipóteses acerca do factor A, do factor B e da interacção entre factores: H 0 : α = α = 0 vs. H : Algum α i 0 H 0 : β = β = 0 vs. H : Algum β j 0 H 0 : αβ ij = 0, para todos i, j vs. H : Algum (αβ) ij 0. É possível testar estas hipóteses e estudar o efeito de cada um dos factores, efeitos principais, e da interacção entre factores, efeito da interacção. Sejam y i a soma das observações para o nível i do factor A, y j a soma das observações para o nível j do factor B, y ij a soma das observações para a combinação ij dos factores A e B, e y... a soma de todas as observações. Considerem-se, ainda, y i, y j, quadrados total pode ser escrita como y ij e y... como as correspondentes médias. Assim, a soma dos n i= j= k = ( y ) ijk y... = n i... j... ij i j... ijk ij i= j= i= j= i= j= k = = n ( y y ) + n ( y y ) + n ( y y y + y ) + ( y y ) (4.0) e que se pode resumir a APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

17 SQT = SQA + SQB + SQAB + SQErro (4.) com (4n ), (a ) =, (b ) =, (a )(b ) = e 4(n ) graus de liberdade, respectivamente. A variabilidade total das observações (medida pela SQ T ) pode ser decomposta na variabilidade das médias dos níveis do factor A (SQ A ), na variabilidade correspondente ao factor B (SQ B ), nos efeitos dos factores A e B actuando em conjunto e que não são atribuíveis ao factor A nem ao factor B separadamente (SQ AB ) e na variabilidade nos dados devida a factores aleatórios (e não explicada), SQ Erro. A partir da divisão de cada umas das somas dos quadrados dos efeitos e do erro pelo respectivo número de graus de liberdade obtêm-se as médias quadráticas: MQ A, MQ B, MQ AB e MQ Erro. É possível, então, testar as hipóteses avançadas inicialmente recorrendo à estatística de teste F 0, que no caso das H 0 serem verdadeiras segue distribuição teórica de F com grau de liberdade no numerador e 4(n ) graus de liberdade no denominador. As e.t. F 0 para cada efeito obtêm-se da seguinte forma MQ MQ MQ F =, F = e F = (4.) A B AB MQErro MQErro MQErro Se f 0 > f t = f α [g.l. numerador, g.l. denominador ], rejeita-se H 0 e, portanto, com 00( α)% de confiança os efeitos dos factores são significativos. Alternativamente, poderiam utilizar-se os p- value para a tomada de decisão. A primeira H 0 a testar é a que se refere à interacção entre os factores A e B. A sua rejeição significa que os factores são não-aditivos e, portanto, aqueles factores interagem. Nesta situação terá pouco interesse testar as H 0 referentes aos efeitos principais de A e B. Será preferível verificar qual a melhor combinação A i B j. Recorde-se a Figura 4.0. Empiricamente, podem calcular-se os efeitos médios dos factores A e B e da interacção AB, respectivamente, pelas equações: A = [ ab + a b () ] (4.3) n B = [ ab + b a () ] (4.4) n AB = [ ab + () a b] (4.5) n em que (), a, b e ab se referem às somas dos resultados para as combinações de factores conforme se ilustram na Figura 4.0 e n é número total de observações. Os mesmos resultados se obtêm considerando as equações seguintes: APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

18 em que ˆi µ = y i, ˆ µ j = y j, ˆij µ = y ij e ˆ µ = y.... ˆ µ ˆ µ (4.6) i ˆ µ ˆ µ (4.7) j ˆ µ ˆ µ ˆ µ + ˆ µ (4.8) ij i j Exemplo 4. (cont.) Os resultados da experiência na indústria química apresentada anteriormente, permitem calcular as várias quantidades necessárias para a análise de variância e elaborar a Tabela 4.6. Os cálculos envolvidos são muito facilitados pela utilização de software apropriado (por exemplo, Design-eXpert da Stat-Ease Inc.). Na Tabela 4.6 verifica-se que no modelo a interacção entre os factores A e B não é significativa (p=0,86). Apresentam-se, na Figura 4., excertos da análise estatística dos resultados da experiência providenciados por aquele software. Fonte de variação SQ g.l. MQ F 0 p-value A 08,33 08,33 53,5 0,000 B 75,00 75,00 9,3 0,004 AB 8,33 8,33,3 0,86 Erro 3,34 8 3,9 Total 33,00 Tabela 4.6 Análise de variância dos resultados da experiência apresentada no Exemplo 4.. Facilmente se expressam os resultados duma experiência factorial k usando um modelo de regressão, obtido a partir do modelo dos efeitos (cf. equação 4.9). Neste caso, y β + β x + β x + β x + ε, em que x e x são as variáveis independentes (os factores A e B) e = 0 3 x x x é a correspondente interacção (AB), codificadas de acordo com a notação e + (cf. Tabela 4.5), e que têm uma relação linear com as variáveis naturais v do tipo x ( v m) h = (em que m é o valor intermédio e h é a amplitude entre os dois níveis dum dado factor). Os coeficientes β j obtêmse a partir das estimativas dos efeitos (equações 4.3 a 4.5), sendo que β =, β = e β 3 = AB. A relação β = A, por exemplo, está relacionada com o facto dos coeficientes de regressão medirem o efeito da variação unitária de x sobre a variação média de y enquanto os efeitos se baseiam numa variação de duas unidades, de a + (ver adiante). A B APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

19 (...) (...) ( ) (...) Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model significant A <0.000 B AB Pure Error Cor Total Std. Dev..98 R-Squared Mean 7.50 Adj R-Squared C.V. 7.0 Pred R-Squared PRESS Adeq Precision.669 Final Equation in Terms of Coded Factors: Taxa = * A -.50 * B * A*B Final Equation in Terms of Actual Factors: Taxa = * Concentração * Catalisador * Concentração * Catalisador ( ) Figura 4. Excertos da análise de variância dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.. Observe-se na tabela da ANOVA que o modelo é significativo ("F value" e "Prob > F") e que a interacção dos factores em estudo (AB) não é significativa (painel inferior). Na ANOVA apresentada, a soma dos quadrados do modelo ( Model sum of squares ) obtém-se considerando que SQ Modelo = SQ A +SQ B +SQ AB. É desejável completar a análise do modelo (de regressão) dos efeitos obtido através de várias estatísticas. Na Figura 4. apresentam-se algumas estatísticas complementares, designadamente a MQ Erro, o R ajustado, o R previsto, a PRESS e a Precisão. A média quadrática do erro, MQ Erro, estima o erro experimental e obtém-se como se indica na equação (4.9). O coeficiente de determinação ajustado R aj. mede a porção da variabilidade da resposta que é explicada pelo modelo quando se consideram o número de factores do modelo (ver regressão múltipla). Complementarmente, o similar à realizada e obtém-se através de: R previsto quantifica essa proporção numa futura experiência R previsto PRESS = (4.9) SQ SQ T Blocos Se a experiência não considerar blocos então SQ Blocos =0! Valores similares de R aj. e R previsto (por exemplo, uma diferença <0,0) indicam um ajuste adequado. A PRESS (do inglês Predicted APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

20 Residual Sum of Squares ) mede o ajuste do modelo a cada uma das observações. Obtém-se da seguinte forma: calculam-se os valores esperados para cada observação a partir dum modelo em que essa observação não foi incluída; e somam-se os quadrados dos resíduos dos cálculos anteriores, isto é: n ( ˆ i [ ] ) (4.30) i PRESS = y y i= em que yi é o valor observado para x i e y ˆ[ i ] é o valor esperado que se calcula através dum modelo que não inclui aquela observação x i. Quanto menor PRESS, melhor a qualidade do ajuste do modelo. Finalmente, considere-se a Precisão P (do inglês Adequate Precision ), que mede as diferenças na variável-resposta relacionadas com o erro da experiência. Por outras palavras, é a razão entre a informação contida no modelo e o ruído. Valores desta estatística 4 são desejáveis. Calcula-se através de P = max( yˆ) min( yˆ) ( p MQ Erro ) n (4.3) em que p é o número de parâmetros (ou coeficientes) do modelo e n é o número de ensaios realizados. Em muitas experiências envolvendo desenhos factoriais k, examinam-se a magnitude e a direcção dos efeitos para determinar qual, ou quais, das variáveis são importantes. Assim, no caso do Exemplo 4., o efeito de A é positivo e o efeito de B é negativo, o que indica que a variávelresposta aumentará quando A aumenta e diminuirá quando B aumenta. Por outro lado, o efeito da interacção é relativamente pequeno por comparação com os efeitos principais (ver conjunto de resultados referidos por Final Equation in Terms of Coded Factors na Figura 4.). O software apresenta ainda o modelo (de regressão) dos efeitos, considerando as variáveis naturais (ver Final Equation in Terms of Actual Factors na Figura 4.) que permite calcular o valor esperado da variável dependente para certas e determinadas condições. A análise dos resíduos, como meio de verificar os pressupostos iniciais e indicar soluções para possíveis violações desses pressupostos deve fazer parte da ANOVA de experiências factoriais (vide secção.4.6, pág. 56 e seg.) Experiências com três factores Suponha-se, agora, que estão envolvidos três factores, cada um com dois níveis plano experimental factorial 3 numa experiência muito semelhante à descrita e abordada na secção APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

21 anterior. As combinações possíveis podem representar-se através dum cubo ou da matriz do desenho experimental (Figura 4.). Figura 4. Experiência factorial 3, numa ilustração geométrica, um cubo (a) e representada por matriz do desenho experimental (b). Exemplo 4.3 O responsável pela linha de enchimento duma fábrica de produção de refrigerantes pretende uniformizar a quantidade de bebida dispensada para cada garrafa, pois verifica-se alguma variação. Com esse objectivo, realizou uma experiência para estudar, e eventualmente minimizar, os factores que podem influenciar o enchimento. O engenheiro responsável pode controlar três variáveis: a percentagem de gaseificação (A, %); a pressão de enchimento (B, psi); e o número de garrafas por minuto ou velocidade de enchimento (C, gpm). Os níveis escolhidos de cada factor foram, respectivamente, 0 e 4%, 5 e 30 psi, e 00 e 50 gpm. Realizaram-se duas repetições de cada combinação de factores. Decidiu-se que a variável-resposta seria a diferença da altura de líquido relativamente ao valor-alvo (Y, mm). Valores de y > 0 indicam alturas (volumes) maiores do que o pretendido, e y < 0 resultam do contrário. Os resultados desta experiência apresentam-se na Tabela 4.7. As considerações teóricas apresentadas para as experiências factoriais podem estender-se a estes desenhos factoriais que envolvem três factores, designadamente os factores A, B e C. Para isso, acrescentam-se ao modelo de efeitos fixos (equação 4.0) os termos necessários, y = µ + α + β + γ + ( αβ ) + ( αγ ) + ( βγ ) + ( αβγ ) + ε (4.3) ijk i j k ij ik jk ijk ijkl em que y ijkl indica cada uma das observações (i=, ; j=, ; k=, ; l=,,..., n), µ é o efeito médio global, α i é o efeito do i-ésimo nível do factor A (i=, ), β j é o efeito do j-ésimo nível do factor B (j=, ), γ k é o efeito do k-ésimo nível do factor C (k=, ), (αβ) ij, (αγ) ik e (βγ) jk são os efeitos das APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

22 interacções entre pares dos factores, (αβγ) ijk é a interacção de todos os factores e ε ijkl é a componente do erro aleatório. Pressão (B) 5 psi 30 psi Velocidade (C) Velocidade (C) Percentagem (A) % % Tabela 4.7. Resultados da experiência descrita no Exemplo 4.3. Em cada célula da tabela apresentam-se as duas réplicas (ensaios) para cada combinação de factores. As hipóteses em teste são similares às apresentadas anteriormente para os desenhos factoriais, considerando agora os três factores e as várias interacções possíveis. Usualmente, os cálculos envolvidos na ANOVA deste tipo de experiências são realizados recorrendo a software apropriado. No entanto, as fórmulas de cálculo das somas dos quadros são ocasionalmente úteis. A soma dos quadrados total SQ T obtém-se através de SQ T y = (4.33) n... yijkl i= j= k = l= 8n em que y... é a soma de todas as observações. As somas dos quadrados relativos aos efeitos principais, SQ A, SQ B e SQ C podem calcular-se da seguinte forma SQ A y... = yi (4.34) 4n 8n i= SQ B y... = y j (4.35) 4n 8n j= SQ C y... = yk (4.36) 4n 8n k = em que y i, y j e y k são as somas das observações para os níveis i, j e k dos factores A, B e C. No casos das interacções entre cada dois factores, são necessários os totais das observações por combinação A x B, A x C e B x C, designadamente y ij, y ik e y jk. Assim, y SQ y SQ SQ (4.37)... AB = ij A B n i= j= 8n APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa, 007.

23 y SQ y SQ SQ (4.38)... AC = ik A C n i= k = 8n y SQ y SQ SQ (4.39)... BC = jk B C n j= k = 8n A soma dos quadrados da interacção dos três factores SQ ABC pode obter-se a partir de y SQ y SQ SQ SQ SQ SQ SQ (4.40)... ABC = ijk A B C AB AC BC n i= j= k = 8n considerando que y ijk é a soma de todas as observações para a combinação dos três factores. Finalmente, a soma dos quadrados do erro calcula-se por subtracção SQ SQ y Erro T ijk n i = j = k = = (4.4) A partir destas quantidades é possível calcular as respectivas médias quadráticas considerando que SQT = SQA + SQB + SQC + SQAB + SQAC + SQBC + SQABC + SQErro (4.4) com (abcn ) = (8n ), (a ) =, (b ) =, (c ) =, (a )(b ) =, (a )(c ) =, (b )(c ) =, (a )(b )(c ) = e abc(n ) = 8(n ) graus de liberdade, respectivamente. Por divisão de cada umas das somas dos quadrados dos efeitos e dos erros pelo respectivo número de graus de liberdade obtêm-se as médias quadráticas: MQ A, MQ B, MQ C, MQ AB, MQ AC, MQ BC, MQ ABC e MQ Erro. É possível, então, testar as hipóteses avançadas inicialmente recorrendo à estatística de teste F 0, que no caso das H 0 serem verdadeiras, segue distribuição teórica de F com grau de liberdade no numerador e 8(n ) graus de liberdade no denominador. As e.t. F 0 obtêm-se da seguinte forma para os efeitos principais e para as interacções, MQ MQ MQC F =, F =, F = (4.43) A B MQErro MQErro MQErro MQ MQ MQ MQ F =, F =, F =, F = (4.44) AB AC BC ABC MQErro MQErro MQErro MQErro Se f 0 > f t = f α [g.l. numerador, g.l. denominador ] rejeita-se H 0 e, portanto, com 00( α)% de confiança os efeitos são significativos. Alternativamente, poderiam utilizar-se os p-value para a tomada de decisão. APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa, 007.

24 Exemplo 4.3 (cont.) A análise de variância da experiência descrita anteriormente permite identificar qual (ou quais) dos factores considerados influencia a variável-resposta. Na Tabela 4.8 resume-se essa análise. Verifica-se que apenas os efeitos principais e a interacção entre os factores A e B são significativos (p-value<α = 0,05), pelo que os restantes efeitos poderiam omitir-se do modelo final sem prejuízo (significativo) para as conclusões do trabalho. Na Figura 4.3, apresentam-se alguns dos resultados da análise através do software DX6, considerando-se apenas os efeitos significativos. Fonte de variação SQ g.l. MQ F 0 p-value A 48,06 48,06 305,3 <0-4 B 7,56 7,56 33,9 0,0004 C 4,06 4,06 7,3 0,003 AB 5,06 5,06 6,3 0,037 AC 0,56 0,56 0,69 0,495 BC 0,063 0,063 0,077 0,7885 ABC 0,063 0,063 0,077 0,7885 Erro 5,00 8 0,63 Total 77,00 5 Tabela 4.8 Tabela da ANOVA dos resultados da experiência 3 factorial descrita no Exemplo 4.3. Como anteriormente, podem estimar-se os efeitos principais e das interacções de factores estudados. Considerando a notação da Figura 4. (ver também secção anterior para notação utilizada), os efeitos dos factores A, B e C obtêm-se a partir de A = [ a + ab + ac + abc () b c bc] (4.45) 4n B = [ b + ab + bc + abc () a c ac] (4.46) 4n C = [ c + ac + bc + abc () a b ab] (4.47) 4n No caso das interacções, os efeitos podem calcular-se através de AB = [ abc bc + ab b ac + c a + () ] (4.48) 4n AC = [ () a + b ab c + ac bc + abc] (4.49) 4n APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

25 BC = [ () + a b ab c ac + bc + abc] 4n (4.50) ABC = [ abc bc ac + c ab + b + a () ] 4n (4.5) (...) Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < significant A < B < C AB Residual Lack of Fit not significant Pure Error Cor Total (...) Std. Dev. 0.8 R-Squared Mean 3.44 Adj R-Squared C.V. 3.5 Pred R-Squared PRESS 5. Adeq Precision (...) Final Equation in Terms of Coded Factors: Altura = * A +.3 * B * C * A * B Final Equation in Terms of Actual Factors: Altura = * Gaseificação * Pressão * Velocidade * Gaseificação * Pressão (...) Figura 4.3 Excertos da análise de variância dos resultados providenciados pelo DX6 para os dados do Exemplo 4.3. Observe-se que o modelo é significativo ("F value" e "Prob > F") e quais são os efeitos médios dos vários factores. A partir destas estimativas é fácil obter o modelo (de regressão) dos efeitos que descreve os resultados (cf. Equação 4.3). O procedimento é similar àquele apresentado para experiências factoriais. Novamente, interessa examinar a magnitude e a direcção dos efeitos para determinar qual, ou quais, das variáveis (e interacções) são importantes. Se os factores em estudo forem quantitativos é possível representar o modelo dos efeitos resultante através duma superfície de resposta (Figura 4.4a) ou dum gráfico de contorno (Figura 4.4b). APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

26 (a) Figura 4.4 Gráfico de contorno (a) e superfície de resposta (b) da experiência factorial descrita no Exemplo 4.3, para uma velocidade de enchimento intermédia de 5 gpm. O gráfico de contorno obteve-se no DX6 através Analysis > Model Graph > View > Contour, enquanto a superfície de resposta foi desenhada seleccionando nos menus do software Analysis > Model Graph > View > 3D Surface. (b) Existem outros métodos úteis para determinar (preliminarmente) qual, ou quais, dos factores em estudo são significativos, designadamente a utilização de normal probability plots (NPP) (Figura 4.5). Frequentemente, os desenhos factoriais k envolvem um número elevado de factores, o que aumenta o número de ensaios a realizar (por exemplo, um desenho factorial 5 completo e sem réplicas dá origem a 3 combinações possíveis!). Nesses casos, os recursos disponíveis, geralmente limitados, permitem obter apenas uma observação para cada combinação (se não se APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

27 omitir nenhum dos factores originais), o que invalida a estimação do erro. O recurso ao NPP das estimativas dos efeitos permite ultrapassar esta dificuldade. Os efeitos negligenciáveis distribuemse normalmente com média igual a zero e variância σ e, por isso, a sua representação nesses diagramas deverá ser aproximadamente uma linha recta, ao contrário dos efeitos importantes (Figura 4.5). Esta metodologia é geralmente empregue no início dum estudo para identificar o(s) factor(es) importantes e que devem ser estudados formalmente (através da ANOVA). Figura 4.5 Excerto da análise dos resultados do Exemplo 4.3 usando o Normal Probability Plot dos efeitos (obtido, no DX6, através de Analysis > Effects > View > Half Normal plot). A significância de cada um dos termos do modelo (apenas aqueles que se distanciam horizontalmente da linha diagonal se consideram significativos pois apresentam maior efeito ). Claramente, a inexistência de interacções significativas entre factores simplifica bastante as conclusões. É, nesse caso, aceitável apresentar e discutir as estimativas dos efeitos dos factores per se. Contudo, na circunstância das interacções serem relativamente importantes, os efeitos dos factores principais nelas envolvidos são virtualmente irrelevantes. É possível remover alguns tipos de interacções através da transformação da variável-resposta. Por outro lado, quando as interacções significativas envolvem um determinado factor será aconselhável realizar experiências separadas para os diferentes níveis desse factor. Novamente, deve completar-se a análise do modelo (de regressão) dos efeitos obtido recorrendo a estatísticas adequadas, que se apresentaram e explicaram a propósito do Exemplo 4., nomeadamente a MQ Erro, o R ajustado, o R previsto, a PRESS e a Precisão. Por outro lado, a análise dos resíduos, como forma de verificar os pressupostos iniciais e indicar soluções para as APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,

28 possíveis violações, deve integrar qualquer ANOVA (ver secção 4..3). Assim, devem observar-se o "normal probability plot of residuals" e o diagrama de dispersão dos resíduos contra o valor esperado da variável-resposta, como forma de validar o modelo obtido. Os resultados, ilustrados na Figura 4.6, não parecem indicar nenhuma irregularidade grave. Figura 4.6 "Normal probability plot of residuals" (esq.) e "Residuals vs. Predicted" (dir.) relativos ao dados do Exemplo 4.3. O gráfico (a) obteve-se no DX6 através de Analysis > Diagnostics > Normal Probability (no menu flutuante), enquanto (b) foi desenhado seleccionando Analysis > Diagnostics > Residuals vs Predicted (na caixa de diálogo) Experiências factoriais incompletas k p Quando o número de factores (k) a considerar numa experiência factorial aumenta, o número de ensaios necessários para estudar todas as combinações possíveis de (níveis de) factores rapidamente ultrapassa os recursos disponíveis (por exemplo, numa experiência com 6 factores, A F, e sem replicação será necessário realizar 6 =64 ensaios). Se for possível assumir que os efeitos das interacções entre factores de ordem mais elevada (e.g. ABCD, ABCDE e/ou ABCDEF) são negligenciáveis então é bastante vantajoso o recurso a planos experimentais incompletos (por exemplo, poderiam realizar-se, apenas, 3 ensaios ou mesmo 6 ensaios). Estes planos são dos mais usados quando o objectivo é a concepção de produtos ou planificação e optimização de processos. Outra utilização comum está relacionada com determinação dos factores críticos dum conjunto alargado de variáveis (condições de operação e/ou ingredientes) que influenciam o produto (ou screening ). A aplicação com sucesso destes planos experimentais baseia-se no facto dos sistemas ou APONTAMENTOS DE ADPE E. Esteves & C. Sousa,