MAE Planejamento e Pesquisa I

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1 MAE Planejamento e Pesquisa I COMPARAÇÕES DE MÉDIAS - 1 FATOR FIXO 1 de abril de 2014 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

2 INTRODUÇÃO Testamos H 0 : µ 1 =... = µ r. Se H 0 não é rejeitada, não há evidências de relação entre a variável resposta e o fator. Se H 0 é rejeitada, prosseguimos a análise com o objetivo de localizar as diferenças entre as médias dos tratamentos. Consideremos o modelo de médias associado ao plano completamente aleatorizado com um fator fixo y ij = µ i + e ij. Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Uma companhia desejava testar 4 diferentes embalagens para um novo cereal matinal. 20 lojas, com volumes de vendas similares, foram selecionadas como unidades experimentais. Para cada loja foi aleatoriamente atribuída uma das embalagens (5 lojas para cada embalagem). Denise A. Botter MAE de abril de / 55

3 INTRODUÇÃO Devido a um incêndio ocorrido numa das lojas durante o período de realização do experimento, essa loja foi retirada do estudo. Todas as condições que pudessem afetar as vendas durante o período de realização do estudo foram mantidas constantes nas 19 lojas restantes. As vendas (Y ), em número de embalagens, foram anotadas durante o período de realização do experimento e constam da tabela abaixo. A este experimento pode ser associado um plano completamento aleatorizado, sendo o tipo de embalagem um fator fixo com 4 níveis. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

4 EXEMPLO Tabela 1. Vendas (em número de embalagens). Embalagem 1 Embalagem 2 Embalagem 3 Embalagem y 1. = 73 y 2. = 67 y 3. = 78 y 4. = 136 ȳ 1. = 14, 6 ȳ 2. = 13, 4 ȳ 3. = 19, 5 ȳ 4. = 27, 2 y.. = 354 ȳ.. = 18, 63 n 1 = 5 n 2 = 5 n 3 = 4 n 4 = 5 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

5 EXEMPLO 35 No. embalagens vendidas ,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Tipo de embalagem Gráfico 1. Dispersão de Y por tratamento A variabilidade de Y por tratamento parece constante. As vendas parecem maiores sob as embalagens 3 e 4. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

6 EXEMPLO Main Effects Plot das médias amostrais: Indica o(s) tratamento(s) que se destaca dos demais. A Embalagem 4 é a que se destaca. 27,5 25,0 Média das vendas 22,5 20,0 17,5 15, Tipo de embalagem 4 Gráfico 3. Main Effects Plot das médias amostrais Denise A. Botter MAE de abril de / 55

7 EXEMPLO Este padrão de diferenças reflete apenas uma variação casual de diferenças entre as médias dos tratamentos? Tabela 2. Vendas (em número de embalagens). FV gl SQ QM F valor P Embalagem 3 588,20 196,1 18,59 < 0, 001 Resíduo ,20 10,5 Total ,40 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

8 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS Estimação da média µ i sob um tratamento; Estimação da diferença entre médias sob dois tratamentos; Estimação de um contraste entre as médias sob os tratamentos; Estimação de uma combinação linear entre as médias sob os tratamentos. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

9 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS 1. Estimação da média µ i sob um tratamento t = ȳi. µ i QMR n i t n r, sendo n = i n i. Um intervalo de confiança para µ i com coeficiente de confiança γ = 1 α é dado por [ ] QMR ȳ i. t [1 α 2 ;n r]. n i Denise A. Botter MAE de abril de / 55

10 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Obter um intervalo de 95% de confiança para a média de vendas sob a Embalagem 4. Temos ȳ 4. = 27, 2, n 4 = 5 e QMR = 10, 5. Como α = 0, 05, temos t [0,975;15] = 2, 131. O intervalo de confiança para µ 4 é dado por [ ] 10, 5 27, 2 2, 131 5, ou seja, [24, 11; 30, 29]. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

11 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS 30 Interval Plot of No. embalagens vendidas 95% CI for the Mean - Mesmo desvio padrão No. embalagens vendidas Tipo de embalagem 4 Gráfico 3. Intervalos de confiança para µ i, i = 1, 2, 3, 4. Os intervalos do Gráfico 3 foram construídos com base em QMR. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

12 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS 2. Estimação da diferença entre médias sob dois tratamentos Sejam D = µ i µ i e ˆD = ˆµ i ˆµ i = ȳ i. ȳ i.. Temos ˆD t D = ( ) t n r. QMR 1 n + 1 i n i Um intervalo de confiança para D com coeficiente de confiança γ = 1 α é dado por [ ( 1 ˆD t [1 α 2 ;n r] QMR + 1 ) ]. n i n i Denise A. Botter MAE de abril de / 55

13 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Estimar a diferença entre as vendas médias sob as embalagens 3 e 4. Usar γ = 0, 95. Temos D = µ 3 µ 4,. ȳ 3. = 19, 5, ȳ 4. = 27, 2, ˆD = 7, 7, n3 = 4, n 4 = 5, QMR = 10, 5 e var( ˆ ˆD) = QMR ( 1 n n 4 ) ( 1 = 10, ) = 4, Como α = 0, 05, temos t [0,975;15] = 2, 131. O intervalo de confiança para D = µ 3 µ 4 com coeficiente de confiança γ = 0, 95 é dado por [ 7, 7 2, 131 ] 4, 725, ou seja, [ 12, 33; 3, 07]. Como o valor 0 não pertence ao intervalo de confiança obtido, podemos dizer que existe diferença entre µ 3 e µ 4. Assim, concluímos que há evidências de que as vendas médias sob a embalagem 3 são menores do que sob a embalagem 4. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

14 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS 3. Estimação de um contraste entre as médias sob os tratamentos Definição. Um contraste C é definido como C = r c i µ i, i=1 com r c i = 0. i=1 Exemplos de contrastes. Embalagens para cereal matinal. a) C = µ 1 µ 2. Aqui, c 1 = 1, c 2 = 1, c 3 = c 4 = 0. b) C = µ 1 + µ 2 µ 3 + µ 4. Aqui, c 1 = c 2 = 1/2 e c 3 = c 4 = 1/ Denise A. Botter MAE de abril de / 55

15 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS Um estimador não viesado de C é dado por Ĉ = r c iˆµ i = i=1 r c i ȳ i.. i=1 Além disso, e r var(ĉ) = var( c i ȳ i. ) = σ 2 i=1 r var(ĉ) ˆ = QMR c 2 i. n i i=1 r i=1 c 2 i n i Denise A. Botter MAE de abril de / 55

16 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS Um intervalo de confiança para C com coeficiente de confiança γ = 1 α é dado por [ ] Ĉ t [1 α var(ĉ) ˆ. 2 ;n r] Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Obter um intervalo de 95% de confiança para Temos Ĉ = ȳ1 + ȳ i=1 ȳ3 + ȳ 4 2 C = µ 1 + µ 2 2 = 14, , 4 2 µ 3 + µ , , 2 2 c 2 i = (1/2)2 + (1/2)2 + ( 1/2)2 + ( 1/2)2 n i = 9, 35, = 0, 2125, Denise A. Botter MAE de abril de / 55

17 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS SOB OS TRATAMENTOS var(ĉ) ˆ = 10, 5 0, 2125 = 2, e t [0,975;15] = 2, 131. O intervalo de confiança para C com coeficiente de confiança γ = 0, 95 é dado por [ 9, 35 2, 131 ] 2, 23125, ou seja, [ 12, 53; 6, 07]. Como o valor 0 não pertence ao intervalo obtido, podemos dizer que há evidências de que as vendas médias sob as embalagens 1 e 2 são menores do que sob as embalagens 3 e 4. Vamos testar as hipóteses H 0 : C = 0 contra H 1 : C 0. Usar α = 0, 05. Temos t = Ĉ 0 = 9, 5 = 6, 26. 2, var(ĉ) ˆ Sob H 0, o valor P associado a t é obtido da distribuição t-student com 15 graus de liberdade, sendo igual a 2 0, < 0, 001. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

18 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Método de Tukey; Método de Scheffé; Método de Bonferroni; Comparações com um controle; Escolha do melhor tratamento (ver, por exemplo, Kuehl, 2000). Denise A. Botter MAE de abril de / 55

19 MÉTODO DE TUKEY Método de Tukey: para o conjunto de todas as diferenças (duas a duas) entre as médias sob os tratamentos. Sejam D k = µ i µ i, k = 1,..., r(r 1)/2, ˆDk = ȳ i. ȳ i. e ( var( ˆ ˆD 1 k ) = QMR + 1 ). n i n i Consideremos T = 1 2 q(1 α; r; n r), sendo q(1 α; r; n r) o quantil de ordem 1 α da distribuição studentized range com parâmetros r e n r, tabelada em Kutner et al. (2004) - Tabela B.9. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

20 MÉTODO DE TUKEY Os limites de confiança para D k com coeficiente de confiança global 1 α são dados por [ ( 1 ˆD k T QMR + 1 ) ]. n i n i Comentários: O método de Tukey quando utilizado para amostras de tamanhos desiguais é denominado método de Tukey-Kramer; Quando n 1 = n 2 =... = n r = m, o coeficiente de confiança global pelo método de Tukey é exatamente 1 α e o nível de significância global é exatamente α. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

21 MÉTODO DE TUKEY O método de Tukey pode ser usado para comparações de médias duas a duas, sejam essas comparações sugeridas ou não pelos dados. Quando os tamanhos das amostras não são todos iguais, o coeficiente de confiança global é pelo menos 1 α e o nível de significância global é no máximo α. Em outras palavras, o método de Tukey é conservador quando os tamanhos das amostras não são todos iguais. Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Vamos obter todas as comparações duas a duas das médias sob as 4 embalagens, utilizando o método de Tukey com um coeficiente de confiança global igual a 90%. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

22 MÉTODO DE TUKEY D 1 = µ 1 µ 2, ˆD1 = 14, 6 13, 4 = 1, 2, n 1 = n 2 = 5, QMR = 10, 5 e ( var( ˆ ˆD) 1 = QMR + 1 ) ( ) 2 = 10, 5 = 4, 2. n 1 n 2 5 Como 1 α = 0, 10, temos T = 1 2 q(1 α; r; n r) = T = 1 2 q(0, 90; 4; 15) = 1 2 3, 54 = 2, 50, constante para todas as comparações. O intervalo de confiança para D 1 = µ 1 µ 2 com coeficiente de confiança global 1 α = 0, 90 é dado por [ 1, 2 2, 50 ] 4, 2, ou seja, [ 3, 93; 6, 33]. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

23 MÉTODO DE TUKEY Como o valor 0 ao intervalo de confiança obtido, podemos dizer que não parece existir diferença entre µ 1 e µ 2. Assim, concluímos que as vendas médias sob as embalagens 1 e 2 não são diferentes. D 2 = µ 1 µ 3, ˆD2 = 14, 6 19, 5 = 4, 90, n 1 = 5, n 3 = 4, QMR = 10, 5 e ( var( ˆ ˆD) 1 = QMR + 1 ) n 1 n 3 ( 1 = 10, ) = 4, O intervalo de confiança para D 2 = µ 1 µ 3 com coeficiente de confiança global 1 α = 0, 90 é dado por [ 4, 9 2, 50 ] 4, 725, ou seja, [ 10, 33; 0, 534]. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

24 MÉTODO DE TUKEY Como o valor 0 ao intervalo de confiança obtido, podemos dizer que não parece existir diferença entre µ 1 e µ 3. Assim, concluímos que não há evidências de que as vendas médias sob as embalagens 1 e 3 sejam diferentes. Exercício. Obter os demais 4 intervalos de confiança e interpretá-los. Verificar se o método de Tukey está implementado no R. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

25 MÉTODO DE SCHEFFÉ Método de Scheffé: para o conjunto de todos os contrastes entre as médias sob os tratamentos. Sejam C k = r i=1 c iµ i com r i=1 c i = 0, para k = 1, 2,... Ĉ k = r i=1 c iȳ i. e var(ĉk) ˆ = QMR r i=1 c 2 i n i. Consideremos S 2 = (r 1)F [1 α;r 1,n r], sendo F [1 α;r 1,n r] o quantil de ordem 1 α da distribuição F-Snedecor com r 1 graus de liberdade no numerador e n r no denominador. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

26 MÉTODO DE SCHEFFÉ Os limites de confiança para C k com coeficiente de confiança global 1 α são dados por r Ĉ k S c 2 QMR i. n i=1 i Observação. Os limites de confiança para C obtidos pelo método de Scheffé diferem daqueles obtidos para um único contraste somente através de um múltiplo de var(ĉk). ˆ Na realidade, esses limites são maiores. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

27 MÉTODO DE SCHEFFÉ Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Vamos estimar os seguintes contrastes entre as médias de vendas sob as 4 embalagens, utilizando o método de Scheffé com um coeficiente de confiança global igual a 90%: C 1 = µ 1 + µ 2 2 µ 3 + µ 4, 2 C 2 = µ 1 + µ 3 µ 2 + µ 4, 2 2 C 3 = µ 1 µ 2, C 4 = µ 3 µ 4. Como 1 α = 0, 90, temos F [0,90;4 1,19 4] = 2, 49 e S 2 = (4 1) 2, 49 = 7, 47 (cte para todos os contrastes). Denise A. Botter MAE de abril de / 55

28 MÉTODO DE SCHEFFÉ C k Ĉ k var(ĉk) ˆ Limites de confiança C 1-9,35 2,23125 [ 9, 35 7, 47 2, 23125] [ 13, 53; 5, 37] C 2-3,25 2,23125 [ 3, 25 7, 47 2, 23125] [ 7, 33; 0, 83] C 3 1,2 4,2 [1, 2 7, 47 4, 2] [ 4, 40; 6, 80] C 4-7,7 4,725 [1, 2 7, 47 4, 725] [ 13, 64; 1, 76] Denise A. Botter MAE de abril de / 55

29 MÉTODO DE SCHEFFÉ A embalagem 1 tem 3 cores mas não tem desenhos, a embalagem 2 tem 3 cores e desenhos, a embalagem 3 tem 5 cores mas não tem desenhos e a embalagem 4 tem 5 cores e desenhos. Assim, pelo intervalo de confiança para C 1, temos que parece haver diferença entre as vendas médias sob embalagens com 3 e 5 cores (as com 3 cores têm vendas médias menores). Já, pelo intervalo de confiança para C 2, temos que parece não haver diferença entre as vendas médias sob embalagens com e sem desenhos. O intervalo de confiança para C 3 mostra que não parece haver diferença entre as vendas médias sob as embalagens com 3 cores. Contudo, o intervalo de confiança para C 4 mostra que parece haver diferença entre as vendas médias sob as embalagens com 5 cores (a venda média é maior com a embalagem 4). Denise A. Botter MAE de abril de / 55

30 MÉTODO DE BONFERRONI Método de Bonferroni: para um subconjunto de todas as diferenças, de todos os contrastes ou combinações lineares entre as médias sob os tratamentos. Seja g o número de afirmações no subconjunto de combinações lineares (notar que contrastes são combinações lineares). Os limites de confiança para cada L k com coeficiente de confiança global pelo menos igual a 1 α são dados por [ ˆL k B var(ˆl ˆ k ) ], k = 1,..., g, sendo B = t [1 α/(2g);n r] e t [1 α/(2g);n r] o quantil de ordem 1 α/(2g) da distribuição t-student com n r graus de liberdade. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

31 MÉTODO DE BONFERRONI Exemplo. Embalagens para cereal matinal. Vamos estimar apenas os seguintes dois contrastes entre as médias de vendas sob as 4 embalagens, utilizando o método de Bonferroni com um coeficiente de confiança global igual a 0,975: L 1 = µ 1 + µ 2 2 µ 3 + µ 4, 2 L 2 = µ 1 + µ 3 µ 2 + µ Como 1 α = 0, 975, temos t [1 0,025/(2 2);15] = t [0,99375;15] = 2, 84 (constante para os dois contrastes). Denise A. Botter MAE de abril de / 55

32 MÉTODO DE BONFERRONI Temos L k ˆLk var(ˆl ˆ k ) Limites de confiança L 1-9,35 2,23125 [ 9, 35 2, 84 2, 23125] [ 13, 59; 5, 11] L 2-3,25 2,23125 [ 3, 25 2, 84 2, 23125] [ 7, 49; 0, 99] Vale observar que os limites de confiança L 1 e L 2, pelo método de Scheffé e um coeficiente de confiança global igual a 0,975, se baseiam em S 2 = 3 F [0,975;3,15] = 3 4, 15 = 12, 45, ou seja, em S = 3, 53 que é maior do que t [0,99375;15] = 2, 84. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

33 MÉTODO DE BONFERRONI Observação. Se o coeficiente de confiança global é 1 α e o número de comparações é g, não é necessário que o coeficiente de confiança associado a cada comparação seja 1 α/g. Podemos ter, 1 α = 1 (α α g ). Comparações entre os métodos de Bonferroni, Scheffé e Tukey. Comparações de médias 2 a 2 Todas: Tukey Algumas: Bonferroni, em geral; Denise A. Botter MAE de abril de / 55

34 COMPARAÇÕES ENTRE OS TRÊS MÉTODOS Contrastes Bonferroni: número de contrastes g r, sendo r o número de tratamentos Scheffé: número de contrastes a serem estimados excede r por uma boa quantidade; Desde que as comparações múltiplas sejam estabelecidas a priori, os 3 métodos podem ser aplicados e escolhe-se o que fornecer os menores limites de confiança. Para comparações múltiplas estabelecidas a posteriori, apenas o método de Bonferroni não se aplica. Outros métodos: ver, por exemplo, Miller (1991), Simultaneous Statistical Inference. New York: Springer Verlag. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

35 COMPARAÇÕES COM UM CONTROLE Comparações com um controle: Comparar as r 1 médias populacionais com a média sob o tratamento controle. Número de comparações é r 1. Dunnett (1964), Biometrics, 20, Vamos supor que o tratamento controle seja o r-ésimo tratamento. Queremos testar H 0 : µ i µ r versus H 1 : µ i µ r, i = 1,..., r 1. O procedimento de Dunnett é uma modificação de teste t. Para cada hipótese, calculamos ȳ i. ȳ r. i = 1,..., r 1. Seja α, o nível de significância global. Rejeitamos H 0 se ( 1 ȳ i. ȳ r. > d α (r 1, n r) QMR + 1 ), n i n r sendo que d α (r 1, n r) é tabelado para testes unicaudais e bicaudais. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

36 COMPARAÇÕES COM UM CONTROLE - EXEMPLO Exemplo: Embalagens para carne. Doze bifes de 75g receberam aleatoriamente um de 4 tratamentos (tipos de embalagem). Após 9 dias de armazenamento a 4 o C, foi contado, na superfície de cada bife, o número existente de bactérias (em log(contagem/cm 2 ) de certa espécie. Os dados constam da tabela abaixo. Embalagem 1 Embalagem 2 Embalagem 3 Embalagem 4 7,66 5,26 7,41 3,51 6,98 5,44 7,33 2,91 7,80 5,80 7,04 3,66 ȳ 1. = 7, 48 ȳ 2. = 5, 50 ȳ 3. = 7, 26 ȳ 4. = 3, 36 FV gl SQ QM F valor-p Embalagem 3 32,873 10,958 94,58 < 0, 001 Resíduo 8 0,927 0,116 Total 11 33,800 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

37 COMPARAÇÕES COM UM CONTROLE - EXEMPLO Exemplo: Embalagens para carne. Vamos comparar o valor médio do log(contagem) do número de bactérias sob os tratamentos 2, 3 e 4 com o sob tratamento 1 (saco plástico), utilizando o método de Dunnett com um coeficiente de confiança global igual a 95%. Vale relembrar que os tratamentos 2 a 4 são descritos como: 2. Embalagem à vácuo; 3. Embalagem com 1% de CO (monóxido de carbono), 40% de O 2 (oxigênio) e 59% de N (nitrogênio) e 4. Embalagem com 100% de CO 2 (dióxido de carbono). Sendo 0,95, o coeficiente de confiança global, temos que d 0,05 (3, 8) = 2, 88 (valor obtido da Tabela IX de Montgomery, 2001). Denise A. Botter MAE de abril de / 55

38 COMPARAÇÕES COM UM CONTROLE - EXEMPLO Comparação Estimativa Variância Limites de estimada confiança µ 1 µ 2 1,98 0,0773 [1, 98 2, 88 0, 0773 ] [1, 18; 2, 78] µ 1 µ 3 0,22 0,0773 [0, 22 2, 88 0, 0773 ] [ 0, 58; 1, 02] µ 1 µ 4 4,12 0,0773 [4, 1 2, 88 0, 0773 ] [3, 32; 4, 92] Observamos que o valor médio do log(contagem) do número de bactérias sob a embalagem padrão (saco plástico) pode ser considerado maior do que sob o tratamento 2 e 4, mas não sob o tratamento 3. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

39 FATOR QUANTITATIVO Análise dos efeitos do fator quando o fator é quantitativo Quando o fator é quantitativo, a análise dos efeitos dos tratamentos pode ir além das comparações múltiplas para incluir um estudo da natureza da função resposta. Procedimento: Regressão Y vs X, sendo que os valores de X são os níveis do fator. Como experimentos completamente casualizados com um fator sempre envolvem réplicas nos diferentes níveis do fator, podemos testar a falta de ajuste do modelo de regressão. Nesse caso, pode ser mostrado que a SQR do modelo de ANOVA é igual à SQEP do modelo de regressão. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

40 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Exemplo. Seja y o número de unidades aceitáveis produzidas a partir de uma mesma quantidade de matéria prima em uma fábrica de objetos de vidro. Consideremos que 28 empregados da fábrica (unidades experimentais) receberam um treinamento especial. Foram considerados 4 períodos de treinamento: 6, 8, 10 e 12 horas (fator período com 4 níveis). Sete empregados foram designados ao acaso para cada período. Observar que quanto maior for o número de unidades aceitáveis mais eficiente é o empregado. Os dados constam da tabela que segue. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

41 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Horas de treinamento 6 horas 8 horas 10 horas 12 horas ȳ 1. = 40, 00 ȳ 2. = 49, 85 ȳ 3. = 56, 57 ȳ 4. = 61, 43 ȳ.. = 51, 96 s 1 = 2, 31 s 2 = 1, 77 s 3 = 2, 64 s 4 = 1, 27 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

42 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Modelo de médias associado ao plano completamente aleatorizado com um fator fixo y ij = µ + α i + e ij, i = 1,..., 4; j = 1,..., 7. Suposição: e ij N(0, σ2), independentes. Queremos testar H 0 : µ 1 =... = µ 4. ANOVA FV gl SQ QM F valor-p Períodos ,68 602,89 141,46 < 0, 001 Resíduo ,29 4,29 Total ,97 Conclusão: H 0 é rejeitada. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

43 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Vamos comparar as médias duas a duas, utilizando o método de Tukey com um coeficiente de confiança global igual a 95%. Temos D k = µ i µ i e ˆDk = ȳ i. ȳ i k = 1,..., 6. Temos também, ( var( ˆ ˆD 1 k ) = QMR + 1 ) = 4, 29 2 = 1, 23. n i n i 7 Além disso, var( ˆ ˆD k ) = 1, 11 (comum a todas as comparações pois o experimento é balanceado). Como α = 0, 95, temos T = 1 2 q(1 α; r; n r) = 1 2 q(0, 95; 4; 24) = 1 2 3, 90 = 2, 76. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

44 µ i µ i Limites de confiança µ 1 µ 2 [(40, 00 49, 85) 2, 76 1, 11] [ 12, 91; 6, 79] µ 1 µ 3 [(40, 00 56, 57) 2, 76 1, 11] [ 19, 63; 13, 51] µ 1 µ 4 [(40, 00 61, 43) 2, 76 1, 11] [ 24, 49; 18, 37] µ 2 µ 3 [(49, 85 56, 57) 2, 76 1, 11] [ 9, 78; 3, 66] µ 2 µ 4 [(49, 85 61, 43) 2, 76 1, 11] [ 14, 64; 8, 52] µ 3 µ 4 [(56, 57 61, 43) 2, 76 1, 11] [ 7, 92; 1, 80] As médias são todas diferentes, duas a duas. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

45 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Estimação da função resposta. Pelo diagrama de dispersão, observamos que as diferenças entre as médias diminuem à medida que o número de horas de treinamento aumenta No de unidades aceitáveis No. de horas de treinamento Gráfico 1. Dispersão do Número de unidades aceitáveis vs Número de horas de treinamento Denise A. Botter MAE de abril de / 55

46 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Indicação. As médias µ i são uma função quadrática do número de horas de treinamento. Modelo a ser ajustado e testado. y ij = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + e ij, sendo β o vetor de parâmetros da regressão de dimensão p = 3 e x i = X i X, isto é, x i = X i 9, com X i igual ao número de horas de treinamento. Temos: Y = X = Denise A. Botter MAE de abril de / 55

47 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Modelo ajustado. ŷ ij = 53, , 55x i 0, 3125x 2 i, ou seja, ŷ ij = 53, , 55(X i 9) 0, 3125(X i 9) 2. ANOVA para o modelo de regressão FV gl SQ QM Regressão 2 (p 1) 1808, ,05 Resíduo 25 (n p) 102,864 4,11 Total 27 (n 1) 1910,964 Como os dados contém réplicas, podemos testar a falta de ajuste. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

48 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO ANOVA para o teste de falta de ajuste FV gl SQ QM Regressão 2 (p 1) 1808, ,05 Resíduo 25 (n p) 102,864 4,11 Falta de ajuste 1 (r p) 0,587 0,58 Erro puro 24 (n r) 102,286 4,26 Observar que SQF A = r n i SQRes reg = (y ij ŷ i ) 2, i=1 j=1 r r n i n i (ȳ i. ŷ i ) 2, SQEP = (y ij ȳ i. ) 2, i=1 i=1 j=1 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

49 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO SQEP = SQRes ANOV A, ou seja, ambas medem a variação em torno da média a um dado nível de X, isto é, em torno de ȳ i., e SQF A = SQRes reg SQEP = 102, , 286 = 0, 587. Além disso, temos c = r = 4 níveis de X e p = 3 parâmetros de regressão. Logo, o número de gl associado à SQFA é 4-3 = 1. Queremos testar H 0 : E(Y ) = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i ou µ i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i versus H 1 : E(Y ) β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i ou µ i β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

50 FATOR QUANTITATIVO - EXEMPLO Estatística F. Sob H 0, F = QMF A QMEP 0, 58 = = 0, , 26 F F [1,24]. Adotando α = 0, 05, temos F [0,95;1,24] = 4, 26. Assim, não há evidências para rejeitarmos H 0, ou seja, considerando os valores originais X i temos ŷ ij = 3, , 175X i 0, 3125X 2 i. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

51 AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS Vamos apresentar uma técnica para agrupar tratamentos que combina teste de hipóteses com análise de conglomerados. Essa técnica foi proposta por Calinski e Corsten (1985) e se baseia na distribuição studentized range (ver Tabela B.9 de Kutner et al., 2004). O algoritmo começa com r conglomerados, representados pelas r médias amostrais ȳ i., i = 1,..., r, arranjadas em ordem crescente. Exemplo. Técnicas de limpeza (ver arquivo Limpeza.docx). S C T P ȳ i. 21,85 22,30 24,42 26,78 Denise A. Botter MAE de abril de / 55

52 AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS Passo 1. Obter a menor diferença em valor absoluto ȳ i. ȳ i.. Denotá-la por R 1 e compará-la ao valor crítico QMR C α = q [1 α,r,n r], k sendo k o número de observações sob cada tratamento (estudo balanceado). Se R 1 < C α, agrupamos as médias ȳ i. e ȳ i. e passamos para o passo seguinte. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

53 AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS - EXEMPLO No exemplo, adotando α = 0, 10, temos C 0,10 = q [0,90,4,84] 27, 7 22 = 3, 295 1, 122 = 3, 697. Temos também, ȳ C ȳ S = 0, 45 ȳ P ȳ C = 2, 12 ȳ T ȳ P = 2, 36 Assim, R 1 = 0, 45 < C 0,10 = 3, 697 e agrupamos a médias sob os tratamentos C e S. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

54 AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS PASSO s. A cada passo seguinte, um novo conglomerado é formado combinando dois conglomerados adjacentes com a menor distância entre eles. A distância R s no Passo s, 1 s t 1, é então comparada a C α. Se R s > C α, o processo pára e o conglomerado obtido no Passo s 1 será o agrupamento final dos tratamentos. Os grupos assim formados são considerados internamente homogêneos de acordo com o teste studentized range de nível α. Denise A. Botter MAE de abril de / 55

55 AGRUPAMENTO DE TRATAMENTOS - EXEMPLO Passo 2: Distância entre P e {S, C} = 24, 42 21, 85 = 2, 57 Distância entre P e T = 26, 78 24, 42 = 2, 36 Logo R 2 = 2, 36, R 2 < C 0,10 e agrupamos as médias sob os tratamentos P e T. Passo 3. R 3 = 26, 78 21, 85 = 4, 93 (distância entre {P, T } e {S, C}) > C α. Formamos, então, dois grupos G 1 : S, C e G 2 : P, T. Denise A. Botter MAE de abril de / 55