Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Testes de Comparações Múltiplas

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1 Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Testes de Comparações Múltiplas Professora Renata Alcarde Sermarini Piracicaba Agosto 2016 Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

2 ANOVA Exemplo Os dados da Tabela 1 referem-se à produtividade de milho (Kg/100m 2 ) de quatro variedades diferentes, em um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado (DIC). Tabela: Produtividade de milho (kg/100m 2 ) A B C D Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

3 ANOVA Exemplo H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 H 1 : pelo menos duas médias diferem entre si Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat ** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

4 Métodos de Comparações Múltiplas Técnicas para comparação de médias duas a duas média de cada tratamento com a média de um controle contrastes Classificação Teste Protegido: realizado somente mediante rejeição de H 0 para o teste F (ANOVA) Teste não protegido: realizado independentemente do resultado para o teste F (ANOVA). Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

5 Contrastes Definição Combinação linear das médias, tal que, Y = a 1 µ 1 + a 2 µ a I µ I, I a i = 0, i=1 para o caso em que todos os tratamentos apresentam o mesmo número de repetições J. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

6 Contrastes São exemplos de contrastes: Y 1 = µ 1 µ 2 Y 2 = 2µ 1 µ 2 µ 3 Y 3 = µ 3 µ 4 Estimativa do Contraste Y = µ 1 µ 2 Ŷ = ˆµ 1 ˆµ 2 = ȳ 1 ȳ 2 Interpretação: Se Ŷ > 0 Se Ŷ < 0 média do grupo + superior; média do grupo - superior. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

7 Comparação de duas médias Hipóteses do tipo H 0 : µ i µ i = 0 vs H 1 : µ i µ i 0 Modelo y ij = µ + τ i + e ij = µ i + e ij, em que e ij iidn(0, σ 2 ). Seja o contraste Y = µ i µ i, então: Assim, Ŷ = ˆµ i ˆµ i. E(Ŷ ) = µ i µ i ( ) Var(Ŷ ) = n i n i Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21 σ 2

8 Teste t-student Hipóteses do tipo H 0 : µ i µ i = 0 vs H 1 : µ i µ i 0 Estatística t = ˆµ i ˆµ i 0 ( ) ˆσ 2 1 n i + 1 n i. ( Rejeita-se H 0 se ˆµ i ˆµ i t (α/2,ν) 1 n i + 1 n i ) ˆσ 2, em que ν corresponde ao número de graus de liberdade do resíduo. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

9 Teste t-student Para o exemplo de produtividade de milho: Hipóteses H 0 : µ i µ i = 0 vs H 1 : µ i µ i 0 Valores absolutos das diferenças observadas ˆµ B ˆµ C ˆµ D ˆµ A ˆµ B ˆµ C Diferença mínima significativa d.m.s. = t(α/2, glres) 2 QMRes J = 2, , 00 5 = 3, 55 Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

10 Teste t-student Para o exemplo de produtividade de milho: Valores absolutos das diferenças observadas ˆµ B ˆµ C ˆµ D ˆµ A ˆµ B ˆµ C Diferença mínima significativa d.m.s. = t(α/2, glres) 2 QMRes J = 2, , 00 5 = 3, 55 Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

11 Teste t-student Problemas Suponha que sejam 10 os tratamentos em análise. Quantas seriam as comparações duas a duas? Supondo o nível de significância 0,05 para cada comparação, qual será o nível de significância conjunto, assumindo que as comparações sejam independentes? Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

12 Nível de significância Controle da taxa de erro tipo I Nível de significância por comparação (comparisonwise): controla a taxa de erro tipo I por comparação. Nível de significância por experimento (experimentwise): controla a taxa de erro tipo I considerando todo o conjunto de comparações. Teste t-student Pode-se controlar a taxa de erro máxima por experimento usando a taxa de erro por comparação dada por α/c, em que c corresponde ao número de comparações de duas médias (correção de Bonferroni). Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

13 Teste t-student Para o exemplo de produtividade de milho com a correção de Bonferroni: Valores absolutos das diferenças observadas ˆµ B ˆµ C ˆµ D ˆµ A ˆµ B ˆµ C Diferença mínima significativa d.m.s. = t((0, 05/6)/2, glres) 2 QMRes J = 3, , 00 5 = 5, 03 Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

14 Teste de Tukey Hipóteses do tipo H 0 : µ i µ i = 0 vs H 1 : µ i µ i 0 Teste baseado na amplitude total estudentizada de I variáveis aleatórias normais independentes; Controla a taxa máxima de erro tipo I por experimento. Rejeita-se H 0 se ˆµ i ˆµ i, ( ) Var(Ŷ ˆ ) em que = q (α,i,glres) = q 1 2 (α,i,glres) + 1 QMRes. n i n i 2 Se n i = n i = J, então = q (α,i,glres) QMRes J Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

15 Teste de Duncan Hipóteses do tipo H 0 : µ i µ i = 0 vs H 1 : µ i µ i 0 Teste realizado em múltiplos estágios; Recomendado para o caso balanceado (mesmo número de repetições por tratamento); Também é baseado na amplitude total estudentizada; Controla a taxa de erro tipo I por comparação (teste menos rigoroso que o teste de Tukey, ou seja, pode rejeitar H 0 com maior facilidade). Rejeita-se H 0 se ˆµ i ˆµ i D i, em que D i = z (α,k,glres) QMRes J e k é o número de médias envolvidas. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

16 Teste de Dunnett Hipóteses do tipo H 0 : µ i µ c = 0 vs H 1 : µ i µ c 0 Compara duas médias de tratamentos, sendo uma dela a média de um tratamento referência (controle); Controla a taxa máxima de erro tipo I, não excedendo α. Rejeita-se H 0 se. ˆµ i ˆµ c d (α,i 1,glRes) 2 QMRes J Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

17 Teste de Scheffé Hipóteses do tipo H 0 : Y = I i=1 a iµ i = 0 vs H 1 : Y = I i=1 a iµ i 0 Contrastes podem envolver mais do que duas médias de tratamentos; Teste protegido; Controla a taxa máxima de erro tipo I por experimento para qualquer conjunto de contrastes. Rejeita-se H 0 se Ŷ QMRes. I i=1 ai 2 (I 1)F n (α,i 1,glRes) i Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

18 Contrastes Ortogonais Definição Dois contrastes, Y 1 e Y 2, Y 1 = a 1 µ 1 + a 2 µ a I µ I Y 2 = b 1 µ 1 + b 2 µ b I µ I I são ditos ortogonais se a i b i = 0, desde que todos os tratamentos i=1 apresentem os mesmo número de repetições. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

19 Contrastes Ortogonais Exemplo: Considere os contrastes Y 1, Y 2 e Y 3, dados por: Y 1 = µ 1 µ 2 Y 2 = 2µ 2 µ 3 µ 4 Y 3 = µ 3 µ 4 Verificar quais são ortogonais. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

20 Teste t e F para Contrastes Ortogonais Observações: Os testes t e F para contrastes ortogonais são equivalentes; Teste F: apresentação da decomposição do número de graus de liberdade de tratamentos em um grau de liberdade associado a cada contraste; Os contrastes devem ser estabelecidos antes da realização da análise. Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21

21 Teste t e F para Contrastes Ortogonais Exemplo Suponha um experimento instalado para avaliar a eficiência de fungicidas na produção de batatas. Foram utilizados quatro fungicidas + controle (sem aplicação de fungicida), sendo que os dois primeiros usam um modo de ação (modo A) e os dois últimos fungicidas outro modo de ação (modo B). Renata Alcarde Sermarini Estatística Experimental I 24 de Agosto de / 21