2 ou mais fatores são de interesse.

Transcrição

1 5. Experimentos Fatoriais 5.1 Definições e Princípios Básicos 2 ou mais fatores são de interesse. Experimentos Fatoriais: em cada replicação do experimento todas as combinações dos níveis de tratamento são investigadas. Se existem a níveis do fator A e b níveis do fator B num experimento a dois fatores: A e B, cada replicação conterá as ab combinações possíveis. O efeito de um fator é definido como a variação na resposta produzida por uma variação no nível do fator. 1

2 Efeitos Principais - referem-se aos efeitos dos fatores de interesse. Considere um experimento 2 2, isto é, um experimento fatorial com dois fatores contendo dois níveis cada um. As figuras a seguir ilustram este caso em duas situações. 2

3 3

4 De acordo com os valores informados na figura (a) o efeito do fator A pode ser calculado como a diferença nas médias referentes às medidas no nível alto e no nível baixo, a saber, A = B = }{{} A + B +,A + B }{{} A + B +,A B }{{} A B +,A B }{{} A + B,A B = 21 = 11 Se os fatores têm mais de dois níveis, seus efeitos são avaliados por outros procedimentos. Em alguns experimentos, podemos encontrar que a diferença na resposta média entre níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis do outro fator. INTERAÇÃO! 4

5 Observe o experimento da figura (b). Quando observamos a variação de A, no nível alto de B, obtemos -28. Quando observamos a variação de A no nível baixo de B, obtemos +30. Neste caso, obtemos como efeito principal para A o valor 1, bem pequeno, quando claramente percebe-se que A exerce influência na resposta. O caso (b) é um exemplo que mostra a presença de interação. A figura a seguir ilustra as duas situações no experimento 2 2 : sem interação e com interação. 5

6 6

7 Há outra forma de ilustrar o conceito de interação, usando análise de regressão. Uma representação usando modelo de regressão para o experimento 2 2 pode ser escrita como y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 12 x 1 x 2 + ɛ em que y é a resposta, os β s são os parâmetros cujos valores devem ser estimados, x 1 é a variável que representa o fator A, x 2 é a variável que representa o fator B, ɛ é o componente aleatório. As variáveis x 1 e x 2 são definidas sobre uma escala codificada: -1 para nível baixo e +1 para nível alto. O termo x 1 x 2 representa o fator de interação, assumindo os valores +1 quando x 1 e x 2 têm o mesmo sinal e -1 quando têm sinais trocados. 7

8 Com esta codificação, é possível verificar que as estimativas de mínimos quadrados dos coeficientes β s na regressão estão relacionadas às estimativas dos efeitos. No exemplo 5.1(a) vimos que A = 21, B = e AB = = 1 2 }{{} A + B +,A B 2 }{{} A + B,A B + x 1 x 2 y ˆβ 1 = 21 2 = 10, 5, ˆβ 2 = 11 2 = 5, 5 e ˆβ 12 = 1 2 = 0, 5 ŷ = 35, , 5x 1 + 5, 5x 2 + 0, 5x 1 x 2 8

9 O coeficiente de interação estimado ˆβ 12 é, de fato, relativamente pequeno em relação aos efeitos principais tal que pode ser desprezado, levando à ŷ = 35, , 5x 1 + 5, 5x 2 As figuras a seguir apresentam uma representação gráfica deste modelo ajustado. Na primeira temos o gráfico do plano x 1, x 2 dos valores y que satisfazem a equação acima. Este gráfico é chamado gráfico da superfície de resposta (em função de x 1 e x 2 ). Na segunda figura temos as linhas de contorno de resposta constante no plano x 1, x 2. 9

10 10

11 Suponha agora que a contribuição de interação neste experimento não seja desprezível tal que ŷ = 35, , 5x 1 + 5, 5x 2 + 8x 1 x 2 O efeito de interação provoca uma torção no plano. Esta torção da superfície de resposta resulta em linhas de contorno de resposta constante y curvadas. Interação, sob este foco, é uma forma de curvatura na superfície de resposta do modelo subjacente ao experimento. A forma da superfície de resposta para um experimento é uma ferramenta importante na análise do mesmo. 11

12 12

13 Em geral, quando uma interação é grande, os efeitos principais têm significado prático pequeno. Voltemos ao exemplo (b) do início da aula. A = }{{} A + B +,A + B }{{} A B +,A B = 1 B = AB = }{{} A + B +,A B }{{} A + B +,A B }{{} A + B,A B }{{} A + B,A B + = 9 = 29 13

14 Assim, somos tentados a dizer que o fator A não influencia a resposta. Porém, quando examinamos os efeitos de A para diferentes níveis de B, vemos que este não é o caso. No nível alto de B, a variação em A é -28 e, no nível baixo de B a variação de A é +30. O fator A tem sim um efeito, mas seu efeito depende do nível do fator B. O conhecimento da interação AB é mais útil neste caso do que o conhecimento do efeito principal A. Uma interação significante mascara efeitos principais significantes. Recomendação: Na presença de interação, e- xamine os níveis de um fator, por exemplo A, usando níveis dos outros fatores fixados para tirar conclusões sobre o efeito principal de A. 14

15 5.2 Vantagens dos experimentos Fatoriais Suponha um experimento 2 2, com fatores A e B tendo níveis e +. Se queremos informações sobre A e B, separadamente, poderíamos variar os fatores um de cada vez, como ilustra a figura a seguir. O efeito de A será dado por A + B A B e, o de B por A B + A B. Como há erro experimental, será desejável realizar duas observações de cada uma destas combinações de tratamento e estimar os efeitos dos fatores usando as médias, de modo que um total de 6 observações será necessário. 15

16 16

17 Se um experimento fatorial tivesse sido conduzido, uma combinação de tratamentos adicional A + B + deveria ser observada. Agora, usando 4 observações, podemos estimar os efeitos principais A e B e ainda sobrará 1 grau de liberdade para o erro experimental. Portanto, com apenas 4 observações somos capazes de estimar os efeitos principais. Dizemos que a eficiência relativa do experimento fatorial (EF) sobre o experimento um fator de cada vez (E1F) é 6/4 = 1, 5. Esta eficiência cresce à medida que o número de fatores cresce, como mostra a figura a seguir. 17

18 18

19 Observe também que se há interação, E1F não é capaz de captar. Em resumo, os EF s têm vantagens sobre os E1F s. EF s são necessários quando há interação para evitar conclusões erradas. EF s permitem que os efeitos de níveis de um fator sejam estimados em vários níveis do outro fator, produzindo conclusões que são válidas sob uma variedade de condições experimentais. 19

20 5.3 Experimentos fatoriais a dois fatores. Os EF s mais simples envolvem apenas 2 fatores, a saber, um fator A com a níveis e um fator B com b níveis. EXEMPLO: Uma engenheira está projetando uma bateria para usar em um esquema que estará sujeito à variações extremas de temperatura. O único parâmetro de projeto que ela pode selecionar nesse ponto é o tipo de material usado na bateria, e ela tem três escolhas possíveis. A engenheira, de sua experiência passada, sabe que temperaturas provavelmente afetarão a vida das baterias. Como as temperaturas podem ser controladas no laboratório de desenvolvimento do produto, um teste será realizado usando níveis de temperatura de 15, 70 e 125 graus Fahrenheit (na escala Celsius, aproximadamente -9.4, 21.1 e 51.7). Ela decidiu rodar 4 replicações. Trata-se de um experimento a dois fatores do tipo 3 2 com N =

21 Neste problema, a engenheira deseja responder as seguintes questões. - Que efeitos o tipo de material e a temperatura têm sobre a vida da bateria? - Existe uma escolha de material que forneceria uma vida uniformemente longa sem olhar a temperatura? A segunda questão é particularmente importante: é possível encontrar um material alternativo que não é fortemente afetado pela temperatura? Se este material existe, a engenheira poderia tornar a bateria robusta à variação de temperatura no campo. Trata-se de um exemplo do uso de estatística experimental para projetos robustos de produtos, um importante problema de engenharia. Este plano é um exemplo particular do caso geral de experimento fatorial a 2 fatores. 21

22 Seja y ijk a resposta observada quando o fator A está no i-ésimo nível, o B, no j-ésimo nível para a k-ésima replicação. (i = 1, 2,..., a; j = 1, 2,..., b; k = 1, 2,..., n). A tabela a seguir ilustra o quadro de dados no EF a 2 fatores. A ordem na qual as observações são tomadas é aleatória tal que trata-se de um plano completo aleatorizado. 22

23 23

24 Modelo de Efeitos Y ijk = µ+τ i +β j +(τβ) ij +ɛ ijk, i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n Ambos os fatores são supostos fixos e os efeitos de tratamento são definidos como desvios da média tal que a i=1 τ i = 0, b j=1 β j = 0, a i=1 (τβ) ij = 0 e b j=1 (τβ) ij = 0. Como são n replicações para cada combinação dos níveis de tratamento, tem-se N = abn observações. Poderíamos também usar modelos de regressão que são particularmente úteis, quando os fatores são quantitativos. Lembre que agora ambos os fatores A e B são de interesse. 24

25 Assim, estamos interessados em testar se e- xistem efeitos do fator A, do fator B, e de interação entre os fatores A e B, a saber, H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ a = 0 versus pelo menos um deles é não-nulo; H 0 : β 1 = β 2 =... = β b = 0 versus pelo menos um deles é não-nulo e H 0 : (τβ) ij = 0, deles é não-nulo. i, j versus pelo menos um 25

26 Análise Estatística do Experimento Fatorial (a b):dois fatores com a e b níveis, respectivamente. Agora, a soma de quadrados total, SQ T ot = a b n (Y ijk Ȳ... ) 2, i=1j=1k=1 }{{} abn 1 é decomposta em SQ A }{{} a 1 + SQ B }{{} b 1 + SQ AB }{{} (a 1)(b 1) + SQ Res }{{} ab(n 1) 26

27 SQ A = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ i.. ȳ... ) 2 SQ B = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ.j. ȳ... ) 2 SQ AB = a b n i=1 j=1 k=1 (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 SQ Res = a b n i=1 j=1 k=1 (y ijk ȳ ij. ) 2 27

28 Supondo o modelo EF a dois fatores fixos, podemos verificar que E[QM A ] = σ 2 + bn a 1 a τi 2 i=1 E[QM B ] = σ 2 + an b 1 b βj 2 j=1 E[QM AB ] = σ 2 + n (a 1)(b 1) a b i=1 j=1 (τβ) 2 ij e E[QM Res ] = σ 2 28

29 29

30 Fórmulas de cálculo SQ T ot = i j k y 2 ijk y2... abn SQ A = 1 bn SQ B = 1 an ai=1 y 2 i.. y2... abn bj=1 y 2.j. y2... abn SQ SubT otais = 1 n ai=1 bj=1 y 2 ij. y2... abn Esta soma também contém SQ A e SQ B. Desse modo, SQ AB = SQ SubT otais SQ A SQ B. SQ Res = SQ T ot SQ A SQ B SQ AB = SQ T ot SQ SubT otais 30

31 Exemplo 5.1: Tempo de vida das baterias. Fatores: material e temperatura. Os dados foram salvos no arquivo bateria.txt. dados=read.table( c://flavia//dox//bateria.txt,header=t) fit=aov(vida as.factor(temp)*material,data=dados) summary(fit) FV Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) temperatura e-07 material temp:material Residuals Ao nível de 5% de significância concluímos que há presença de interação. A análise de resíduos para verificação das suposições será apresentada no início da próxima aula. O gráfico a seguir indica, de fato, ausência de paralelismo das linhas. 31

32 32

33 Exercício 5.4. Uma engenheira suspeita que a superfície de acabamento de uma placa de metal é influenciada pela taxa de alimentação e pela profundidade do corte. Ela selecionou três taxas e quatro profundidades de corte e, então, conduziu um experimento, obtendo os seguintes dados. taxa 0.15 in 0.18 in 0.20 in 0.25 in (a) Analise os dados e tire conclusões. Use α = (b) Faça uma análise de resíduos e comente sobre a adequação do modelo. (c) Obtenha estimativas pontuais da média da superfície de acabamento para cada taxa de alimentação. (d) Construa um gráfico que ilustre a interação entre os fatores estudados. 33

34 Os dados estão no arquivo superficie.txt. dados=read.table( c://flavia//dox//superficie.txt,header=t) fit=aov(sup as.factor(prof)*as.factor(taxa),data=dados) summary(fit) fv Df Sum Sq Mean Sq F value P r(> F ) prof e-07 *** taxa e-09 *** prof:taxa * Residuals Podemos ver que os efeitos principais bem como o efeito de interação são significativos. 34

35 A análise de resíduos mostra que as suposições são aceitáveis e o modelo é adequado. 35

36 36

37 37

38 38

39 39