Experimentos Balanceados com Dois Fatores

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1 Experimentos Balanceados com Dois Fatores

2 Experimentos com dois fatores cruzados fixos Exemplo1. Objetivo. Investigar os efeitos do preço de venda e do tipo de campanha promocional nas vendas de certo produto. Preço: R$ 1,00, R$ 1,20 e R$ 1,50. Campanha: Jornal, Televisão. Tratamentos Descrição 1 R$ 1,00; Jornal 2 R$ 1,20; Jornal 3 R$ 1,50; Jornal 4 R$ 1,00; Televisão 5 R$ 1,20; Televisão 6 R$ 1,50; Televisão 1

3 Doze comunidades de mesma densidade populacional e características sócio-econômicas foram escolhidas ao acaso. Os tratamentos foram atribuídos a elas de forma aleatória, de modo que o mesmo tratamento foi alocado a 2 comunidades. Resumo. Estudo experimental balanceado, completamente casualizado com dois fatores fixos e cruzados. 2

4 Exemplo 2. Objetivo. Estudar os efeitos da renda familiar anual e estágio da vida familiar nas aplicações financeiras. Renda Familiar: R$ < 15000,00, R$ 15000,00 a menos de 30000,00, R$ 30000,00 a menos de R$ 50000,00 e igual ou superior a R$ 50000,00. Fator A - 4 níveis. Estágio da vida familiar: 1, 2, 3 e 4. Fator B - 4 níveis. Número de tratamentos: 16; Unidade experimental: família. Foram selecionadas 20 famílias com as características de renda familiar e estágio de vida familiar requeridos para cada tratamento definido. No total foram selecionadas 320 famílias. Resumo. Estudo observacional balanceado, completamente casualizado com dois fatores fixos e cruzados. 3

5 Exemplo 3. Objetivo. Estudar os efeitos gênero e de três drogas para tratar a hipertensão sobre a pressão sanguínea. Drogas: A, B e C. Fator A - 3 níveis. Gênero: Masculino, Feminino. Fator B (Bloco) - 2 níveis. Número de tratamentos: 6; Unidade experimental: paciente hipertenso. Foram selecionados 30 pacientes homens hipertensos e 30 pacientes mulheres hipertensas. Dos 30 homens, 10 foram sorteados para receber cada droga. O mesmo ocorreu para as 30 mulheres. No total foram selecionados 60 pacientes. Resumo. Temos um fator observacional (gênero) e um fator experimental (droga). 4

6 Estudos fatoriais completos e fracionários Completos: Todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores (tratamentos) são incluídas no estudo. Fracionários: Ocorre quando o número de combinações de níveis dos fatores (tratamentos) é muito grande. Apenas uma fração dessas combinações é considerada. O planejamento é realizado de modo que informações sobre os efeitos principais dos fatores possam ser estabelecidas. 5

7 Interpretação dos elementos do modelo de ANOVA Vamos considerar a princípio que as médias populacionais são conhecidas. Exemplo 4. Objetivo. Estudar os efeitos de gênero e idade no aprendizado de certa tarefa, avaliado por meio do tempo de aprendizado da tarefa (em minutos). Vamos considerar os fatores A (gênero) e B (idade) fixos e cruzados sendo os níveis de A, masculino e feminino, e de B, jovem, meia-idade e idoso. 6

8 Médias dos tratamentos µ ij : resposta média populacional onde i refere-se ao nível do fator A (i = 1,..., a) e j refere-se ao nível do fator B (j = 1,..., b). Tabela 1. Valores reais de µ ij para o Exemplo 4. Idade (B) j = 1 j = 2 j = 3 Média Sexo (A) Jovem Meia-idade Velho por linha i = 1 Masculino i = 2 Feminino Média por coluna

9 Interpretação de µ ij Estudo observacional: corresponde à média populacional da variável resposta para os elementos tendo as características do nível i do fator A e do nível j do fator B. No exemplo, µ 11 é o tempo médio de aprendizado para a população de homens jovens. Estudo experimental: resposta média que seria obtida se o tratamento consistindo do nível i do fator A e do nível j do fator B fosse aplicado a todas as unidades experimentais de uma população sobre a qual queremos realizar inferências. No exemplo do Preço versus Campanha promocional, µ ij seria a venda média do produto se o preço i e a campanha j fossem atribuídos a todas as comunidades de uma população. 8

10 Médias dos níveis dos fatores µ.j = µ.. = ai=1 µ ij a, µ i. = ai=1 bj=1 µ ij ab = bj=1 µ ij b, ai=1 µ i. a = bj=1 µ j. b µ 1. : média populacional de tempo de aprendizado para o sexo masculino (12) µ.2 : média populacional de tempo de aprendizado para a meia-idade (11) µ.. : média geral populacional de tempo de aprendizado para todas as idades e ambos os sexos (12) 9

11 Efeitos Principais α i = µ i. µ.. : efeito principal do nível i do fator A β j = µ.j µ.. : efeito principal do nível j do fator B Da definição de µ.. segue que a i=1 α i = b j=1 β j = 0 O efeito principal indica quanto a média do nível do fator desviase da média geral. 10

12 Exemplo 4: Tabela 1 β 1 = µ.1 µ.. = 9 12 = 3 (efeito principal para pessoas jovens) α 1 = µ 1. µ.. = = 0 (efeito principal para o sexo masculino) Observar que α 1 = α 2 = 0, ou seja, o fator sexo não afeta o tempo médio de aprendizado. 11

13 Aditividade dos efeitos dos fatores µ ij = µ.. + α i + β j Neste caso, µ ij µ i j = c, i i, todo j ou µ ij µ ij = c, j j, todo i 12

14 Quando os efeitos de A e B são aditivos temos que toda a informação sobre os efeitos dos fatores A e B sobre a variável resposta pode ser obtida fazendo-se inferências apenas sobre as médias populacionais µ i. e µ.j. Dizer que os efeitos dos fatores são aditivos, equivale a dizer que os fatores não interagem ou que não há efeito de interação entre os fatores. Em outras palavras, o efeito de cada fator não depende do nível do outro fator. 13

15 Tempo médio de aprendizado Idade Idoso Jovem Meia-idade 9 Feminino Gênero Masculino Gráfico 1. Gráfico de interação para as médias da Tabela 1 Os fatores Gênero e Idade não interagem. mas não de Gênero. Há efeito de Idade 14

16 Meios de reconhecer que dois fatores não interagem A diferença entre as respostas médias para quaisquer dois níveis do fator B é a mesma para todos os níveis do fator A. Notar que não é necessário que as diferenças, digamos, entre os níveis 1 e 2 e entre os níveis 2 e 3 do fator B sejam as mesmas. A diferença entre as respostas médias para quaisquer dois níveis do fator A é a mesma para todos os níveis do fator B. As curvas das respostas médias para os diferentes níveis de um fator são todas paralelas. Todas essas condições são equivalentes. 15

17 Tabela 2. Valores reais de µ ij para o Exemplo 4. Idade Sexo Jovem Meia-idade Velho Média - Linha Masculino Feminino Média - Coluna

18 18 Gênero Feminino Masculino Tempo médio de aprendizado Idoso Jovem Idade Meia-idade Gráfico 2. Gráfico de interação para as médias da Tabela 2 Os fatores Gênero e Idade não interagem. Há efeito de Idade e de Gênero. 17

19 Interação entre os efeitos dos fatores Tabela 3. Valores reais de µ ij para o Exemplo 4. Idade Sexo Jovem Meia-idade Velho Média - Linha Masculino Feminino Média - Coluna

20 18 Gênero Feminino Masculino Tempo médio de aprendizado Idoso Jovem Idade Meia-idade Gráfico 3. Gráfico de interação para as médias da Tabela 3 Os fatores Gênero e Idade interagem. 19

21 A Tabela 3 e o Gráfico 3 mostram que não há efeito de Gênero sobre o tempo médio de aprendizado para os Jovens. No entanto, esse efeito é considerável para os idosos. Essa diferença no efeito de Gênero sobre o tempo médio de aprendizado em função da Idade, implica que os efeitos de Gênero e de Idade interagem. Definição de interação Se µ ij = µ.. + α i + β j, os efeitos são aditivos, ou seja, não interagem. Para as médias da Tabela 3, temos µ 11 = 9, enquanto que µ.. + α 1 + β 1 = ( 3) = 10. Logo, os efeitos de Gênero e de Idade interagem. 20

22 Efeito de interação. Diferença entre µ ij e µ.. + α i + β j (valor esperado para µ ij se os fatores forem aditivos). Formalmente, o efeito de interação ou interação entre o i- ésimo nível do fator A e o j-ésimo nível do Fator B é denotado por (αβ) ij e definido por ou (αβ) ij = µ ij (µ.. + α i + β j ) (αβ) ij = µ ij µ i. µ.j + µ... 21

23 Se os fatores A e B forem aditivos (não interagem), todos os efeitos de interação são nulos, isto é, (αβ) ij = 0, para todo i e j. Para as médias da Tabela 3, temos (αβ) 13 = µ 13 (µ.. + α 1 + β 3 ) = 18 ( ) = 1. Reconhecimento das interações. Para decidir se os efeitos de interação estão ou não presentes, devemos: Examinar se todos os µ ij podem ser expressos como µ.. + α i + β j ; 22

24 Examinar se a diferença entre as respostas médias para quaisquer dois níveis do fator B é a mesma para todos os níveis do fator A; Examinar se a diferença entre as respostas médias para quaisquer dois níveis do fator A é a mesma para todos os níveis do fator B; Examinar se as curvas das médias dos tratamentos num gráfico de interação são paralelas. 23

25 Comentários. Podemos ter alguns efeitos de interação nulos embora os dois fatores interajam. Todos os efeitos de interação devem ser nulos para que os dois fatores sejam aditivos; Temos os seguintes resultados: i j (αβ) ij = 0, j = 1,..., b; (αβ) ij = 0, i = 1,..., a; i j (αβ) ij = 0. 24

26 Interações importantes e não importantes. Importantes. Quando 2 fatores interagem, não há sentido em examinar os efeitos de cada fator separadamente em termos das médias µ i. e µ.j ; Não importantes. Os efeitos de interação são tão pequenos que não são considerados importantes (as curvas médias são quase paralelas). Neste caso, a análise dos efeitos dos fatores pode ser realizada como se não existisse interação. Cada fator pode ser estudado separadamente, com base em µ i. e µ.j, respectivamente. A análise é mais simples do que a baseada em µ ij, quando o efeito de interação está presente. 25

27 Tabela 4. Valores reais de µ ij para o Exemplo 4. Idade Sexo Jovem Meia-idade Velho Média - Linha Masculino 9, ,75 13 Feminino 8, ,75 11 Média - Coluna

28 Tempo médio de aprendizado Gênero Feminino Masculino 8 Idoso Jovem Idade Meia-idade Gráfico 4. Gráfico de interação para as médias da Tabela 4 Os fatores Gênero e Idade interagem, mas os efeitos de interação são pequenos. 27

29 Comentários. Decidir se os efeitos de interação são ou não importantes é muito difícil e, em geral, depende do contexto em que ocorre o estudo; Em algumas situações, os efeitos de interação são importantes e mesmo assim os efeitos dos fatores são analisados separadamente em termos de µ i. e µ.j. 28

30 Exemplo 5. Fator A: Método de ensino de Matemática. Dois níveis: Concreto e Abstrato. Fator B: Habilidade em Matemática. Três níveis: Excelente, Boa e Moderada. Efeitos de interação presentes. Alunos excelentes têm bom desempenho com os dois métodos de ensino. Já, alunos com habilidades boa ou moderada têm melhor desempenho com os método concreto. No entanto, há interesse em saber qual método produz o melhor desempenho independentemente da habilidade. Isto pode ser avaliado escolhendo-se o método que produz o maior desempenho médio. Assim, mesmo na presença do efeito de interação, os métodos podem ser comparados em termos de suas médias marginais. 29

31 Interpretação das interações. Tabela 5. Valores reais de µ ij para a Produtividade de executivos (Exemplo 6). Autoridade Salário Pouca Muita Baixo Alto

32 75 Autoridade Muita Pouca Média da produtividade Alto Salário Baixo Gráfico 5. Gráfico de interação para as médias da Tabela 5 Os fatores Salário e Autoridade interagem. 31

33 Tabela 6. Valores reais de µ ij para a Produtividade de executivos (Exemplo 6). Autoridade Salário Pouca Muita Baixo Alto Tabela 7. Valores reais de µ ij para a Produtividade de executivos (Exemplo 6). Autoridade Salário Pouca Muita Baixo Alto

34 75 Autoridade Muita Pouca Média da Produtividade Alto Salário Baixo Gráfico 6. Gráfico de interação para as médias da Tabela 6 Os fatores Salário e Autoridade interagem. 33

35 75 70 Autoridade Muita Pouca Média da Produtividade Alto Salário Baixo Gráfico 7. Gráfico de interação para as médias das Tabela 7 Os fatores Salário e Autoridade interagem. 34

36 Tabela 8. Valores reais de µ ij para a Produtividade por funcionário em um grupo (Exemplo 7). Personalidade do chefe do grupo Tamanho do grupo Extrovertida Introvertida 4 pessoas pessoas pessoas pessoas

37 Média da Produtividade por funcionário Personalidade do chefe Extrovertida Introvertida No. De pessoas no grupo 10 Gráfico 8. Gráfico de interação para as médias da Tabela 8 Os fatores Tamanho do grupo e Personalidade do chefe do grupo interagem. 36

38 Modelo I: Dois fatores cruzados fixos Estudos balanceados; Todas as médias têm igual importância; Estudos observacionais; Estudos experimentais completamente casualizados. 37

39 Situação Básica Fator A: a níveis de interesse (fator fixo); Fator B: b níveis de interesse (fator fixo); Todos os ab tratamentos estão incluídos no estudo; O número de unidades experimentais em cada tratamento é igual a m > 1; O número total de unidades experimentais é n = abm; 38

40 Índice k: denota uma observação dentro de cada tratamento; Índice i: denota um nível do Fator A; Índice j: denota um nível do Fator B; y ijk : valor da variável resposta avaliada na k-ésima unidade experimental submetida ao tratamento formado pelo i-ésimo nível do Fator A e j-ésimo nível do Fator B, k = 1,..., m; i = 1,..., a; j = 1,..., b. 39

41 Modelo de médias de caselas Consideramos os ab tratamentos sem explicitar a estrutura fatorial (cruzada) do estudo. Formulação do modelo: sendo y ijk = µ ij + e ijk, µ ij parâmetros; e ijk N(0, σ 2 ) independentes; i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1,..., m. 40

42 Características do modelo: µ ij : resposta média sob o tratamento definido pelo i-ésimo nível do Fator A e j-ésimo nível do Fator B. Como E(e ijk ) = 0 vem que E(y ijk ) = µ ij ; Como µ ij é uma constante temos var(y ijk ) = var(e ijk ) = σ 2 ; Como e ijk N(0, σ 2 ) independentes, temos y ijk N(µ ij, σ 2 ) independentes; O modelo de médias de caselas é um modelo linear similar ao modelo de médias definido para estudos com um fator fixo. 41

43 Modelo de efeitos dos fatores Sabendo que (αβ) ij = µ ij (µ.. + α i + β j ), podemos escrever µ ij = µ.. + α i + β j + (αβ) ij, com µ.. = i j µ ij /ab, α i = µ i. µ.., β j = µ.j µ.., (αβ) ij = µ ij µ i. µ.j + µ... 42

44 Formulação do modelo: y ijk = µ ij + e ijk = µ.. + α i + β j + (αβ) ij + e ijk, µ.. uma constante (parâmetro); α i e β j constantes sujeitas às restrições i α i = 0 e j β j = 0, respectivamente; (αβ) ij constantes sujeitas às restrições i(αβ) ij = j(αβ) ij = i j(αβ) ij = 0, e ijk N(0, σ 2 ) independentes, i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1,..., m. 43

45 Consequências do modelo: E(y ijk ) = µ ij = µ.. + α i + β j + (αβ) ij ; V ar(y ijk ) = var(e ijk ) = σ 2 ; y ijk N(µ.. + α i + β j + (αβ) ij, σ 2 ) independentes; O modelo de efeitos dos fatores é um modelo linear. 44

46 Exemplo 8. Uma panificadora fornece pão italiano para vários supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi desenvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira, cujos níveis são em baixo, no meio e em cima, e do fator B, largura da prateleira, com níveis regular e larga, nas vendas (em número de unidades) deste pão durante certo período. Doze supermercados similares em termos de volume de vendas e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 6 tratamentos foi atribuído ao acaso a duas lojas de acordo com um planejamento completamente casualizado e a localização do pão em cada loja seguiu as especificações do tratamento para aquela loja. Os resultados estão apresentados a seguir. 45

47 Tabela 9. Vendas (em no. de unidades) de pão italiano. Largura da prateleira (B) Altura da prateleira Regular Larga Em baixo No meio Em cima

48 Média do no. de unidades vendidas Largura Larga Regular 40 Em baixo Em cima Altura No meio Gráfico 9. Gráfico de interação para as médias do no. de unidades vendidas de pão italiano 47

49 Notação. y ijk : valor da variável resposta avaliada na k-ésima unidade experimental submetida ao tratamento formado pelo i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B; y ij. = k y ijk : soma dos valores observados sob o tratamento formado pelo i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B; ȳ ij. = k y ijk : média dos valores observados sob o trata- m mento formado pelo i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B; 48

50 y i.. = y ijk : soma dos valores observados sob o i-ésimo j k nível do fator A; j k y ijk ȳ i.. = : média dos valores observados sob o i-ésimo bm nível do fator A; y.j. = y ijk : soma dos valores observados sob o j-ésimo i k nível do fator B; i k y ijk ȳ.j. = : média dos valores observados sob o j-ésimo am nível do fator B; 49

51 y... = i j k y ijk : soma de todos os valores observados; ȳ... = i j k abm y ijk : média de todos os valores observados; Tabela 10. Médias amostrais das vendas de pão italiano. Largura da prateleira (B) Altura da prateleira Regular Larga Média linha Em baixo ȳ 1.. = 44 No meio ȳ 2.. = 67 Em cima ȳ 3.. = 42 Média coluna ȳ.1. = 50 ȳ.2. = 52 ȳ... = 51 50

52 Ajuste do modelo de análise de variância O método de mínimos quadrados é equivalente ao de máxima verossimilhança. No modelo de médias de caselas queremos minimizar Q = i j k (y ijk µ ij ) 2. Obtemos ˆµ ij = ȳ ij.. Logo, o valor ajustado de y ijk é ŷ ijk = ȳ ij.. Os resíduos ê ijk são dados por ê ijk = y ijk ŷ ijk = y ijk ȳ ij.. Esses resíduos são úteis para validar o ajuste do modelo. No modelo de de efeitos dos fatores queremos minimizar Q = i j k (y ijk µ.. α i β j (αβ) ij ) 2, sujeita às restrições i α i = j β j = 0 e i(αβ) ij = j(αβ) ij = i j(αβ) ij = 0, i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1,..., m. 51

53 Obtemos Tabela 11. Estimativas dos efeitos principais e dos efeitos de interação. Parâmetro Estimativa µ.. ˆµ.. = ȳ... α i ˆα i = ȳ i.. ȳ... β j ˆβ j = ȳ.j. ȳ... (αβ) ij = µ ij µ i. µ.j + µ.. ( αβ) ˆ ij = ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... Novamente, ŷ ijk = ȳ ij. e ê ijk = y ijk ȳ ij.. 52

54 Tabela 12. Estimativas dos efeitos principais e dos efeitos de interação - Pão italiano. Parâmetro Estimativa α = 7 α = 16 α = 9 β = 1 β = 1 (αβ) ( 7) ( 1) = 2 (αβ) ( 7) 1 = 2 (αβ) ( 1) = 1 (αβ) = 1 (αβ) ( 9) ( 1) = 1 (αβ) ( 9) 1 = 1 53

55 Partição da soma de quadrados total Sejam Desvio total = y ijk ȳ... ; Efeito principal estimado do fator A = ȳ i.. ȳ... ; Efeito principal estimado do fator B = ȳ.j. ȳ... ; Efeito estimado da interação entre A e B = ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. +ȳ... ; 54

56 Desvio em relação à média estimada do tratamento = ê ijk = y ijk ȳ ij. ; Desvio da média estimada do tratamento em relação à média geral = ȳ ij. ȳ... = ȳ i.. ȳ... + ȳ.j. ȳ... + ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ.... Sejam SQT = i j k (y ijk ȳ... ) 2 : soma de quadrados total; SQ trat = m i tratamentos; j (ȳ ij. ȳ... ) 2 : soma de quadrados devida aos 55

57 SQR = i j k (y ijk ȳ ij. ) 2 : soma de quadrados dos resíduos; SQA = mb i (ȳ i.. ȳ... ) 2 : soma de quadrados devida a A; SQB = ma i (ȳ.j. ȳ... ) 2 : soma de quadrados devida a B; SQAB = m i j (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 : soma de quadrados devida à interação entre A e B. 56

58 É fácil mostrar que SQ trat = SQA + SQB + SQAB; SQT = SQ trat + SQR; SQT = SQA + SQB + SQAB + SQR. 57

59 Tabela 13. Somas de quadrados - Pão italiano. Somas de quadrados (SQ) SQT = 1642 SQ trat = 1580 SQR = 62 SQA = 1544 SQB = 12 SQAB = 24 SQ trat = SQA + SQB + SQAB = SQT = SQ trat + SQR = SQT = SQA + SQB + SQAB + SQR = Observar que a variabilidade em torno da média geral (SQT ) é devida ao fator A. 58

60 Partição dos graus de liberdade Tabela 14. Graus de liberdade. SQ Graus de liberdade (gl) SQT n 1 = mab 1 SQ trat ab 1 SQR ab(m 1) SQA a 1 SQB b 1 SQAB (a 1)(b 1) Observar que mab 1 = (a 1)+(b 1)+(a 1)(b 1)+ab(m 1). 59

61 Tabela 15. Graus de liberdade - Pão italiano. SQ Graus de liberdade (gl) SQT = 12 1 = 11 SQ trat = 5 SQR 3 2 (2 1) = 6 SQA 3 1 = 2 SQB 2 1 = 1 SQAB (3 1) (2 1) = 2 Temos que 11 = (3 1)+(2 1)+(3 1) (2 1)+3 2 (2 1). 60

62 Quadrados médios QMA = SQA a 1 QMB = SQB b 1 QMAB = SQAB (a 1)(b 1) QMR = SQR ab(m 1) Quadrados médios - Pão italiano QMA = = 772 QMB = 12 1 = 12 QMAB = 24 2 = 12 QMR = 62 6 = 10, 33 61

63 Valores esperados dos quadrados médios Mostrar que E(QMR) = σ 2 E(QMA) = σ 2 i α 2 + mb i i(µ a 1 = σ2 + mb i. µ.. ) 2 a 1 E(QMB) = σ 2 + ma j βj 2 j(µ b 1 =.j µ.. ) 2 σ2 + ma b 1 E(QMAB) = σ 2 i j(αβ) 2 ij +m (a 1)(b 1) = σ2 i j(µ ij µ i. µ.j + µ.. ) 2 +m (a 1)(b 1) 62

64 Estatísticas de teste Para testar 1. H 01 : µ ij µ i. µ.j + µ.. = 0, para todo i e j versus H 11 : µ ij µ i. µ.j + µ.. 0, para algum i, j ou, equivalentemente, H 01 : (αβ) ij = 0, para todo i e j versus H 11 : (αβ) ij 0, para algum i, j, consideramos a seguinte estatística de teste F 1 = QMAB QMR. 2. H 02 : µ 1. =... µ a. versus H 12 : nem todos os µ i. são iguais 63

65 ou, equivalentemente, H 02 : α i = 0, para todo i, versus H 12 : α i 0, para algum i, consideramos a seguinte estatística de teste F 2 = QMA QMR. 3. H 03 : µ.1 =... µ.b versus H 12 : nem todos os µ.j são iguais ou, equivalentemente, H 03 : β j = 0, para todo j, versus H 13 : β j 0, para algum j, consideramos a seguinte estatística de teste F 3 = QMB QMR. 64

66 Supondo as hipóteses nulas verdadeiras, o teorema de Cochran se aplica e, então, Fi F Snedecor, com gl apropriados, ou seja, 1. F 1 F [(a 1)(b 1),ab(m 1)] 2. F 2 F [a 1,ab(m 1)] 3. F 3 F [b 1,ab(m 1)] Fixado um nível de significância α, rejeitamos H 0i, i = 1, 2, 3, se F i > F [1 α; gl num., gl den.], sendo F [1 α; gl num., gl den.] o quantil de ordem 1 α da distribuição F [gl num., gl den.]. Caso contrário, não rejeitamos H 0i. O nível descritivo P é dado por P = P (F [gl num., gl den.] > F i ). 65

67 Tabela 16. Tabela de ANOVA FV SQ gl QM F A SQA a 1 QMA F 2 B SQB b 1 QMB F 3 AB SQAB (a 1)(b 1) QMAB F 1 Resíduo SQR ab(n 1) QM R Total SQT nab 1 Observação: Sejam α 1, o nível de significância para o teste do efeito de interação entre os fatores A e B, α 2, o nível de significância para o teste do efeito do fator A e α 3, o nível de significância para o teste do efeito do fator B. Seja α, o nível de significância para a família dos 3 testes. 66

68 (a) Desigualdade de Bonferroni α α 1 + α 2 + α 3 (b) Desigualdade de Kimball α 1 (1 α 1 )(1 α 2 )(1 α 3 ) Se α 1 = α 2 = α 3 = 0, 05 temos (a) α 0, 15, pela desigualdade de Bonferroni; (b) α 1 (1 0, 05) 3 = 0, 143, pela desigualdade de Kimball. 67

69 1. Teste primeiramente H 01. Estratégia de análise 2. Se H 01 não for rejeitada, reduza o modelo para o modelo aditivo, contendo apenas os efeitos dos fatores A e B. Teste os efeitos dos fatores A e B (H 02 e H 03 ) nesse novo modelo. Se as duas hipóteses forem rejeitadas, trabalhe com as médias µ i. e µ.j. Se apenas uma das hipóteses for rejeitada, pode ser indicado reduzir o modelo para um modelo com um único fator. Se ambas as hipóteses não forem rejeitadas obtenha um intervalo de confiança para µ Se H 01 for rejeitada, verifique se os efeitos de interação são ou não importantes. 4. Se os efeitos de interação não forem importantes, volte para o item Se os efeitos de interação forem importantes, trabalhe com as médias µ ij dos tratamentos. 68

70 Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 17) do modelo ajustado com os efeitos dos fatores Altura e Largura e de interação entre Altura e Largura. Tabela 17. Tabela de ANOVA - Exemplo 8. FV SQ gl QM F P A - Altura B - Largura AB /10, 33 = 1, 16 0, 375 Resíduo , 33 Total Não há efeito de interação entre Altura e Largura da prateleira. 69

71 Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 18) do modelo ajustado apenas com os efeitos dos fatores Altura e Largura (modelo aditivo). Tabela 18. Tabela de ANOVA - Exemplo 8. FV SQ gl QM F P A - Altura /10, 75 = 71, 81 < 0, 001 B - Largura /10, 75 = 1, 12 0, 322 Resíduo , 75 Total Há efeito do fator Altura mas não há efeito do fator Largura da prateleira. 70

72 Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 19) do modelo ajustado apenas com o efeito do fator Altura (modelo com 1 fator). Tabela 19. Tabela de ANOVA - Exemplo 8. FV SQ gl QM F P A - Altura /10, 75 = 70, 90 < 0, 001 Resíduo , 89 Total Comparações entre as médias sob os três níveis do fator Altura seguem na Tabela 20. Método de Tukey. Coeficiente de confiança global igual a 0,95. 71

73 Tabela 20. Comparações múltiplas - método de Tukey - Exemplo 8. Comparação Estimativa Variância estimada Limites de confiança µ M µ C 25,00 10,89 [18, 480; 31, 520] µ M µ B 23,00 10,89 [16, 483; 29, 517] µ B µ C 2,00 10,89 [ 4, 517; 8, 517] Não há diferença no volume médio de vendas sob as alturas Em baixo e Em cima. O volume médio de vendas é maior quando a prateleira está No meio. 72

74 Modelo linear - Parametrização de médias de caselas Para expressar o modelo de análise de variância (efeitos dos fatores) como um modelo linear, vamos considerar para os α i s (a 1) variáveis indicadoras, que vão assumir os valores 1, -1 e 0. Para os β j s vamos considerar (b 1) variáveis indicadoras, que vão assumir os valores 1, -1 e 0. Para representar todos os efeitos de interação (αβ) ij s precisamos considerar apenas (a 1)(b 1) variáveis indicadoras. 73

75 Exemplo: Pão italiano Modelo de análise de variância i = 1, 2, 3, j = 1, 2. y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + e ijk, Suposição: e ijk N(0, σ 2 ). Restrições: 2. α 3 = α 1 α 2 ; 1. β 2 = β 1 ; 74

76 3. (αβ) 12 = (αβ) 11 ; 4. (αβ) 22 = (αβ) 21 ; 5. (αβ) 31 = (αβ) 21 (αβ) (αβ) 32 = (αβ) 31 = (αβ) 21 + (αβ) 11 ; Modelo de regressão equivalente a 1 = 3 1 = 2 variáveis indicadoras para os efeitos do fator A; b 1 = 2 1 = 1 variável indicadora para os efeitos do fator B; 75

77 (a 1)(b 1) = 2 variáveis indicadoras para os efeitos de interação entre os fatores A e B. y ijk = µ+α 1 X ijk1 +α 2 X ijk2 +β 1 X ijk3 +(αβ) 11 X ijk4 (αβ) 21 X ijk5 +e ijk, onde X ijk4 = X ijk1 X ijk3 e X ijk5 = X ijk2 X ijk3, sendo 76

78 X 1 = 1, se a observação está no nível 1 (Em baixo) do fator A; 1, se a observação está no nível 3 (Em cima) do fator A; 0, caso contrário. X 2 = 1, se a observação está no nível 2 (No meio) do fator A; 1, se a observação está no nível 3 (Em cima) do fator A; 0, caso contrário. X 3 = 1, se a observação está no nível 1 (Regular) do fator B; 1, se a observação está no nível 2 (Larga) do fator B. Temos: 77

79 i j k y X ijk1 X ijk2 X ijk3 X ijk4 X ijk O vetor de parâmetros é β = {µ, α 1, α 2, β 1, (αβ) 11, (αβ) 21 }. 78

80 Modelo linear - Parametrização de casela de referência Para expressar o modelo de análise de variância como um modelo linear, usando a parametrização de casela de referência, vamos, primeiramente, escolher uma das médias µ ij como referência. Em seguida, vamos considerar, para (a 1) variáveis indicadoras, que vão assumir os valores 0 e 1, para representar os a níveis do fator A. Para os b níveis do Fator B, vamos considerar (b 1) variáveis indicadoras, que vão assumir os valores 0 e 1. Para representar os efeitos de interação vamos utilizar apenas (a 1)(b 1) variáveis indicadoras, que irão assumir os valores 0 e 1. 79

81 Exemplo: Pão italiano Modelo de análise de variância i = 1, 2, 3, j = 1, 2. y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + e ijk, Suposição: e ijk N(0, σ 2 ). Casela de referência: tratamento cuja média é µ 32. Modelo de regressão equivalente a 1 = 3 1 = 2 variáveis indicadoras para os efeitos do fator A; 80

82 b 1 = 2 1 = 1 variável indicadora para os efeitos do fator B; (a 1)(b 1) = 2 variáveis indicadoras para os efeitos de interação entre os fatores A e B. y ijk = γ 0 + γ 1 X ijk1 + γ 2 X ijk2 + γ 3 X ijk3 + γ 4 X ijk4 + γ 5 X ijk5 + e ijk, onde X ijk4 = X ijk1 X ijk3 e X ijk5 = X ijk2 X ijk3, sendo 81

83 X 1 = 1, se a observação está no nível 1 (Em baixo) do fator A; 0, caso contrário. X 2 = 1, se a observação está no nível 2 (No meio) do fator A; 0, caso contrário. X 3 = 1, se a observação está no nível 1 (Regular) do fator B; 0 se a observação está no nível 2 (Larga) do fator B. Temos: 82

84 i j k y X ijk1 X ijk2 X ijk3 X ijk4 X ijk O vetor de parâmetros é β = {γ 0, γ 1, γ 2, γ 3, γ 4, γ 5 }. 83

85 Nesse modelo de regressão, temos as seguintes interpretações: µ 32 = γ 0 ; µ 12 = γ 0 + γ 1 ; µ 22 = γ 0 + γ 2 ; µ 31 = γ 0 + γ 3 ; µ 11 = γ 0 + γ 1 + γ 3 + γ 4 ; µ 21 = γ 0 + γ 2 + γ 3 + γ 5 ; 84

86 γ 1 : variação na média da v. resposta quando passamos da altura Em cima para Em baixo, fixada a largura Regular; γ 2 : variação na média da v. resposta quando passamos da altura Em cima para No meio, fixada a largura Regular; γ 3 : variação na média da v. resposta quando passamos da largura Larga para Regular, fixada a altura Em cima; γ3 + γ 4 : variação na média da v. resposta quando passamos da largura Larga para Regular, fixada a altura Em baixo; γ 3 + γ 5 : variação na média da v. resposta quando passamos da largura Larga para Regular, fixada a altura No meio. 85

87 Comentários: Os testes de hipóteses são realizados utilizando-se testes F parciais. Testa-se primeiro a hipótese de inexistência de efeito de interação entre os fatores A e B. Para tanto, ajustam-se o modelo completo com todos os efeitos (principais e de interação) e um modelo reduzido, sem os efeitos de interação. Realizado o teste F parcial, verifica-se se o efeito de interação é ou não é significante. 86

88 Se o efeito de interação não for significante, reformula-se o modelo completo. Neste caso, o novo modelo de regressão completo passa a ter apenas os efeitos principais de A e de B. Ajustam-se, em seguida, dois modelos reduzidos, um com os efeitos principais de A e outro com os efeitos principais de B e testam-se os efeitos principais de A e de B, por meio de testes F parciais. Os testes F parciais, desenvolvidos por meio de modelos de regressão, são análogos aos obtidos, por exemplo, por meio da função GLM do MINITAB. 87